基金最佳使用计划

1、1一、基金最佳使用计划一、基金最佳使用计划1、问题的提出、问题的提出 某校基金会有一笔数额为某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入元的基金，打算将其存入银行银行 或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。率见下表。 银行存款税后年利率银行存款税后年利率（%）国库券年利率国库券年利率（%）活期活期0.792半年期半年期1.664一年期一年期1.800二年期二年期1.9442.55三年期三年期2.1602.89五年期五年期2.3043.14 假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考

2、银行的现行政策。款政策参考银行的现行政策。2校基金会计划在校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，年内每年用部分本息奖励优秀师生，每年的奖金额。每年的奖金额。 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案， 并对并对5000M万元，万元，10n年给出具体结果：年给出具体结果： 1）只存款不购国库券；）只存款不购国库券；2）可存款也可购国库券）可存款也可购国库券 3）学校在基金到位后的第）学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。 要求每年的奖金额大致

3、相同，且在要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金年末仍保留原基金数额。数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高32、问题分析、问题分析 定期存款年限越长，存款税后年利率越大。因此，在不影响奖金发放的情况下，应尽可能存年限较长的定期存款，这样才能获得较高的利息。 此基金的最佳使用计划是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息 全部用于发放第一年的奖金再拿出一部分基金存入二年定期，二年后的本息全部用于发放第二年的奖金 以此类推，且每年发放奖金数额相同最后一年存入银行的款项在发完奖金后仍然为基金总额M。 4 同期国库券年利率明显高于银行存

4、款的年利率，尽可能多购国库券 国库券发行时间不固定，若一味的追求高利率，可能会增加活期存款所占的比重，平均年利率不一定为最优。分析研究在每个年限n种最佳的方案归纳出公式，并针对具体数值M=5000万元，n=10年求出最佳存储方案用问题一、二所归纳出的方案，只需把第三年的奖金增加20%，再分别代入两个最优方案，可求出在两种不同情况下的最佳基金存款方案 。53 、模型假设、模型假设 1）每年发放奖学金一次，且均在年末发放。 2）银行发行国库券时间不固定。 3）国库券可在发行当日购买。 4）国库券在没有到期之前，不得进行贴现。4模型建立模型建立 问题一：只存款不购买国库券的情况。定理定理1 一定数额

5、的资金一定数额的资金H先存定期先存定期m年再存定期年再存定期k年和先存定期年和先存定期k年再存定期年再存定期m年，本息和相等。年，本息和相等。)5 , 3 , 2 , 1 (, km（6证明：证明： 设Lm、Lk分别为定期m年和k年的年利率,(1)mHmL先存定期k年再定期m年的本息和为 先存定期m年再存定期k年的本息和为 (1)kHkL定理定理1得证。得证。 (1)kkL(1)mmL推论推论1、一定数额的资金H若把存款年限n分成j个存期， jnnnnn321其中，ni0.5,1,2,3,5，则n年后本息和与存期顺序无关。 资金H:7 定理定理2、使一定数额的资金、使一定数额的资金H存储存储n

6、年后本息和最大的年后本息和最大的存款策略为存款策略为当当n=1时，存定期时，存定期1年；年；当当n=2时，存定期时，存定期2年；年；当当n=3时，存定期时，存定期3年；年；当当n=4时，先存定期时，先存定期3年，然后再存定期年，然后再存定期1年；年；当当n=5时，存定期时，存定期5年；年；当当5n时，首先存储时，首先存储5n个个5年定期，年定期， 剩余年限存储情况与剩余年限存储情况与5n时相同。时相同。 证明：证明： 下表中用形如下表中用形如(I,j)的形式表示存款策略，的形式表示存款策略， (I,j)表示先存表示先存i年定期，再年定期，再j年定期。年定期。8表表1 银行存款各种存款策略年均利

