导数练习题(精编)

1、1. 函数f (x) = e2t4-x2-ax-2.(1) 当a = 2时，求函数/(x)的极值：(2) 假设g(x) = f(x)- + 2,且g(x)>0恒成立，求实数a的取值范用.2. 函数 f(x) = nx-mx2, (x) = -/nx2 + A, meR,令F(x) = /(x) + g(x).(1) 当= |时，求函数/(X)的单调递增区间：(2) 假设关于x的不等式F(x)</m-l恒成立，求整数加的域小值；3. 己知函数/(x) = ex(snx-ax2 + 2a-e),其中aeR, £ = 2.7182&为自然对数 的底数.(1) 当。=0时

2、，讨论函数.f(x)的单调性：(2) 当|<«<1 时，求证：对任意的xwO,+s), f(x)<0.4. 己知函数f(x) = ex'm-n2x.(1) 假设匸1,求函数/的极小值：(2) 设m<2,证明：/(x) + lii2>0.Y5. 己知函数/'(x) = x-lnor,g(x) = ,其中 a cR 11.« 0, £ 为自然常数.ex(1) 讨论/(X)的单调性和极值：(2) 当& = 1时，求使不等式/(X)> fng(x)恒成立的实数加的取值范I制.6. 己知函数 f (x) = xln

3、x+cvc2 -1 * 且广(1) = 一1.(1) 求/(X)的解析式：(2) 证明：皈数y = /(x) xe' + T的图象在直线y = xl的图象卜方.7. 函数 f(x) = -x3 -ex2 4-live+1,=3.v函数/(x)在点(1,/(1)处的切线与直线(l 2a)xy + 4 = 0平行,求函数/(x) 的单调区间： 设函数f(x)的导函数为/ (%),对任意的鬲宀e(O,-K«),假设g(xj v /(x>)怛成立，求川的取值范围.8. 设函数 /(x) = xlnx(x>0).(I )求函数/(X)的单调区间：(II )设F(x) = a

4、x' + fx)(a e R), F(x)是否存在极值,假设存在，请求出极值;假 设不存在，请说明理由；(III)当x>0时，证明：ex>fx) + .9. (本小题总分值12分)函数/(x) = lnx-1.(I )求函数/(X)的单调递增区间；(II) 证明：当 X>1 时，/(x)<x-l；(III) 确定实数R的所有可能取值，使得存在Xo > 1，当XG(1,X°)时，恒有f(x)>k(x-l).10. (此题总分值14分)设函数/(x) = xlnx(x0)(I )求函数/(x)的单调区间；(II)设F(x) = d.F+/

5、9;(x)(dwR), F(x)是否存在极值，假设存在，请求出极值：假设不存在，请说明理由：(Ill)当x>0时.证明：>fx) + l.卷考答案1. (1)函数f(x)极小值为/(0)= -1,无极大值；(0,2e.【解析】试也分析： 当a = 2时，= x-2,/'(x) = 2/'+2/2 ,通过二次求导可知函数fx) = 2e2x + 2x-2在/T上单调递增R广(0)= 0所以当/<0时/*(x)< 0,当x>0 时，厂(x)>0圉此函数于(X)在区间(一8,0)卜.单调递减.在区间(0,+8)卜.粮调递增.所Vi/(X)的极小值点

6、为 /(0),无极大值点:对函数g(x)求导可得gx) = 2e2x-a0和a>0讨论，显然a<0时，£(x)>0函数g(x)在R上单调递增,研究图象可知一定存在某个兀<0,使得在区间(一8,兀) 上函y = e2x的图象在函数y = Q的图彖的下方，即e2x <ax不也成立.舍去：当。>0时，函数 g(x)在区间 -oo,lln 上单调递减，在区间上单调递增， g込= g(*S号解得0va52c试題解析：(1 )函数f(x) = e2A+x2-ax-2的定义域丛/?,当a = 2时， /(x) = e2x + x2-x-2fx) = 2elx +

7、 2x-2.易知函数 fx) = 2e2jc + 2x-2的定义域是 R 上单调递增函数，且/*(0)= 0，所以令/*(x)<0,得x<0：令/'(x)>0,得x>0,所以函数 /(x)在区间(f,0)上单调递减，在区间(0,4-oo) /(X)极小值为/(0) = -1.无极大值.(2) (x) = f (x)-x2 +2 = e2x +x2-CUC-2-X2 -¥2 = e2x-ax t 那么 gx) = 2e2' -ci.当aWO时，g'(x)>0恒成立，所以函数g(x)在/?上单调递增.且数形结合易知，一定存在某个;v&

