第二章 章末复习

1、章末复习学习目标1.熟练掌握直线方程的四种形式，并会判断两直线的位置关系.2.会运用两点间距离、点到直线的距离及两平行线间的距离公式解决一些实际问题.3.理解圆的标准方程和一般方程，熟练掌握直线与圆的位置关系的相关应用1直线倾斜角的范围直线倾斜角的范围是0°180°.2写出直线的斜率公式(1)直线l的倾斜角满足a90°，则直线斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，且x1x2，则直线l的斜率为k.3直线方程的几种形式(1)点斜式：yy0k(xx0)(2)斜截式：ykxb.(3)两点式：(x1x2，y1y2)(4)截距式：1(a0

2、，b0)(5)一般式：AxByC0.4两直线平行与垂直的条件直线方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行的等价条件l1l2k1k2且b1b2l1l2垂直的等价条件l1l2k1k21l1l2A1A2B1B20由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程5距离问题类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)d点到直线的距离P(x0，y0) l：AxByC0d两条平行直线间的距离l1：AxByC10，l2：AxByC20

3、(A，B不同时为0)d6.平行直线系和垂直直线系(1)与直线AxByC0平行的直线方程为AxBym0(mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线方程为BxAyn0.7圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)8直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则(1)l与圆C相离dr.(2)l与圆C相切dr.(3)l与圆C相交dr.9圆与圆的位置关系设O1的半径为r1，O2的半径为r2，两圆的圆心距为d.当|r1r2|dr1r2时，两圆相交；当r1r2d时，两圆外切；当|r1r2|d时，两圆内切；当r1r2d

4、时，两圆外离；当|r1r2|d，两圆内含特别提醒：(1)计算直线被圆截得的弦长的常用方法几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|xAxB|.注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法(2)对称问题点关于点的对称：求点P关于点M(a，b)的对称点Q的问题，主要依据M是线段PQ的中点，即xPxQ2a，yPyQ2b.直线关于点的对称：求直线l关于点M(m，n)的对称直线l的问题，主要依据l上的任一点T(x，y)关于M(m，n)的对称点T(2mx,2ny)必在l上点关于直线的对称：求已知点A(m，n)关于已知直线l：ykxb的

5、对称点A(x0，y0)的一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线，列出关于x0，y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程，即直线关于直线的对称：求直线l关于直线g的对称直线l，主要依据l上任一点M关于直线g的对称点必在l上.类型一两直线的位置关系例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)l1l2，a(a1)b0.又l1过点(3，1)，3ab40.由，得(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率也存在，k1k2，即1a.坐标原点到这两条直线的距离

6、相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即(b)联立，解得或经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为或反思与感悟已知两直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20(1)对于l1l2的问题，先由A1B2A2B10解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去(2)对于l1l2的问题，由A1A2B1B20解出字母的值即可跟踪训练1已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值解(1)若l1l2，则a1，当a1时，l1l2.(2)当直线l2的斜率不存在时，a1.则l2：x0，

7、l1：x2y60.显然l1与l2不垂直，当直线l2斜率存在时，a1.则k2，k1.l1l2，k1·k2·1.a.类型二直线的方程例2过点P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，y2kx.令y0，得x1，x.由题意，得1，即k1.两条直线的方程分别为yx1，yx2，即为xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程为x1，x0或x

8、y10，xy20.反思与感悟求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程跟踪训练2已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值解l1的斜率k1a，当a0时，l2的斜率k2.l1l2，k1·k21，即a·1，得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)、B(1,0)，这时直线l1为x

9、轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.类型三圆的方程例3已知圆经过点A(2，1)，圆心在直线2xy0上，且与直线xy10相切，求圆的方程解设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)圆心在直线2xy0上，b2a，即圆心为C(a，2a)又圆与直线xy10相切，且过点(2，1)，r，(2a)2(12a)2r2，即(3a1)22(2a)2(12a)2，解得a1或a9，或综上所述，所求圆的方程为(x1)2(y2)22或(x9)2(y18)2338.反思与感悟(1)求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题(2)采用待定系数法求圆的方程的一般步骤选

