第四章命题逻辑第1学期

1、第四章 命题逻辑第一节 负命题及其推理第二节 联言命题及其推理第三节 选言命题及其推理第四节 假言命题及其推理第五节 命题逻辑的自然推理系统NP第一节 负命题及其推理一、负命题（一）什么是负命题（二）负命题的逻辑性质（三）矛盾关系和等值关系二、负命题的推理第一节 负命题及其推理一、负命题（一）什么是负命题1、负命题并非这个班的学生都学英语。并非他不是乒乓球运动员。不是只要一个人上了大学，他（她）就能有所作为。负命题是否定一个命题而形成的否定一个命题而形成的复合命题。 第一节 负命题及其推理一、负命题（一）什么是负命题2、负命题的结构、形式负命题由否定词否定词和被否定的命题构成。负命题的形式：并

2、非并非p形式语言中负命题的形式称否定式；记为： p。第一节 负命题及其推理一、负命题（二）负命题的逻辑性质 负命题的真假与被否定的命题的真假是相反的。 如果p是真的，那么，并非p是假的； 如果p是假的，那么，并非p是真的。第一节 负命题及其推理一、负命题（二）负命题的逻辑性质ppTFFT 的的真值表真值表: p:我们班的同学都学英语。 p:并非我们班的同学都学英语。第一节 负命题及其推理一、负命题（三）矛盾关系和等值关系 p和p既不能同真，也不能同假。这种关系称为矛盾关系矛盾关系。 p的真值与p的真值完全相同。这种既同真又同假关系称为等值关系等值关系。第一节 负命题及其推理一、负命题（三）矛盾

3、关系和等值关系 p、p与p的逻辑关系pppTFTFTF第一节 负命题及其推理 二、负命题的推理（一）双重否定引入规则（记为+）： 从A能推出A。（二）双重否定消去规则（记为_）： 从A能推出A。从形式方面讲，我们有以下两种推出关系： AA A A第一节 负命题及其推理 二、负命题的推理 实例1：小王是有优点的。 小王不是没有优点的。 推理形式： AA实例2：并非天下无贼 天下有贼 负命题及其推理总结 1、负命题使用 2、负命题形式 3、负命题与其支命题的真值关系 4、负命题的推理第二节 联言命题及其推理 一、联言命题（一）什么是联言命题（二）联言命题的逻辑性质二、联言推理 一、 联言命题（一）

4、什么是联言命题 联言命题又称合取命题，是用“并且”联结支命题形成的复合命题。(1)小两口买了新房并且生了个儿子。(2)持公交卡坐公交车方便，也便宜。(3)某部门既是裁判员，又是运动员。(4)我知道他，但（我）并不太熟悉（他）。（一）什么是联言命题 联言（合取）命题是由联言联结词和支命题构成的。联言（合取）命题的支命题称为联言（合取）支。 合取命题的形式：p并且q。 形式语言中合取命题的形式称为合取式：pq第二节 联言命题及其推理一、联言命题（二）联言命题的逻辑性质 当且仅当所有合取支为真，合取命题为真。第二节 联言命题及其推理一、联言命题（二）联言命题的逻辑性质pqpq TTTTFFFTFFF

5、Fpq的真值表小夏歌唱得好，而且舞跳得好。第二节 联言命题及其推理一、联言命题（二）联言命题的逻辑性质的运算规律：交换律：pqqp；结合律：（pq）r p（qr）；幂等律：ppp。第二节 联言命题及其推理二、联言推理 （一）合取引入规则 由A和B可推出AB。 A，B AB；（二）合取消去规则 由AB可推出A，由AB可推出B。 AB A ；AB B。关于的推理的实例（1）小李喜爱音乐，小李喜爱体育，所以，小李不但喜爱音乐，也喜爱体育。 推理形式：p, q pq。（2）小白兔爱吃萝卜和青菜。所以，小白兔爱吃萝卜。（3）我们既要坚持四项基本原则，又要坚持改革开放。所以，我们要坚持改革开放。推理形式：