8、#176;vO,使得在区间(yqe)上，函数y的图彖在函数y = ax的图象的F方.即満足才“ <处 的图象即g(x) <0.所以g(x)> 0不恒成立.故当a<0时.不符介题意.舍去：当a>0时，令g，(x)vO,得xv#ln#； g，(x)>0,得x>*ln号;所以函数g(x)在区间-00,-111-2 2)上敢调递减，在区间(-ln-,+oo |上总调递增. (2 2丿/ / 所以函数£(X)定义域/?上的燄小值为g yllly 乙乙假设g(x)no恒成立.那么需满足gin 2 2>0.即严-/-ln-0,2 2即0即-1-111

9、-|>0.2 2 2 2( 2丿又因为a>0,所以1 一11】巴0?0,解得d<2w,所以0va<2w.2综上，实数a的取值范囤足(0,2刀.芳虫：利用导数研宛函数的小调性及极们、豉位.【方法点時】此题主要考査了利用导数研兜函数的单调性及极値、最值，考査了分类讨论、数相结合的数 学思想，屈丁-难题.此題第一问研充函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明/(X)的號调性， 来判断极值点的情况：第二问足此题解答的难点，把g(x)no恒成立转化为求函数g(x)的啟小值，按 照a的符号进行讨论，来判断g(x)的单调性.当a50时.g(x)取调递轴 通过找反例排除，当a0

10、时，求出函数g'(x)零点，判断其单调性，求出其处小值，建立不等式求解.2. (1) (0,1): (2)般小(TL为2.【解听】试懸分析：(1)当加=丄时，对/(X)求导求其单调增区间：(2)先化简F(x)</;tv-1为F(x)-nix+1成立问题，转化为求G(x) = F(x)-(mx-l)的最大值来求解1_ L试题解析:(1) /(x) = liixx2, x>0, fx) =x =. x> 0)2xx由/(X)>0得1 -x> 0又x>0,所以Ovxvl,所以/'(x)的单増区间为(0,1).令 G(x) = Fx) (mx-l)

11、= nx-mx2 + (1 m)x +1.亠、1“、 -mx2 + (I-m)x+l所以 G (x)=mx + (1-in)=xx当?SO时肉为x>0,所以G(x)> 0所以G(x)在(O.*c )上是递增函数.3又因为 G(l) = -m + 2>0.所以关于X的不等于G(x)</mlv- 1不能恒成立.心)(X4-1)当7> 0时.Gx) =X. 1 1 一 1令G(x) = 0 得x = 所以当xg(0,)时.G (x)>0 :当xg(,-ko)时 G (%) <0. mmm因此函数G(x)在x w (0,丄)川增函数，在x w (丄，+00)出

12、碱函数. inm故函数G(x)的最大值为G(丄)=-In tn.m 2m令 h(m)=liim,因为h(l) = > 0» A(2) =ln2<0. 2m24又因为h(m)在7G(0、*o)上於减函数.所以当时.h(m) <0.所以祭数7的最小值为2 考点：1.导数与单调性：2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题.【思路点晴】此题第一问是根本的求单调【X间问题，只需按求函数单调性的方法来求解就可以第二问是恒 成立问题，我们一般都需要对条件进行化简，如此题我们就化简F(X)</tV-l为 F(x) 八+ 1 <0,化简后右边为零，我们就可以转化为求G(x)

13、 = F(x)-(/rv-1)的最大值来求解. 借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解.3. (1)函数/(X)在R上为减鬲数：(2)证明见解析.【解析】试世分析：(1)对函数/(X)求导，利用因数的单凋性与导数的关系，得出函数/(X)的单调性：(2)对任 意的x e 0,+oo)/(X)< 0等价于对任意的x e 0,+oo). smx-ax2 -2a-e < 0,再构造函数 g(x) = sinx-ax2 +2a-et求导,利用导数，求出g(jr)的最大值小于零.试题解析：解：(1)当a = 0时.f(x) = e'(sinx-e) , xeR,fx) =

14、 eK(sinx+cosx-e) = e' V2 s ui(x + ) - e,4当 xeR 时，>/2 sin(x + ) < V2 , fx) vO.4/. /(x)在R匕为减函数.(2)设 g(x) = sui x - ax2 + 2ci-e, x g 0,+co) , g'(x) = cosx-2ox，h(x) = gx) = cosx-2av, x e 0,+oo),那么 lix)=-sinx-2a,当-< a <1 时，x g 0,4-oo),有 hx) < 0.h(x)在0,+8)上圧减函数，即g'(x)在0,+s)上足减函数