7、率银行存款各种存款策略年均利率存款策略存款策略银行存款税后年银行存款税后年均利率（均利率（%）最佳存款策最佳存款策银行存款税后最佳年均利银行存款税后最佳年均利率（率（%）一年期一年期（1）1.800(1)1.800二年期二年期（1,1）1.816(2)1.944（2）1.944三年期三年期（1,1,1）1.833(3)2.164(2,1)1.919(3)2.160四年期四年期(1,1,1,1)1.849(3,1)2.099(2,2)1.982(3,1)2.099五年期五年期(1,1,1,1,1)1.866(5)2.304(2,2,1)1.974(3,2)2.124(5)2.304六年期六年期(

8、3,3)2.230(5,1)2.255(5,1)2.2559 由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（和（3,3）。）。 由由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（四种定期能够组成的策略（5年定期不重复）年定期不重复）只能有（只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2),(5,3), (5,3,1)九种，九种， 它们分别对应它们分别对应n=1到到9年的最优存款策略，年的最优存款策略， 当当9n时的最佳存款策略只能是首先重复存时的最佳存款策略只能是首先

9、重复存5n个定期个定期5年，年， 剩余年限剩余年限)5,mod( n只能是只能是1、2、3、4, 当当)5 ,mod(n=3时，再存时，再存3年定期；年定期； 当当)5 ,mod(n=4时，先存时，先存3年定期，再存年定期，再存1年定期。年定期。 定理定理2得证。得证。 10定理定理3 基金基金M使用使用n年的情况，首先把年的情况，首先把M分成分成n份份 其中第其中第)1 (nii份基金份基金,ix 存款期限为存款期限为i年，年， 那么只有当第那么只有当第) 11 (nii份基金份基金ix按最优按最优i年后年后 策略存款策略存款存款存款的本息和等于当年的奖学金数的本息和等于当年的奖学金数, 并

10、且第并且第n份基金按最佳存款策略存款份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于年后的本息和等于 原基金原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。能达到最多。 证明：证明： 当当n=1时，即将基金存入银行一年后的所得利息时，即将基金存入银行一年后的所得利息全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。 当当1n时，首先需要证明：时，首先需要证明： 第一份基金第一份基金1x存入银行存入银行1年定期，年定期， 到期后本息和正好到期后本息和正好 等于奖学金数额等于奖学金数额 即即 11%)8 . 11/(,%)

11、8 . 11 (11pxpx下面试用反证法予以证明：下面试用反证法予以证明：假设假设%)8 . 11/(1 px，可分两种情况：，可分两种情况：（一）假设（一）假设%)8 . 11/(1 px，那么基金，那么基金1x存入银行存入银行1年后，年后， 到期本息和小于奖学金数额到期本息和小于奖学金数额, p为了使每年的奖学金数额尽可能相同，所差资金为了使每年的奖学金数额尽可能相同，所差资金只能从其它定期存款中按活期存款提前支取，只能从其它定期存款中按活期存款提前支取， 这样的这样的结果比按结果比按%)8 . 11/(1 px存入一年定期（即到期存入一年定期（即到期本息和正好本息和正好 等于奖学金数额

12、），等于奖学金数额）， 其它基金均按定期其它基金均按定期的总利息要少。的总利息要少。 为使奖学金数额最大，为使奖学金数额最大， 所以所以 1x %)8 . 11/( p存款存款12（二）假设（二）假设%)8 . 11/(1 px，那么基金，那么基金1x存入银行存入银行1年，年， 到期后本息和大于奖学金数额到期后本息和大于奖学金数额, p剩余资金再按最优存款策略存剩余资金再按最优存款策略存k年，这种情况所年，这种情况所 得利息显然不比在开始时多余部分资金直接最优得利息显然不比在开始时多余部分资金直接最优 存款策略存存款策略存1k年后利息多，年后利息多， 所以所以1x %).8 . 11/( p因