6、pq p； pq q。联言命题及其推理总结 1、注意逻辑联结词和日常语言连接词的关系 2、联言命题形式 3、联言命题与其支命题的真值关系 4、联言命题推理第三节 选言命题及其推理一、选言命题（一）什么是选言命题 （二）选言命题的逻辑性质（三）对联言命题和选言命题的否定二、选言推理（一）相容选言推理规则（二）不相容选言推理规则第三节 选言命题及其推理一、选言命题（一）什么是选言命题 选言命题，又称为析取命题，是用“或者”、“要么”等命题联结词联结支命题（称为选言支或者析取支）而形成的复合命题。第三节 选言命题及其推理一、选言命题（一）什么是选言命题 (1)罗素或者是文学家，或者是逻辑学家。(2)

7、今天要么下雨，要么不下雨。 选言命题可分为相容的选言命题和不相容的选言命题两类。第三节 选言命题及其推理一、选言命题（一）什么是选言命题 （1）相容选言命题及其形式 相容选言命题，又称（弱）析取命题，是用“或者”联结支命题而形成的选言命题。 相容选言命题的支命题是可以同真的。(1)小王或者是班干部，或者是学生会干部(二者可以得兼)。(2)这份统计材料，或者是原始材料有错误，或者是计算有错误（或者两种情况都存在)。 第三节 选言命题及其推理一、选言命题（一）什么是选言命题 （1）相容选言命题及其形式 相容选言命题的形式是：p或者q。 在形式语言中，以析取式pq表示相容选言命题的形式。 称为(相容

8、、弱)析取词。读为“或者”。第三节 选言命题及其推理一、选言命题（2）不相容的选言命题及其形式 不相容选言命题，也称强析取命题，是用“要么，要么”联结支命题构成的选言命题。 不相容选言命题支命题是不可同真的。(1)鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。 (2)要么选老王当村长，要么选小李当村长。 (3)要么武松打死老虎，要么老虎吃掉武松。第三节 选言命题及其推理一、选言命题（一）什么是选言命题（2）不相容的选言命题及其形式 不相容选言命题的形式可以表示为：要么p,要么q。 在形式语言中，可以用强析取式p q表示。 称为强析取词， 读为“要么”。第三节 选言命题及其推理一、选言命题（二）

9、选言命题的逻辑性质 相容选言命题至少有一个选言支真，选言命题为真。第三节 选言命题及其推理一、选言命题（二）选言命题的逻辑性质 的真值表pqp qTTTTFTFTTFFF或者你说错了，或者我听错了。第三节 选言命题及其推理一、选言命题（二）选言命题的逻辑性质 不相容选言命题的逻辑性质：选言支有而且只有一个为真，不相容选言命题为真。第三节 选言命题及其推理一、选言命题（二）选言命题的逻辑性质 的真值表pqp qTTFTFTFTTFFF鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。 第三节 选言命题及其推理 （三）对联言命题和选言命题的否定 对联言命题和选言命题的否定可以用 德摩根 (De Mor

10、gan)律来表示：1德摩根律：(pq) pq，2德摩根律：(pq) pq。 第三节 选言命题及其推理 用真值表检验德摩根律pqpqpq (pq)p qTTFFTFFTFFTFTTFTTFFTTFFTTFTT德摩根律的实例并非这件衣服物美(而且)价廉 这件衣服或者物不美，或者价不廉。 (pq) pq并非小李或小王的答案正确。小李的答案不正确，小王的答案也不正确。 (pq) pq第三节 选言命题及其推理二、选言推理（一）相容选言推理规则 1析取消去规则(记为_) 从AB和A可推出B； 从AB和B可推出A。 AB，A B； AB，B A。 规则：否定一部分选言支，就要肯定其余的选言支。 第三节 选言