15、，又.丈(0)= 1>0, g百)=返产<弋1<0:.gx)存在唯一的xQ g (0.) 使得g'CU = cosx0 一2axQ = 0. 4当x0 G(O,xo)nj. gx)>0. g(x)在区间(0,x。)敢调递增：半(心*°)时g'(x)<0 g(x)在区间()单调递减.因此在区间 |0+8)上 g(x)“ = g(xQ) = sin x0 一 axi +2a-e.vcosx0-2av0 = 0. x0 = y-cosx0.将其代入上式得S(x)m = smxQ-cos1 x0 + 2a-e = -siir x0 + smxQ-

16、 + 2a-e,4ci4a4a令 f = Sill xo» xo g (0,)，那么 / w (0,),即冇 p(t) 1 + tF 2d * r E (0, )»424a 4a241iv p(t)的对称轴/= 2d<0函数p(/)在区间(0.)上足增函数.k-<a<h22呦5渥)=逼一丄+2<渥八八22 8a28即任总xw0,+s), g(x)<0 f(x) = ?'g(x) vO,因此任意xw0,+8), /(x) <0.考点：1利用导数研丸因数的单调性：2.导数的综合应用.【思路点睛】此题(2)中，注意等价转换，对任盘的X

17、G 0,4-00) , f (A) V 0等价丁对任盘的X G 0,4-00).smx-ax2 + 2a-e <0,再构造函数= sinx-ax2 + 2a-e,利用服调性，求出函数g(x)的 就大值，即.g(x)_ = sinx0-cos2x0 + 2a-e = sni:x04-sinx0- + 2«-e ,把 4a4a4asin x0看成一个幣休，就转化为二次函数最大值.此题屡次等价转化，难度大，综合性强.4. (1) /(1) = 1-1112： (2)证明见解析.【解析】 试题分析:(1)当加=1时，fx) = -ex - = ex-得其零点x=l判断f (x)在(0,

18、+8) 上的单调性，可知/(x)冇极小值/(1)：(2)把函数/(x)放缩/)=广'"一1112“?广2-ln2x 构造函数(x) = et_2-lii2x=4 ec-ln2-liix,利用导数研究函数g(x)的单调性，并求出其 啟小值的范圉即可证得结论.试趣解析：(1) f(x) = e1-1 - in2x = - -ev-1112-liix,所以f'(x = - ex = er_1 ，eexx观察得/,(l) = l.?- = O .而f,(x) = -et- = eKi-丄在(0,+oo)上单调递增，所以当 e 1e xxxw(0,l)时f (x)vO当(b+o

19、o)时/r(x)>0：所以/(x)在(0,1)单调递减，/(x)在(l,+oo) 单调递增，故/(X)有极小值/(1) = 1-1I12.证明:(2)因为m<2,所以f (x) = -ln2x>e2-ln2r,令 g(x) = 0宀 -In2x = A ex 一 In 2 Inx,那么 g'(x)=严一丄，易知 gx)在(0,-w)单调递x e (0, x0)时,g'(x)v0,当 xw(Xo，+oo)时，g'(x)>0：所以 &(*)在(O,xo)上单调递减,(X0,+o0)上单调递增，所以hie2 = hi =>x0-2 = -

20、liu0 => 2-x0 = hi v0.所以= g(Xo)=八=-ln2x0 =八=一 1112 - In Xo =ln2 - 2 + x°=+ x0-2-lii2>-lii2 当且仅当=x0, RP xc = 1 时等号成立，而 x0 e (1,2),所以 竝x。g(x)毎 >-ln2 ,即 g(x) >-1112,所以 f (x) > -lii2,即 /(x)+lii2 > 0.考点：利用导数研究函数的单调性、极值、鼓值.【方法点晴】此题主要考査了利用导数研丸函数的单调性、极值、掖值，考査了转化的数学思想和两数思 想的应用，屈于难趙要研究函数

21、的极值，先研究定义域内的单调性，此题(1)中导两数的零点不能11接 求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点：解答的难点是(2)证明不等式，可 利用函数/(x)的单调性进行放缩，转化为研究不A参数的函数=的愎小值，这足此题的技巧之一，孑函数的寥点同样不能直接解出.作为证明題，在判断也调性的前捉下可以设出极値点， 表示出函数值通过根本不等式证明即可.这兄此题的另一个技巧.5. (1)当。>0时.x>Q. /(x)在(0J)上单调递减.在(l,+oo)上单调递览，/(X)冇极小值Y 1/(l) = l-liia；当avO时，x<0- /(%) = ->0

