第3章信号与系统的频域分析

1、)2(T11n1n0)sincos()(ntnbtnaatf1n1n0)cos(ntnAa TttfTa001d)( TnttntfTa012dcos)( TnttntfTb012dsin)( )arctan(,2n2nnnnnabbaA0100 TttfTad)(02221 TTnttntfTadcos)( 2011201221442TTTTnntnTAttnATttntfTb cosdsindsin)(),(5314 nnA ),(6420 n)sinsin(sin)( tttAtf1115513314 （1） f(t)为奇函数为奇函数 tftf对称于坐标原点对称于坐标原点 0= )(1

2、220TTdttfTa0na2/2/1sin)(2TTntdtntfTb2010sin)(4TtdtntfT（2） f(t)为偶函数为偶函数对称于坐标纵轴对称于坐标纵轴 tftf 2010cos)(4TntdtntfTa0 nb )(2 200TdttfTa7 , 5 , 3 , 10sin)(40cos)(4201201ntdtntfTbtdtntfTaTnTn 2Ttftf 波形移动波形移动 T/2后后，与原波形与原波形横轴对称横轴对称。f(t)的傅氏级数的傅氏级数偶次偶次谐波为零谐波为零奇次奇次谐波：谐波：042420bbaaa即 2Ttftff(t)的傅氏级数的傅氏级数奇次奇次谐波为零

3、谐波为零（4）f(t)为偶谐函数为偶谐函数 波形移动波形移动 T/2后后，与原波形与原波形重合重合。0cos)(4201TntdtntfTa0sin)(4201TntdtntfTb偶次偶次谐波：谐波：0531531bbbaaa即8 , 6 , 4 , 2nTtjntjnTtjnndteedtetfF00)(周期信号周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件时，可展成：，满足狄氏条件时，可展成：tjnnneFtf)(TtjndtetfT0)(1其中：其中：00AF njnnnneAjbaF22njnnnneAjbaF22(n0)(n0)其中：=1 =T210)cos()(nnntnAAtf

4、)0(ntjnnneFtf)()(n1 1）2 2）本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。2/2/)(1TTtjnndtetfTF22sinnnT441nSFan4T1ExxxSadefsin)(取样函数取样函数22包络线41xxxSasin)()1 (频频谱谱包包络络服服从从抽抽样样函函数数(3)(3) n=0n=0 mnmn22(5)(5)( (F=1/)F=1/)：(4)(4)F Fn n=0=0频带宽度：频带宽度：2241)( 2100 f对于一般信号，对于一般信号，频带宽度频带宽度定义为幅值下降为定义为幅值下降为max101nF例：语

5、音信号频率约为例：语音信号频率约为 300 3400Hz300 3400Hz 音乐信号频率约为音乐信号频率约为 50 15,000Hz50 15,000Hz 扩大器与扬声器有效带宽约为扩大器与扬声器有效带宽约为 1520,000Hz1520,000HzsTs41201) 1 (155nSEFansTs4181)2(1 22nSEFan结论：结论： 增大时：增大时： 不变，谱线间距相等；不变，谱线间距相等； 零分量频率减小：零分量频率减小：B 或或F变小；变小； 有效谱带内谐波分量减少；有效谱带内谐波分量减少； 谱线振幅较大，减小变化急速。谱线振幅较大，减小变化急速。2nSaTFnsT2015)

6、 1 (55nSEFan1010nSEFan2020nSEFan结论：结论：当周期当周期 变大时变大时 零分量频率不变：零分量频率不变：B 或或F不变；不变； 减小，谱线间距减小，谱线变密；减小，谱线间距减小，谱线变密； 有效谱带内谐波分量增多；有效谱带内谐波分量增多； 谱线振幅减小，变化缓慢。谱线振幅减小，变化缓慢。（2）设）设 f(t) 中的中的 E不变，不变， 不变，当周期不变，当周期 变化时，变化时，频谱如何变化？频谱如何变化？sT20110)2(sT20120) 3(0, 02)4(TETT，当周期函数周期函数 非周期函数非周期函数 （2）矩形脉冲信号的频带宽度：）矩形脉冲信号的频带

7、宽度：离散频谱离散频谱 连续频谱连续频谱TT2) 1 (谱线间隔幅度（3 3）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性1F占有带宽与脉宽成反比占有带宽与脉宽成反比 )1()(ntjnneFtf)2()(122TTtjnndtetfTF周期信号周期信号 非周期信号非周期信号离散谱离散谱 连续谱，幅度无限小连续谱，幅度无限小TT 221TTtjnndtetfTF)(fnFTnF1dtetfTFtjTn)(22)(TTtjnndtetfTF)(FndeFtj)(21 dnTtjnnneTTFtf1)(2tjnnneTFTtjnnneTFtf2)()(jFTF

8、n ntjnneFtf)()()()(tfdtetfFtjF F)()(21)(1tfdeFtftjF F FtfF F1、F(j )反映单位频率上幅值与相位分布情况，反映单位频率上幅值与相位分布情况， 故称故称频谱密度函数，是连续谱。频谱密度函数，是连续谱。注意：注意：3 3、傅立叶变换与反变换是一种线性积分变换、傅立叶变换与反变换是一种线性积分变换2 2、付氏变换存在的、付氏变换存在的充分充分条件：条件： dttf 22112211FaFatfatfaF F)(| )(|)(jeFF|)(|jF：幅幅度度频频谱谱 )(：相相位位频频谱谱 4 4、 dtetfFtj)()( jba dttt