11、命题及其推理 关于的推理实例 或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是); 李某不是嫌疑犯; 所以，王某是嫌疑犯。 选言命题及其推理 用p表示李某是嫌犯，q表示王某是嫌犯。它的形式可表示为：pq,p q.正确 否定一部分选言支，就要肯定其余的选言支。 第三节 选言命题及其推理二、选言推理（一）相容选言推理规则2析取引入规则(记为+) 从A可推出AB；从B可推出AB。 A AB ； B AB。这条规则，一般不单独使用。第三节 选言命题及其推理 排斥规则：肯定一部分选言支，不能得结论。 这份统计材料或者原始数据有错误，或者计算有错误，经查证，这份统计材料计算有错误，所以，这份统计材料原始数

12、据没有错误。 pq, q p错误；原因见上。第三节 选言命题及其推理二、选言推理（二）不相容选言推理规则1否定肯定式从A B和A可推出B；从A B和B可推出A。A B，A B； A B，B A。不相容选言推理 否定肯定规则 否定一部分选言支，就要肯定另一部分选言支。第三节 选言命题及其推理二、选言推理（二）不相容选言推理规则2肯定否定式 从A B和A可推出 B； 从A B和B可推出 A。 A B， A B； A B， B A。不相容选言推理 肯定否定规则 肯定一部分选言支，就要否定另一部分选言支。关于 的推理实例 鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。 p q， p

13、q 正确， 不相容选言推理，否定一部分选言支就要肯定其余的选言支。第四节 假言命题及其推理一、假言命题（一）什么是假言命题（二）假言命题的逻辑性质二、假言推理（一）充分条件假言推理（二）必要条件假言推理（三）充要条件假言推理（四）-（七）其他联结词的推理第四节 假言命题及其推理一、假言命题 假言命题也称为条件命题，是由“如果，那么”、“只有，才”、“当且仅当”等联结词联结两个支命题而形成的复合命题。（1）如果有降雨，气温就会下降。（2）只有你去，我才放心。（3）线段a和b平行，当且仅当它们的同位角相等。假言命题假言命题充分条件假言命题必要条件假言命题充分必要条件假言命题第四节 假言命题及其推理

14、一、假言命题（一）什么是假言命题一、假言命题（一）什么是假言命题1 充分条件假言命题充分条件假言命题 充分条件假言命题是用“如果，那么”等联结词联结两个支命题形成的假言命题。(1)只要你不断地坚持锻炼，你的身体就会康复。(2)假如李林的算法是正确的，那么，这个问题就不止一个正确答案。(3)我们会采纳你的建议，如果你的建议切实可行。第四节 假言命题及其推理（一）什么是假言命题（一）什么是假言命题1 充分条件假言命题充分条件假言命题充分条件假言命题组成成份： 联结词： 如果，那么； 只要，就；若，则；倘若，则；假如，就；一旦，就；。 支命题： 前、后件。（其它自己分析）第四节 假言命题及其推理（一

15、）什么是假言命题（一）什么是假言命题1充分条件假言命题 充分条件假言命题形式： 如果p，那么q。 形式语言中，以（实质）蕴涵式pq表示。 称为（实质）蕴涵词。第四节 假言命题及其推理（一）什么是假言命题（一）什么是假言命题2必要条件假言命题什么是必要条件假言命题?必要条件假言命题是用“只有，才”，“除非，不”等联结两个支命题形成的假言命题。(1)只有由细菌引起的疾病，才能用抗生素治疗。(2)我不去，除非你去。第四节 假言命题及其推理（一）什么是假言命题（一）什么是假言命题2必要条件假言命题的形式是： 只有p，才q。 形式语言中，用pq来表示。 称为逆蕴涵词。第四节 假言命题及其推理（一）什么是

16、假言命题（一）什么是假言命题3充分必要条件假言命题 简称充要条件假言命题，也称为双条件命题，是用“当且仅当”作为联结词的假言命题。(1)a和b平行,当且仅当它们的同位角相等。(2) p真，当且仅当p为假。第四节 假言命题及其推理（一）什么是假言命题（一）什么是假言命题 3充分必要条件假言命题 充要条件假言命题的形式： p当且仅当q。 形式语言中, 以pq表示。 称为等值词。第四节 假言命题及其推理（二）假言命题的逻辑性质1充分条件假言命题的逻辑性质 因为如果p是q的充分条件，那么，有p就有q，就不会出现有p而无q的情况。 所以如果充分条件假言命题是真的，就不会出现前件真而后件假的情况。第四节