22、.所以/(切在(-oo.O)上单调递增，无 X极值I (2) (-8,0).【解析】试题分析：(1)求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极(TI： (2)别离参数，将 不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.再利用导数求其最值.试越解析：(1)因为 f(x) = x-liiav,« # 0,« ,所以当d>0时，/(x)的宦义域为(0,+s)；当a<Q, /(x)的定义域为(-oo,0).1 兀_ 又 / (x) = x - lii av = x - lii x - lii a f (x) = 1 = X X故当a>0时，x>0,

23、 /(x)在(0,1)上单训递减，在(l,+oo)上单调递增，/(X)有极小值 /(l) = l-lna；Y 当avO时.x<09 f(x)=>0,所以/(x)在(y0)上单调递增，无极值. X(2)解法一：当a二 1 时，f(x) = x-lnx 山(1)知当II仅当x = l 时，f (x) = 1,因为gW = -,x>0.所以g(x)在(0.1)匕单调递轴 在(1.+OD) h单调递减 e当且仅当X"时，g(x)z=1e肖7S0时，山于g(x) = *>0JCr) = 1,所以/(.V)>mg(x)恒成立：e当加0时,mg(x)M =,e要使不等

24、式/(x) > mg(x)恒成立，只需1>巴.e即 m < e 综卜得所求实数加的取值范闱为(一8,0.解法二：Y半4 = 1 时 f(x) = x-lnx.所以x>O.g(x) = > 0.ex，“、(、f(x) ex(x-lnx)故 f(x)> mg(x) <=> m <=>-g(x) x令那么x;r曲(1)可)ux-lnx>0,所以当兀>1 时，F (x)0,当0 vxv 1 时，F'(x) <0 ,所以尸(切屈=尸(1) = 6故当m <e时，不等式f (x) > 7g(x)也成立.考点：

25、1.导数在研完函数中的应用:2.导数在研兜不等式恒成立问题中的应用.【方法点睛】此题再査导数任研究函数单调性和鼓值中的应用以及导数在研丸不等式恒成立中的应用，综 會件注川 47也：和口曲处艸，等弐低丸匕山剔习弓欣叩U/QjnM < <=> f (x)mm> M转化为求甫数的協值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强 的运算化简能力.6. (1) f(x) = xlnx-x2-li (2)见解析.【解析】试题分析：(1)求导，曲/'(1)= 一1求出a即可：(2) “函数y = /(x) xe + x'的图象在II线 y = -x-1的

26、下方等价于lnx" + lvO,构造函数/?(x) = liix-ec4-l ,求导，研究函数 力(x) = lnxa'c +1的单.调性与最值，证/?(%) <0即可.试题解析：对/(x)求导，得广(x) = 1 + 1hx+2q,广(l) = l + 2a = l, a = -l,所以 f(x) = xnx-x2-l(2 1证明：“函数v = /(X)一 + 0的图象在直线V = X 一 1的下方等价于即耍证 lnx*+1<0,所以只要证加x) = lnx "+1, /f(x) = l_ 川趋刊时，/心)>0X存在一个极值0丘(°，1

27、)使得少=丄 等价于/z(x) = lnx0- + 1 (0<xo <1)所以h(x) <0 X。尤。故函数y=/一*+r的图象在比线)=-x一 1的下方.2考点；1导数的运算法那么：2.导数与函数的单调性、极值、MffL: 3.函数与不等式.7. (1) /(x)的单调区间为2u+s),(_oo,0,单调减区间为(0,2丘)：(2) m>e2 + -.【解析】 试题分析：(1)根据/(x)在点(1,/(1)处的切线与线(l-2e)x-y+4 = 0平行，可得 / (l) = l-2e.据此可求得加，研究f(x)的符号变化即得函数f(x)的单调区间： 假设对任意 的召,

28、E 6(0,+oo),假设g(xjvf (冯)恒成立,那么有g(x)= vf (心,分别求出f (x)昨 和g(x)的最大值即可求得加的収値范闱.试题解析： f (x) = x2 -2ex+m, / / (1) = 1 - 2e 4- n? = 1 - 2e, /. m = 0f x) = X1 -2ex = xx-2eY 令/ (x)>0.解得x>2e或所以惭数/(x)的单调区间为2u*o)、(一8,0,单调减区间为(0,2)；.z、 1-lnx, 八 ./ 1-liix , 亠(2) g (x) =；(x>0) > 令g (x) =；>0=>0<x