9、fjdtttf)sin()()cos()( a b )()()(22baF )()(arctan)( ab5*、f(t)的分解的分解 dtFjdtFsin21cos21 deeFtftjj)(21 tjxtrl 任意信号任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的可分解为无穷多个幅度为无穷小的 连续指数信号之和。连续指数信号之和。l 任意信号任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的可分解为无穷多个幅度为无穷小的 连续余弦信号之和。连续余弦信号之和。l 任意信号任意信号f(t)可分解为实函数和虚函数之和。可分解为实函数和虚函数之和。)2(Sa)2()2sin(de)(22-jtFt21t

10、20t)(tg 2 1 f1de )()(-jttFt1)(t)(21j1de)(0)j(tFt j1e )(tt)()(ttft ej1)()(F2121)sgn(t)0(1)0(1tt)sgn(tj2)(F2Sa j 1 0,tet1 2 *sgn t j2 j1 t t 1)(tgd)(21d)(22FttfW 0101ttt)sgn()()(),()(2211FtfFtf若)()()()(22112211FaFatfatfa则j212 )()sgn(tt )()( 2j12 F F)()(FtfF F若)(1)(aFaatfF F则)()(Ftf若0j0)()(teFttf则)(je)

11、()(FF)(jj00e)(e)(ttFF)()()()(TtgTtgtgtf)()()()(TtgTtgtgtf)ee1)(2Sa()(jjT-TF)cos)(T 212Sa( )2sin()23sin()2Sa(TT。的的频频谱谱求求图图示示信信号号)()(jFtf)1()1()(22tgtgtf解：解：)(2)(2SatgjjeSaeSaF)(2)(2)(sin)(4Saj)()(Ftf若)()(0j0Fetft则)(21)(21cos)(000FFttfttgtf0acos)()( 2Sa2Sa200a )()()( jF课堂练习：课堂练习：解：解：)4(232)4(21)(jejFj

12、Y).()23()()()(4jYetftyjFtftj的的频频谱谱，求求已已知知例：例：)(2)(:ftF则有，若)()(Ftf。和求)()(,2sin)(, 1)(2121jFjFtttftf)()()(2)(421gjFjF例：例：)(Sgnj的频谱函数。求函数t1解：解：jtSgn2)()(22Sgnjt)()(3SgnjjF)()(),()(2211FtfFtf设)()()(*)(2121FFtftf则 dtedtfftftfFtj2121* ddtetfftj)(21 deFfj)(21defFj)(12)()(21FF证明：其其他他0)(tttf)2(Sa)2Sa()2Sa()(

13、22F)(*)()(tgtgtf)()()()(*)()(HFYthtfty-jde )()(tthHt 卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系，卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系，在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值和应用价值。)(*)(21)()(2121FFtftftjejFtttfttf0)()(*)()(00)()(2*)(21)(000jFjFetftj)()(Ftf若)(j)(Ftf则j)( t1j1)(j)()(tt)(j)(FddttfEg. 如图所示梯形脉冲信号，试求其频谱函数F(j)。bb-aaf(t)tA

14、abAk设设bbaat)(tf k-bb-aat)(tf )(btk)(atk)(atk)(btk)()()()()( jFjtfFjtfF22 )()( jbjajajbeeeektfF )cos(cos abk 2)()( jFj2)cos(cos abk 2)cos(cos)( bakjF 22由傅立叶变换的微分性质：由图所以， )()(Ftf若d )(tf则0)(,j)(0FF0)(,j)()()0(0FFFttfFFd)()0()(0tje01 )(02 )(costjtjeet00210 )()(oo)()(ooj)(sintjtjeejt00210 ntnFtf1jne)(e )

15、(1jnntnFF F F)(21nnFn。求求图图示示信信号号)(),(jFtf ntjnneFtf)()(2 nSaTFn )(nFnn 2F F ntjnneFtf)()()()(nnSaTjFn 221)( )()(nnSan 2)()()(FHY)()()(FYHd)e(21)(j tHthtthHtde )()(j -相频特性幅频特性频率特性)()()(HH)(je)()(HH0)()(tKH)()(0ttKfty0je )()(tKFY0je)()()(tKFYH)(Hcj0etc0)(Sade21)(0cc)(jcc0ttthttxxxtsttdsin121)()(00c)(*)()(ttGtpT )()()(tstftfs)2(Sa)(2)(ssnsnnTFnFPn)(*)()(ttGtpT )(jP nssSsnFnSaTPFF)()2(*21)( 1) 当当 s 2 m时，时，Fs( )是是F( )在不同在不同 s倍数上的倍数上的重复与再现，仅幅值有变化。重复与再现，仅幅值有变化。2) 当当 s2 m时，时，Fs( )中出现中出现F( ) 的叠加与混合的叠加与混合（混迭现象）（混迭现象） 。 )()2()(nssSsnjFnSaTFm21fT m2f1、实现连续信号离散化，、实现连续信号离散化，为信号的数字处理奠定基础；为信