第3章 章末复习

1、章末复习学习目标1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明1两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin .cos()cos cos sin sin .sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .tan().tan().2二倍角公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3升幂公式1cos 22cos2.1cos 22sin2.4降幂公式sin xcos x，cos2x，sin2x.5和差角正

2、切公式变形tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )6辅助角公式yasin xbcos xsin(x)7积化和差公式sin cos sin()sin()cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()8和差化积公式sin sin 2sin cos.sin sin 2cossin.cos cos 2coscos.cos cos 2sinsin.9万能公式(1)sin .(2)cos .(3)tan .1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()2对任意角，sin 22sin

3、均不成立(×)提示如k，kZ，则sin 22sin 0.3ysin xcos x的最大值为2.(×)提示ysin xcos xsin，函数最大值为.4存在角，使等式cos()cos cos 成立()提示如，则cos()cos，cos cos coscos cos ，两式相等类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1已知，为锐角，cos ，tan()，求cos 的值解是锐角，cos ，sin ，tan .tan tan().是锐角，cos .反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如2

4、3;，()，()，()()，()()等跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求的值解(1)由题可知，cos ，cos .由于，为锐角，则sin ，sin ，故tan ，tan ，则tan().(2)因为tan()1，sin <，sin <，即0<<，故.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2求函数f(x)sin xcos xsin x·cos x，xR的最值及取到最值时x的值解设sin xcos xt，则tsin xcos xs

5、in，t，sin x·cos x.f(x)sin xcos xsin x·cos x，g(t)t(t1)21，t，当t1，即sin xcos x1时，f(x)min1，此时，由sin，解得x2k或x2k，kZ.当t，即sin xcos x时，f(x)max，此时，由sin，即sin1，解得x2k，kZ.综上，当x2k或x2k，kZ时，f(x)取得最小值，f(x)min1；当x2k，kZ时，f(x)取得最大值，f(x)max.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来跟踪训练2求函数ysin xsin 2xc

6、os x(xR)的值域解令sin xcos xt，则由tsin知，t，又sin 2x1(sin xcos x)21t2，y(sin xcos x)sin 2xt1t22.当t时，ymax；当t时，ymin1.函数的值域为.类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3已知函数f(x)2sin(x3)sin2sin21，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值解(1)因为f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期为.又因为x，所以2x，所以sin，所以f(x

7、)1,2所以f(x)的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知，f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0，所以cos ，cos 2x0coscoscos sinsin .反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)在三角恒等变换中充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质跟踪训练3已知cos，<x<，求的值解sin 2x·tan.<x<，<x<

8、;2，又cos，sin.tan.sin 2xsincos12cos212×2.类型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4已知sin x2cos y2，求2sin xcos y的取值范围解设2sin xcos ya.由解得从而解得1a.故2sin xcos y的取值范围是.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决跟踪训练4已知关于的方程cos sin a0在区间(0,2)上有两个不相等的实数解，求cos()的值解设xcos ，ysin ，则有消去y，并整理得4x22axa210.由已

9、知得cos ，cos 是的两个实数解，由根与系数的关系，得sin sin (cos a)(cos a)3cos cos a(cos cos )a2.cos()cos cos sin sin .1已知sin cos ，那么sin ，cos 2 .答案解析sin cos ，2，即12sin cos ，sin ，cos 212sin212×2.2已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin 2 .答案解析由sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos21sin22，得sin22，即sin22.又2k<<2k(kZ)，4k2<2<4k3(kZ)，故sin

10、2.3已知sin cos ，sin cos ，则sin() .答案解析由(sin cos )2(sin cos )2，得2sin()，即sin().4设为锐角，若cos，则sin的值为 答案解析为锐角且cos，sin.sin2sincos，cos2cos21，sinsin.5已知函数f(x)cos x·sincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cos x·cos2xsin x·cos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T

11、.(2)因为f(x)在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，f，f，f，所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质一、填空题1cos 2 017°cos 1 583°sin 2 017°sin 1 583° .答案1解析原式cos(2 017°1 583°)cos 3 600°1.2函数ysin 2xsin2x(xR)的

12、值域是 答案解析ysin 2xsin.xR，2xR，sin1,1，函数的值域是.3若tan 2tan ，则 .答案3解析3.4已知tan，且，则 .答案解析2cos .tan，tan 3 ，cos .则2cos 2×.5已知向量a(sin ，1)，b(2,2cos )，若ab，则sin .答案解析ab，a·b2sin 2cos 2sin0，sin.<<，<<，cos.sinsincos.6若3，则cos2sin 2的值是 答案解析由题意知，tan ，则cos2sin 2cos2sin cos .7函数ysin xcos xcos2x的最大值为 答案解

13、析ysin 2x(1cos 2x)sin，当2x2k(kZ)时，ymax1.8若点P(cos ，sin )在直线y2x上，则sin 22cos 2 .答案2解析由题意知，tan 2，sin 22cos 22sin cos 2cos22sin22.9函数y(acos xbsin x)cos x有最大值2，最小值1，则实数a ，b .答案1±2解析yacos2xbsin xcos xsin 2xcos 2xsin(2x)，2，1，a1，b±2.10若(4tan 1)(14tan )17，则tan() .答案4解析由已知得4(tan tan )16(1tan tan )，即4.t

14、an()4.11函数ycos2sin21的最小正周期为 答案解析ycos2sin211sin 2x，T.二、解答题12已知ABC的内角B满足2cos 2B8cos B50，若a，b，且a，b满足：a·b9，|a|3，|b| 5，为a，b的夹角求sin(B)解2(2cos2B1)8cos B50，4cos2B8cos B30，解得cos B，sin B，cos ，sin ，sin(B)sin Bcos cos Bsin .13设函数f(x)sin2xcos.(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合；(2)设A，B，C为ABC的三个内角，已知cos B，f，且C为锐角，求sin A的值解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin 2x，当sin 2x1时，f(x)max，此时2x2k(kZ)，xk(kZ)，x的取值集合为.(2)fsin C，sin C.C为锐角，C.由cos B，得sin B，sin Asincos Bsin B.三、探究与拓展14若tan32，则 .答案解析tan32，tan .又tan .原式.15已知向量(cos ，sin )，0向量m(2,1)，n(0，)，且m(n)