29、<eI. V函数g(x)的单调为(0,e.单调减区间为2,+8).一 < ？ 一 l => m >e + -考点；导数的几何总义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等.【方法点哺】此题主要考査了导数的几何总义.利用导数研克函数的总调性及给定区间山的最值问题，属 于中档也.利用导数的几何总义求曲线上某点的切线足导数中最常见的问题之一，关进圧把好审题关，判 断给出的点圧否圧切点，利用导数研宛函数的总调性常用列表或宙根法判断导数的符号，有时还要讨论， 此题的难点兄(2)中的转化问题，涉及到两个变虽的恒成立，通常逐个分析，转化为求函数的最值问懸.8.(【)/(X

30、)的单调增区间为(-,+QO), /(X)的单调减区间为(0丄)：(II)当 心0时，F(x)无极ee值：当ovO时，F(x)有极大值丄+ 111J一一 ，无极小值.(III)证明详见解析.【解析】 试顾分析：(I )利用一阶导数的符耳來求总週区间(II)对a进行分类讨论.F(v)的极ffi. (Ill)把证 明不符式转化求函数的最小值大于0.试题解析:(I ) 厂(x) = lnx+l(x>0)令 fx)>Q,即 lnx + l>0.得 x>-,故/(x)的增区间为(-,+oo)； ee令f(x)vO,即lnx+l<0,得x<-.故/的减区间为(0丄):e

31、ef(x)的单调增区间为(丄,+s)f(x)的单调减区间为(0,丄).(II) F(x) = ax2 +111X4-1(% > 0) F'(x) = lax + 丄="' + 】(x > 0)'XX当« > 0时.恒冇Fr(x) > 0 A F(x)在(0,+s)上为増函数，故F(x)在xw(O,+s)上无极值:半 d V 0 时.令 Fx) = 0 得 X =肖xw(O.J-F), F(x)>0 F(x)单调递増.当xw+ 00), F(x)vO, F(x)单调递减.'F枪大=莎)=q + hiQ-云 F(x)

32、无极小值:综上所述：67 > 0时.F(x)无极侑"V0时，F(x)有极大值# +(III)证明:设g(x) = ex-lnx(x>0),那么即证 g(x) > 2 > 只要证 g(x) > 2.1i g(x) = /_, g'(05) = e2 -2<1.7-2<0. g'(l) = e-l>0 x又g (x) = e x -丄在(0,炖)上单调递增X方程gx) = 0育唯一的实根X = r. fire (0.5,1).当xe (0J)时.g'(x) <g'(t) = 0.当xe(/,+qo)时，

33、gx) > gr(t) = 0当x = t时=er -hit原命也得证.考点：求导公式.函数的单调区间.函数的极值.函数的最值.【方法点11(1)解侖参数d的不等式，需更对d进行分类讨论，足此题的亮点.也危此题的难点之一.(2) 把证明不等式转化为求函数的最小值，也足此题的难点Z. (3)在求鼓小值的过程中，对寥点/设而不 求，城右利用根本不等式进行放缩，圧此题鼓兴的亮点，也足按雄的地方.(4)此题题干简洁，但出内涵 丰富，此懸设问层层深入，足一道好题.盘殂悠长.9. ( I ) /(X)的单调递增区间是0,1 +腐 » (II)详见解析；(III) (一 8,1).【解析】

34、试世分析：(I )求导，令导数大于o得增区间.()1)令F(x) = /(x)-(x-l),求导，讨论导数的 止负，得函数的单调区间，从而町得函数的最值，只需其最大值小J 0即可.(III)由(II)知« = 1或 R>1时均不成立.当kvl时，令G(x) = /(x)-R(x-l),求导，讨论导数的正负，得函数的增 减区间.根据单调性可得梵最大值，使梵最大值大于o即可.三1 工1试题解析：(I ) fx) = 一一x+l=:.X6(0.+oo).(II)令F(x) = /(x)-(x-l), xe(0,+oo).那么 F(x) = 半)时.F(x)vO.所以F(x)在1,+切

35、上单调递瓯故当x>l时，F(x)<F(l) = O,即当x>l时，f(x)<x-l.(Ill)由(II)知.当R = 1时，不存在x°>l满足题总.当R>1时，对于x>l,有f(x)<x-l<k(x-l) t那么f(x)<k(x-l)t从而不存在兀>1满足题总.当时，令 G(x)= /(x)-(x-l), X(0,4-oO).由G'(x) = 0得，一x，+(1 k)x+l = 0.当xw(l,xj时，G'(x)>0,故G(x)在l,xj内单调递增.从而当 xw(l.xj 时，G(x) > G(l) = 0,即 /(x) > k(x-l), 综上，R的取值范围是(一叫1)考点；用导数研究函数的性质.10. ( I ) /的单调增区间为(-,+oo), /(x)的单调减区间为(0丄)：(II)当a>0时，F(ji)无极值：当。<0时，F(x)有极大值- + 111J-，无极小值.(