17、假言命题及其推理 1.充分条件假言命题 （） 的真值表pqp qTTTTFFFTTFFT如果你这次完成了任务，那么，我批准你当兵。第四节 假言命题及其推理（二）假言命题的逻辑性质2必要条件假言命题的逻辑性质因为 p是q的必要条件，就是说没有p就没有q。 所以如果一个必要条件假言命题为真，就不会出现前件假而后件真的情况。第四节 假言命题及其推理2.必要条件假言命题 （ ）的真值表pqpqTTTTFTFTFFFT只有小王年满18岁，他才有选举权。第四节 假言命题及其推理 （二）假言命题的逻辑性质3.充要条件假言命题的逻辑性质因为p是q的充要条件是说有p必有q,无p必无q;所以如果前件和后件都是真的

18、，那么，充要条件假言命题是真的，如果前件和后件都是假的，那么，充要条件假言命题也是真的。 第四节 假言命题及其推理 3.充要条件假言命题的 （ ）的真值表pqp qTTTTFFFTFFFTABC是等边三角形当且仅当三个内角相等。命题知识的应用 如果用“p”表示“北京奥运会属于中国人民”，用“q”表示“北京奥运会属于亚洲人民”，用“r”表示“北京奥运会属于世界人民”，那么命题“北京奥运会不仅属于中国人民，也属于亚洲人民，也属于世界人民。”的形式可表示为 。命题知识的应用 “昨晚小张和小李至少有一个人值班”。如果上述命题为真，那么，下述命题中（ ）一定是假的。 A.昨晚小张和小李两人都没有值班。

19、B.昨晚小张和小李两人都值班。 C.昨晚小张没有值班或者小李没有值班。 D.昨晚要么小张没有值班要么小李没有值班。命题知识运用 在一场法庭辩论中， 控方说：如果嫌疑人有罪，那么他有同伙。 辩方针对控方的以上陈述，说：他（指控方）说的完全不对。 问题：辩方的这个说法对他的当事人有利吗？为什么？命题知识的应用 有一种观点认为，“只要有足够的钱，就能买到一切”。从这个观点出发，可以推出的结论是（ ）。 A 有些东西，即使有足够的钱也不能买到。 B 如果有一件我买不到的东西，便说明我没有足够的钱。 C 如果没有足够的钱，那么什么也买不到。 D 没有足够的钱，也能买到有的东西。二、假言推理 1.如果违章

20、车不受罚，那么不能年检。这辆违章车还没受罚。所以，这辆违章车不能年检。 2. A：走，我们去看看唐明。 B：唐明不在家。 A：你怎么知道的？ B：如果他在家，他的自行车就会停在他家门口。但是，我来时看到，他的自行车没有停在他家门口。二、假言推理 （一）充分条件假言推理 （二）必要条件假言推理 （三）充要条件假言推理 （四）假言易位推理 （五）反三段论 （六）假言三段论 （七）二难推理第四节 假言命题及其推理二、假言推理（一）充分条件假言推理1肯定前件规则 从AB和A能推出B。 AB，A B。 （蕴涵消去规则,记为_,也称分离规则）肯定前件，就要肯定后件。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（一

21、）充分条件假言推理2否定后件规则 从AB和B能推出A。 AB，BA（否定后件式，记为M.T.）否定后件，就要否定前件。 关于的推理规则的实例1.如果违章车不受罚，那么不能年检。 这辆违章车还没受罚， 所以，这辆违章车不能年检。P:一辆违章车受罚；q:这辆车年检。pq，p q正确，充分条件假言推理肯定前件就要肯定后件。关于的推理规则的实例 2.海瑞精神不用说在今天难以显灵，就是在大明朝也不太管用(p)。海瑞精神如果管用(p)，大明朝又怎么会倒掉呢(q)？（京报网2007年3月30日，网络编辑：赵志芬，作者：苏文祥） 这是一个充分条件假言推理的否定后件式的省略表达。分析 省略了一个前提“大明朝倒掉

