第三章一阶微分方程的解的存在定理(1)

1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem) 1 基本概念1）利普希兹(Lipschitz)条件函数称为在闭矩形区域上关于满足利普希兹条件，如果存在常数使得不等式对所有都成立。其中称为利普希兹常数。2 ）局部利普希兹条件称函数在区域内关于满足局部利普希兹条件，如果对区域内的每一点，存在以其为中心的完全含于内的矩形域，在上关于满足利普希兹条件。注意：对内不同的点，矩形域大小和常数可能不同。3）一致利普希兹条件称函数在区域内一致地关于满足局部利普希兹条件，如果对内的每一点都存在以为中心的球，使得对任何，成立不等式其中是与无关的正数。4）解的延拓设方程(3.1)

2、右端函数在某一有界区域中有意义，是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若也是初值问题的解，且，当时，则称解是解在区间上的一个延拓。5）包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解 在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注意：1）奇解上每一点都有方程的另一解存在。 2）通解中不一定包含方程的所有解，例如奇解。3）一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线

3、族等都是没有包络的。2 基本定理1）存在性与延拓性定理定理3.1 （皮卡(Picard）解的存在唯一性定理）如果函数在闭矩形域上连续且关于满足利普希兹条件，则方程(3.1)存在唯一的连续解，定义在区间上, 且满足初始条件，这里。证明分五个步骤完成。步骤1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程；步骤 2 构造一个连续的逐步逼近序列；步骤 3 证明此逐步逼近序列一致收敛；步骤 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解；步骤 5 证明唯一性。注意：定理3.1中的条件是解存在唯一的充分条件而非必要条件。定理3.2（皮亚诺(Peano）解的存在性定理）如果微分方程(3.1)的右端函数在某区域内

4、连续，任给点，则满足初始条件的解在含的某区间上存在。定理3.3 对于隐式方程，如果在点的某一邻域中，对所有的变元连续，且存在连续的偏导数；。则方程存在唯一的解，（为足够小的正数）且满足条件。定理3.4 如果方程(3.1)右端的函数在有界区域中连续，且在内满足局部利普希兹条件，那么方程(3.1)通过内任何一点的解可以延拓。直到点任意接近区域的边界。以向增大一方的延拓来说，如果只能延拓到区间 上，则当时，趋近于区域的边界。推论 如果是无界区域，在解的延拓定理的条件下, 则方程(3.1)的通过点的解可以延拓，以向增大一方的延拓来说，有下面的两种情况:) 解可以延拓到区间，) 解可以延拓到区间，其中为

5、有限数，当时，或者无界，或者趋于区域的边界。定理3.5 第一比较定理若函数都在平面区域上连续，且有不等式成立，则方程满足初始条件的解和方程满足初始条件的解在它们共同存在的区间上，满足不等式：当时，当时。2）解对初值的连续性与可微性定理定理3.6 假设函数于区域内连续且关于满足局部利普希兹条件，是初值问题的解，它于区间 有定义，其中，那么，对任意给定的，必存在正数，使得当时，初值问题的解在区间也有定义，并且， 。定理3.7 假设函数于区域内连续且关于满足局部利普希兹条件，则初值问题的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。定理3.8 对于方程 （）用表示区域。假设函数于区域内连续，且在内关于一致地满足局部利普希兹条件，是方程通过点的解，在区间有定义，其中， 那么，对任意给定的，必存在正数，使得当时，方程满足条件的解在区间也有定义，并且，。定理3.9假设函数于区域内连续，且在内关于一致地满足局部利普希兹条件，则方程的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。定理3.10 若函数以及都在区域内连续，则初值问题的解作为的函数在它的存在范围内是连续可微的。3 基本计算1) 近似计算和误差估计第次近似解的计算公式 。第次近似解的误差公式。2）求奇解（包络线）的方法a）自然法找出方程不满足唯一性条件的点集合，例如，再验证它是否是奇解或是否包含有奇解。b） -判别曲线法结论1 通积分作为曲线族