13、此因此%)8 . 11/(1 px 同理可证，同理可证， 为使奖学金数额最大，第为使奖学金数额最大，第i份基金份基金 ) 11 (nixi按最优存款策略存按最优存款策略存i年后本息和应正好等于奖学金数额。年后本息和应正好等于奖学金数额。第第n份基金为份基金为11niixM存储存储n年应按最佳策略存款。年应按最佳策略存款。 13根据问题条件，第根据问题条件，第n份基金按最优策略存份基金按最优策略存n年后年后 所得本息和应为所得本息和应为. pM 定理定理3得证。得证。5模型的求解模型的求解由定理由定理1、2及定理及定理3可得可得n年的最佳存款方案公式一年的最佳存款方案公式一: 其中其中)1 (n

14、ixi表示把基金表示把基金M分成分成n份中的第份中的第i份基金，份基金， p为每年的奖学金数额为每年的奖学金数额 px%)8 . 11 (1px)2%944. 11 (2px)3%16. 21 (314px%)8 . 11)(3%16. 21 (4px)5%304. 21 (505516)()(5555jjnjpxpxpxjjjj且且当当）（，pxpxjj55)(055jj当当MpxpxpxMninnni)()(11)55(5515根据上公式可用根据上公式可用Matlab求得求得n=10年，年，M=5000万元时万元时 基金使用的最佳方案：基金使用的最佳方案： 奖学金奖学金816947.109

15、p（万元）（万元）16表表2 ix值及其存值及其存i年的最佳存款策略年的最佳存款策略2x3x4x5x6x7x8x9x10 x资金数额（万元）资金数额（万元）最佳存款策略最佳存款策略107.875194(1)105.707057(2)103.133872(3)101.310287(3,1)98.472872(5)96.731702(5,1)94.787533(5,2)92.480158(5,3)90.844949(5,3,1)4108.656375(5,5)1x17 M=5000万元，万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）年基金使用最佳方案（单位：万元） 存存1年年 定期定期 存存2年年

16、定期定期 存存3年年定期定期 存存5年定年定期期取款数额取款数额每年发放奖每年发放奖学金数额学金数额第一第一年初年初107.75194105.707057204.44441594581.97359第一第一年末年末109.816947109.816947第二第二年末年末109.816947109.816947第三第三年末年末107.75194217.692141109.816947第四第四年末年末109.816947109.816947第五第五年末年末107.75194105.707057204.44441594691.7902815109.816947109.81694718M=5000万元，

17、万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）年基金使用最佳方案（单位：万元）存存1年年定期定期存存2年年定期定期存存3年年定期定期存存5年年定期定期取款数额取款数额每年发放奖学每年发放奖学金数额金数额第六第六年末年末109.816947109.816947第七第七年末年末109.816947109.816947第八第八年末年末107.875194217.692141109.816947第九第九年末年末109.816947109.816947第十第十年末年末5109.816947109.81694719问题二的求解问题二的求解 我们对可购买国库券也可存款这种情况，考虑到我们对可购买国库券也可存

18、款这种情况，考虑到国库券发行日期不定，若准备购买它，则一般需要国库券发行日期不定，若准备购买它，则一般需要等待一段时间，因为一年内至少发行一次国库券，等待一段时间，因为一年内至少发行一次国库券，有可能上半年发行，也有可能下半年发行，所以我有可能上半年发行，也有可能下半年发行，所以我们首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存们首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存储，如果上半年未发行国券，储，如果上半年未发行国券，7月月1日取出本息后再日取出本息后再存半年定期，如果下半年的某日比如存半年定期，如果下半年的某日比如8月月1日发行国日发行国库券，则取出资金购买国库券，但这部分资金未到库券，则取

19、出资金购买国库券，但这部分资金未到期，只能按活期计息。期，只能按活期计息。 如果是购买两年国库券，则两年国库券到期，如果是购买两年国库券，则两年国库券到期，因未到期末，肯定面对继续采取怎样的存储策略的因未到期末，肯定面对继续采取怎样的存储策略的问题，或者存定期，或者存活期，或者等待购买国问题，或者存定期，或者存活期，或者等待购买国库券。库券。 20 如果等待购买国库券，因国库券发行时间未定，如果等待购买国库券，因国库券发行时间未定，有可能还要等待将近一年的时间，如果准备存整有可能还要等待将近一年的时间，如果准备存整年定期，那么等到基金使用最后一年的年定期，那么等到基金使用最后一年的8月月1日即

