复变函数及其导数与积分1-3

1、第一章第一章 复变函数及其导数复变函数及其导数与积分与积分11.5 解析函数解析函数1.5.1复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分n一一、复变函数的导数、复变函数的导数200( ),; ,wf z zD z zzD 函函数数定义：定义：0000()()limlimzzf zzf zwzz 极极限限存在存在, 则称则称f (z)在在 z0可导可导, 此极限值就称为此极限值就称为f (z)在在 z0 的的导数，记作导数，记作00().zzdwfzdz或 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则内处处可导，则称称f (z)在区域在区域D内可导内可导。3注意：注意：(1) (1) 是是在平

2、面区域上以任意方式趋于零。在平面区域上以任意方式趋于零。.Re)(:可可导导在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不证证明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:证证明明yixxxx yixx ;0,0; 1,0zfzzfz时时取取纯纯虚虚数数趋趋于于当当时时取取实实数数趋趋于于当当.lim0不不存存在在zfz (2) (2) , , ()( )zxiyzxi yff zzf z 0z 常数的导数常数的导数 c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广n二二、求导公式与法则、求导公式与法则4 设设函数函数f

3、(z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10处处可可导导点点外外）处处在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 5复合函数的导数复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互

4、为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0。)( 1)( wzf 例例3 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？!0, 020, 012lim0不存在不存在时时当当时时当当 yxxyyixyixz)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解：解：22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解：解：.2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 6例例4 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。 时时不不存存在在时时0!)(Re(lim00Reli

5、m00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00证明证明不存在！不存在！时时当当时时当当 0, 010, 00lim0yxxyyixxz7* * * *( (1) 1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多多，这是因为，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以以任意方式趋于零的原故。任意方式趋于零的原故。 * * * *(2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续在高等数学中要举出一个处处连续， 但但处处不可导的处处不可导的

6、例子是例子是很困难的很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举。但在复变函数中，却轻而易举。?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中zzfxxf 思考题：思考题：8解：zzfzzfzw)()(zzzz22zzzzzzz)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw所以2)(zzfw在复平面上除原点外处处不可导。9n三、三、复变函数复变函数的微分的微分( )f zz则则称称在在点点 处处可可微微，定义定义：若函数若函数w=f(z)在点在点z的改变量可写成的改变量可写成其中其中 ，所以常记为：，所以常记为

7、：( )( )A zfz( )dwfzz容易证明：容易证明：可导可导 可微可微 ；可导可导 连续。连续。()( )( )(),wf zzf zA zzzz 0lim()0,|()|zzzzz 其其中中是是的的高高阶阶无无穷穷小小，( )dwA zz( )( ),A zzf zz而而称称为为在在点点 处处的的微微分分 记记为为101.5.2 解析函数的概念及其简单性质解析函数的概念及其简单性质n一、解析函数的概念一、解析函数的概念11定义：如果定义：如果函数函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内的某个邻域内处处可处处可导导， 则则称称f (z)在在z0解析解析；如果；如果f (z)在区域

8、在区域D内每一点都解析内每一点都解析， 则称则称 f (z)在在D内解析，内解析， 或或称称f (z)是是D内的内的解析函数解析函数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。如果如果f (z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f (z)的的奇点奇点。注：注：(1) w=f (z) 在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。 (2) 函数函数f (z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。例如例如(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数上的解析函数；(2) w=1/z，除去，除去z=0点外，是整

9、个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数函数；(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4)；(4) 仅仅在原点可导，故在整个复平面上不解析。在原点可导，故在整个复平面上不解析。2wz12（1）设）设f 1(z)及及f 2(z)是是区域区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f 1(z) f 2(z)， f 1(z) f 2(z) 及及 f 1(z) f 2(z) (f 2(z) 0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。n一、解析函数的一、解析函数的运算性质运算性质 1212fzfzfzfz 121221fz fzfz fzfz fz 112