10、择圆的方程的某一形式由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)解出a，b，r(或D，E，F)代入圆的方程跟踪训练3在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别为A(3,0)，B(2,0)，C(0，4)，经过这三个点的圆记为M.(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；(2)求圆M的方程解(1)方法一由B(2,0)，C(0，4)知，BC的中点D的坐标为(1，2)又A(3,0)，所以直线AD的方程为，即中线AD所在直线的一般式方程为x2y30.方法二由题意，得|AB|AC|5，则ABC是等腰三角形，所以ADBC.因为直线BC的斜率kBC2，所以直线AD的斜率kAD，由直线的点斜式方程，

11、得y0(x3)，所以直线AD的一般式方程为x2y30.(2)设圆M的方程为x2y2DxEyF0.将A(3,0)，B(2,0)，C(0，4)三点的坐标分别代入圆的方程，得解得所以圆M的方程是x2y2xy60.类型四直线与圆的位置关系例4已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过点M的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值解(1)由题意知，圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切；当直线的斜率

12、存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知，2，解得k.直线方程为y1(x3)，即3x4y50.故过点M的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，224，解得a.反思与感悟直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法一般常用几何法，而不用代数法因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单跟踪训练4与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_答案(x2)2(y2)22解析曲线可化为(x6)2(y6)218，其圆心到直线xy20的距离为d5，根据图示可知，所求的最小圆的圆心在

13、直线yx上，其到直线xy20的距离为，所以圆心坐标为(2,2)故圆的标准方程为(x2)2(y2)22.类型五数形结合思想的应用例5设点P(x，y)在圆x2(y1)21上(1)求的最小值；(2)求的最小值解(1)式子的几何意义是圆上的点与定点(2,0)之间的距离因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是，圆的半径是1，所以的最小值是1.(2)式子的几何意义是点P(x，y)与定点(1，2)连线的斜率如图，当切线为l1时，斜率最小设k，即kxyk20，由直线与圆相切，得1，解得k.故的最小值是.反思与感悟(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化

14、为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题跟踪训练5当曲线y1与直线yk(x2)4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析曲线y1是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线yk(x2)4是过定点(2,4)的直线设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为yk0(x2)4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即2，得k0.又直线PA的斜率为k1，所以实数k的取值范围是<k.1经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是()Am1 Bm1C1m1 D

15、m1或m1答案C解析kl1m2，由1m20，得1m1.2以点(3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A(x3)2(y4)216B(x3)2(y4)216C(x3)2(y4)29D(x3)2(y4)29答案B3直线l：xy10关于y轴对称的直线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案A解析直线l：xy10与两坐标轴的交点分别为(1,0)和(0,1)，因为这两点关于y轴的对称点分别为(1,0)和(0,1)，所以直线l：xy10关于y轴对称的直线方程为xy10.4若直线mx(m2)y20与3xmy10互相垂直，则点(m,1)到y轴的距离为_答案0或5解析由题意，得3mm(m2

16、)0，解得m0或m5，点(m,1)到y轴的距离为0或5.5已知直线xmy30和圆x2y26x50.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值解(1)因为圆x2y26x50可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为(3,0)又直线xmy30与圆相切，所以2，解得m±2.(2)圆心(3,0)到直线xmy30的距离为d.由2 ，得22m220m2160，即m29.故m±3.1求直线的方程时需要充分利用平面几何知识，主要求解方法有数形结合法、待定系数法、轨迹法等在求解时，一定要注意直线方程的各种形式的局限性平行与垂直是平面内两条直线特殊的位

17、置关系高考一般考查平行或垂直的判断、平行或垂直条件的应用2在求解圆的有关问题时，常使用几何法常使用的圆的几何性质如下：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理(3)与直径有关的几何性质：直径是圆最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角一选择题1已知直线PQ的斜率为，则将直线绕点P沿