20、日即可到期，剩下的可到期，剩下的5个月只能存活期。个月只能存活期。 根据定理根据定理2可得：可得： 推论推论2 购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。 一定数量的资金存储一定数量的资金存储n年，存期种类相同，任意改年，存期种类相同，任意改变顺序，本息保持不变，再加上以上分析，如果准变顺序，本息保持不变，再加上以上分析，如果准备购买两年期国库券可以这样想象：先存半年定期，备购买两年期国库券可以这样想象：先存半年定期，再存再存1个月的活期，在个月的活期，在8月月1日购买两年期的国库券，日购买两年期的国库券，两年后的两年后的8月月1日取出国库

21、券本息后，再存日取出国库券本息后，再存5个月的活个月的活期，即需要存半年的定期和总共半年的活期。期，即需要存半年的定期和总共半年的活期。21 单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为：半年活期后的本息为： 0638. 1)5 . 0%644. 11 ()5 . 0%792. 01 ()2%55. 21 (这种存款策略稍劣于存入银行的三年定期，这种存款策略稍劣于存入银行的三年定期，其年利率为：其年利率为：%13. 20213. 03/ ) 10638. 1 ( 同理，单位资金购买三年期国库券、存入银行同理，单位资金购买三年期国库券、存

22、入银行半年定期和半年活期后的本息为：半年定期和半年活期后的本息为：09997. 1)5 . 0%644. 11 ()5 . 0%792. 01 ()3%89. 21 (这种存储策略稍优于存入银行的四年定期，其年利率为：这种存储策略稍优于存入银行的四年定期，其年利率为： 22%499. 202499. 04/ ) 109997. 1 ( 单位资金购买五年期国库券、存入银行半年单位资金购买五年期国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为：定期和半年活期后的本息为： 1711. 1)5 . 0%644. 11 ()5 . 0%792. 01 ()5%14. 31 ( 这种存储策略稍优于存入银行的六

23、年定期，这种存储策略稍优于存入银行的六年定期，其年利率为：其年利率为：%852. 202852. 06/ ) 11711. 1 ( 在上面的分析中，因购买国库券而带来的总共半年在上面的分析中，因购买国库券而带来的总共半年的两次活期存款，其本息是按一次半年活期计算的它的两次活期存款，其本息是按一次半年活期计算的它与按一次半年活期计算，其本息差别很小，可以忽略与按一次半年活期计算，其本息差别很小，可以忽略不计。不计。所以，可以不考虑购买两年国库券情况。所以，可以不考虑购买两年国库券情况。 23 购买三年期国库券再加半年活期和半年定期共四年购买三年期国库券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利率的平

24、均年利率2.499%大于先存三年定期再存一年定期大于先存三年定期再存一年定期存款最大的四年平均年利率存款最大的四年平均年利率2.099%。 所以，增加一项定期四年存款，其年利率为所以，增加一项定期四年存款，其年利率为2.499%。 购买五年国库券再加半年活期和半年定期共六年购买五年国库券再加半年活期和半年定期共六年的平均年利率的平均年利率2.852%大于先存五年定期再存一年定大于先存五年定期再存一年定期存款最大的六年平均年利率期存款最大的六年平均年利率2.255%.所以，增加一项定期六年存款，其年利率为所以，增加一项定期六年存款，其年利率为2.852% 综上分析，可购买国库券的最优银行存款税后