10、21222fzfz fzfz fzfzfz13（2）设）设 h=f (z) 在在z平面平面上的区域上的区域 D内内解析解析, w=g(h) 在在 h 平面上的区域平面上的区域 G内内解析解析, h=f (z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w= g f(z)在在D内处处解析。内处处解析。 ( )dg f zdg hdf zdzdhdz1410110( )nnnnP za za zaaaz z+ +, ,0 0是是整整个个复复平平面面上上的的解解析析函函数数；（3）( )( )(0).( )P zR zQ z是是复复平平面面上上 除除分分母母为为 点点外外 的的解解析析函函数

11、数12011( )(1)nnnP zna zna za15 如果复变函数如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w = f (z) 在在 D内解析。内解析。 我们将从函数我们将从函数 u (x , y) 及及 v (x , y) 的可导性，探的可导性，探求函数求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？161.5.3

12、柯西柯西-黎曼条件黎曼条件17yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw ()( )f zzf zz xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu 18yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(l

13、im),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 19yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在记忆记忆yvxvyuxu 定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann条件条件(简称简称C-R条件条件).yuxvyvxu 20C-R方程等价于证明: .0zf).,(),()(),(21),(21yxvyxuzfzziyzzx. 0)(2)(21)21()(21)(yvyvixvxuiyviyuxvixuzyyfzxxfzf21定理定理（1.6） 设设 f (z) = u (x, y

14、) + iv(x, y)在在 D 内有定义，内有定义，则则 f (z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微，且满足可微，且满足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述条件满足时上述条件满足时,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 22证明证明（由由f (z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导的可导 函数函数 u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 函数函数 w =f (z)在点在点 z可导，即可导，即()(

15、 )( )f zzf zfzz设设则则 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00lim0z ()( )( ) (1)ff zzf zfzzz 23令令：因此，有因此，有0lim0z 120000limlim0 xxyyzz( ), ( ), f zui v fzizxi y 故（故（1）式可写为）式可写为12()ui vxyixy 其中其中12Re(), Im()zz1uxy 2vxy 所以所以u(x, y)，v(x, y)在点在点(x, y)处可微处可微.24 （由函数（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f (z)在点在点

16、z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx 25yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 1324()()()()C Ruvixi yixiyxx 由由方方程程0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(01324()( )()()f zzf zuvxyiiizxxzz24()0yiz26推论推论1（可微的充分条件）（可微的充分条件）若函数若函数 f (z)

17、= u (x, y) + iv(x, y)在在 D 内有定义，内有定义，则则 f (z)点点 z=x+iy D处处可微的充分条件可微的充分条件是是 点点 (x, y ) 处连续，处连续，且满足且满足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu ,xyxyu uv v27定理定理1.7 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu * * 由此由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系可以看出可导函数的实部与虚部有

18、密切的联系. .当一当一个函数可导时个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以求出导数来仅由其实部或虚部就可以求出导数来. . * * 利用利用该定理可以该定理可以判断哪些判断哪些函数是不可导的函数是不可导的. .28使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证C-R条件条件.iii) 求导数求导数：yvyuixvixuzf 1)( * * 前面前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, , 但是求但是求复变函数的导数时要注意复变函数的导数时要注意, , 并不是两个实函数分别关于并不是

19、两个实函数分别关于x, ,y求求导简单拼凑成的导简单拼凑成的. .定理定理1.8 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内内解析的充解析的充要要 条件条件 在在D内内连续，连续，且且 满足满足Cauchy-Riemann方程。方程。,xyxyu uv v29n例题例题302)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解：解： (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则则析析。在在全全平平面面不不可可导导，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 10

20、01解：解：(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 31仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R条件，故条件，故。处处可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在02 zzw解：解： (3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则则 0022 yvxvyyuxxu32例例2 求证函数求证函数.0),()

21、,( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析，并求处解析，并求在在 证明：由于证明：由于在在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数故函数w=f (z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为3322222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 复复常常数数）()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明：证明：34例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，是一解析函数， 且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x, y)=C1，