18、顺时针方向旋转60°所得的直线的斜率是()A B0 C. D.答案C解析由直线PQ的斜率为，得直线的倾斜角为120°，故绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，斜率为.2已知圆C与直线xy0和xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案B解析由圆心在xy0上，可排除C，D.再结合图象，或验证选项A，B中圆心到两直线的距离是否等于半径即可3若点P(x0，y0)在圆C：x2y2r2的内部，则直线xx0yy0r2与圆C的位置关系是()A

19、相交 B相切C相离 D无法确定答案C解析由题意知，xyr2，圆心(0,0)到直线xx0yy0r2的距离dr，故直线与圆相离4已知点A(1,1)，B(3,5)到经过点(2,1)的直线l的距离相等，则直线l的方程为()A2xy30 Bx2C2xy30或x2 D以上都不对答案C解析当点A、B都在直线l的同侧时，设直线l的方程为y1k(x2)，此时，ABl，所以kkAB2，直线l的方程为2xy30.当A，B在l的两侧时，A，B到直线x2的距离相等，因此，直线l的方程为x2，故选C.5已知圆O1的方程为x2y24，圆O2的方程为(xa)2y21，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合

20、是()A1，1 B3，3C1，1,3，3 D5，5,3，3答案C解析两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切当两圆内切时，|a|1；当两圆外切时，|a|3，实数a的取值集合是1，1,3，3，故选C.6在空间直角坐标系中，以A(m,1,9)，B(10，1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形，其中mZ，则m的值为()A4 B4C6或4 D6或4答案A解析如果由顶点A(m,1,9)，B(10，1,6)，C(2,4,3)构成的ABC是以AB为底边的等腰三角形，则|AC|BC|，53(m2)2，mZ，方程无解；如果由顶点A(m,1,9)，B(10，1,6)，C(2,4,3)构成的ABC是

21、以AC为底边的等腰三角形，则|AB|BC|，(m10)285，mZ，方程无解；如果由顶点A(m,1,9)，B(10，1,6)，C(2,4,3)构成的ABC是以BC为底边的等腰三角形，则|AB|AC|，(m10)232(m2)2，解得m4，故选A.7直线xy20截圆x2y24所得的劣弧所对的圆心角为()A30° B45° C60° D90°答案C解析过点O作OCAB，垂足为点C，如图，由圆的方程x2y24，得圆心O的坐标为(0,0)，半径为r2.圆心到直线xy20的距离为d|OC|，直线被圆截得的弦长为|AB|22，AOB为等边三角形，即AOB60

22、6;，直线被圆截的劣弧所对的圆心角为60°，故选C.8已知直线l：kxy20(kR)是圆C：x2y26x2y90的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为()A2 B2 C3 D2答案D解析由圆C：x2y26x2y90，得(x3)2(y1)21，表示以点C(3，1)为圆心，1为半径的圆由题意可得，直线l：kxy20经过圆C的圆心(3，1)，故有3k120，得k1，则点A(0,1)，即|AC|，则|AB|2，故选D.二、填空题9直线3xmy10与4x3yn0的交点为(2，1)，则坐标原点到直线mxny5的距离为_答案解析将x2，y1代入直线方程，得解得直线m

23、xny5可化为xy10.则坐标原点到直线xy10的距离为.10将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，于是解得故mn.11已知在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的直线l与直线xy10垂直，且l与圆C：x2y22y3交于A，B两点，则OAB的面积为_答案1解析由题意知，直线l的方程为xy10，又由圆C：x2y22y3，得x2(y1)24，圆心C(0，1)到l的距离为d，|AB|222，又原点O到l的距离为，SOAB××21.三、解答题12已知直线l1：3x2y10和l2：3x2y130，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1d221，求直线l的方程解由直线l1，l2的方程知，l1l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d10或d20，不符合题意)设直线l：3x2ym0(m1且m13)，由两平行直线间的距离公式，得d1，d2.又d1d221，所以|m1|2|m13|，解得m25或m9.故所求直线l的方程