25、利率如下表6-16.24银行存款税后年利率（银行存款税后年利率（%）活期活期0.792半年期半年期1.644一年期一年期1.800二年期二年期1.944三年期三年期2.160四年期四年期2.499六年期六年期2.852 当当n=1时，基金只能存入银行，使用方案参照问题一。时，基金只能存入银行，使用方案参照问题一。 当当n=2时，可购买国库券，但国库券发行日期正好在时，可购买国库券，但国库券发行日期正好在1月月1日的概率非常小，也只能把基金存入二年定期，而日的概率非常小，也只能把基金存入二年定期，而不购买国库券。不购买国库券。25根据以上的推理，可得根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为

26、：年的最优存储方案公式二为： px%)8 . 11 (1px)2%944. 11 (2px)3%16. 21 (3px)5 . 0%644. 11)(5 . 0%792. 01)(3%89. 21 (4 px%)8 . 11)(5 . 0%644. 11)(5 . 0%792. 01)(3%89. 21 (5px)5 . 0%644. 11)(5 . 0%792. 01)(5%14. 31 (606 617)()(6666jjnjPxpxpxjjjj且且当当）（2606 6)(66jjPxpxjj当MPxpxpxMnnnnii)()()66(6116据上公式用据上公式用Matlab可以求得可以

27、求得n=10年，年，M=5000万元时万元时基金使用的最优方案：（单位：万元）基金使用的最优方案：（单位：万元）每年奖学金：每年奖学金：423384.127P,654574.122,170318.12521xx27842454.115,668843.11943xx731825.104,879959.106,803799.108,794159.1138765xxxx271687.3980,182380.102109xx28问题三求解：问题三求解：方案一：只存款不购买国库券方案一：只存款不购买国库券 因学校要在基金到位后的第因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以年举行校庆，所以此年奖金应是其他

28、年度的此年奖金应是其他年度的1.2倍，倍， 计算公式只需把公式一、公式二中：计算公式只需把公式一、公式二中： Px)3%16. 21 (3改为改为 Px2 . 1) 3%16. 21 (3利用利用matlab 软件求解（程序略）软件求解（程序略）M=5000万元，万元，n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）年基金使用最佳方案：（单位：万元）29M=5000万元，万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）年基金使最佳方案（单位：万元） 存存1 1年年定期定期 存存2 2年年定期定期 存存3 3年年定期定期 存存5 5年年定期定期取款数额取款数额（到期本（到期本息和）息和）每年发放每年发放奖

29、学金数奖学金数额额第一第一年初年初105.650105.650679679103.527103.527252252220.429220.4297057054570.3924570.392364364每一每一年末年末107.55239107.552392 2107.5523107.55239292第二第二年末年末107.55239107.552392 2107.5523107.55239292第三第三年末年末105.650105.650679679234.71354234.713549 9129.0628129.06287070第四第四年末年末107.55239107.552392 2107.5

30、523107.55239292第五第五年末年末105.650105.650679679103.527103.527253253220.429220.4297057054678.1474678.1476026025107.75525107.7552392392107.5523107.5523929230M=5000万元，万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）年基金使最佳方案（单位：万元） 存存1 1年年定期定期 存存2 2年年定期定期 存存3 3年年定期定期 存存5 5年年定期定期取款数额取款数额（到期本息（到期本息和）和）每年发放每年发放奖学金数额奖学金数额第一第一年初年初105.650

31、105.650679679103.52103.5272527252220.429220.4297057054570.34570.39236492364第六第六年末年末107.552392107.552392107.552392107.552392第七第七年末年末107.552392107.552392107.552392107.552392第八第八年末年末105.650105.650679679213.203071213.203071107.552392107.552392第九第九年末年末107.552392107.552392107.552392107.552392第十第十年末年末5107.7552325107.755232107.552392107.55239231方案二，既可存款又可购买国库券方案二，既可存款又可购买国库券当当n=1,2时不涉及到校庆问题，分配方案参照问题二。时不涉及到校庆问题，分配方案参照问题二。当当n=3时，将钱直接存入银行，分配方案参照问题一。时，将钱直接存入银行，分配方案参照问题一。 当当n=4时，执行方案为购买三年期国库券、一个