22、了”(q)。补充完整后应为： 海瑞精神如果（在大明朝）管用(p)，那么大明朝不会倒掉(q)；大明朝倒掉了(q)；因此，海瑞精神在大明朝也不管用(p)。 这个推理的形式为：pq，qp 这个推理是有效的。因为它符合充分条件假言推理的规则，否定后件就要否定前件。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（一）充分条件假言推理3.肯定后件，不能得出结论： AB，B A； 4.否定前件，不能得结论： AB，AB；（一）充分条件假言推理 两小儿辩日： 1、如果太阳离我们近，那么我们感觉热；中午我们感觉热，所以，中午太阳离我们近。 2、如果太阳离我们近，那么我们看它大；早晨我们看它大，所以，早晨太阳离我们近。（一

23、）充分条件假言推理 分析： 这是充分条件假言推理的肯定后件式； AB，B A； 不正确； 因为充分条件假言推理肯定后件，不能得出结论。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（二）必要条件假言推理 1否定前件规则 从AB和A能推出B。 AB，A B 。 2肯定后件规则 从AB和B能推出A。 AB，B A。（二）必要条件假言推理 (1)只有你学习努力，才能取得好成绩。 你学习不努力。 所以，你不能取得好成绩。 (2)除非发生了意外情况，这趟列车不会停在这个地方。 这趟列车既然停在这个地方， 可见，发生了意外情况。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（二）必要条件假言推理 3.肯定前件，不能得结论：

24、AB，A B； 4.否定后件，不能得结论： AB，B A。关于和的推理规则 “我又不贪污，怎么会犯罪？”可以分析为两种不同的推理： (1)（任何人）只有贪污，才会犯罪，我不贪污，所以，我不会犯罪。 (2)（任何人）如果贪污就会犯罪，我不贪污，所以，我不会犯罪。 和的推理规则不同，不能混淆。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（三）充要条件假言推理 1等值引入规则(记为+)： 从AB和BA可推出AB。 AB ，BA AB。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（三）充要条件假言推理 2等值消去规则(记为_)： 从AB可推出AB；从AB可推出BA。 ABAB ； ABBA 。第四节 假言命题及其推理

25、 关于的推理规则运用实例 如果一个三角形是等腰三角形，那么它是等角三角形。 如果一个三角形是等角三角形，那么它是等腰三角形。 一个三角形是等腰三角形当且仅当它是等角三角形。 pq ， q p pq第四节 假言命题及其推理二、假言推理（三）充要条件假言推理 对于充要条件假言推理，以下四种推理形式都是有效的： 3.肯定前件式：AB，A B； 4.否定前件式：AB，A B ； 5.肯定后件式：AB，B A； 6.否定后件式：AB，B A 。 第四节 假言命题及其推理二、假言推理（四）假言易位推理 利用假言命题之间的转换，我们有如下称为假言易位的推理： ABBA； BAAB； ABBA； BAAB。第

26、四节 假言命题及其推理假言易位推理实例1.如果寒潮到来，气温就会下降。如果气温没有降，那么寒潮没有到来。（ABBA）2.（如果你）喝酒，（那么你）不（要）开车；因而，（如果你）开车，那么你不(要)喝酒。请分析这个推理的形式。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（五）反三段论 ABC ACB； ABC BCA。 如果一个推理前提真而且形式正确，那么，结论就是真的， 所以，如果一个推理前提真而且结论假，那么，推理形式就不正确。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（六）假言三段论 利用蕴涵词的传递性，我们有如下称为假言三段论的推理（记为：H.S.)： AB，BC AC。 名不正则言不顺； 言不顺则事

27、不成； 所以，名不正则事不成。第四节 假言命题及其推理二、假言推理（七）二难推理简单构成式：AC，BC，AB C复杂构成式：AC，BD，AB CD简单破坏式：AB，AC，BC A复杂破坏式：AC，BD，CD AB第四节 假言命题及其推理二、假言推理（七）二难推理举例：如果刺激老虎，那么它要吃人； 如果不刺激老虎，老虎也要吃人； 或者刺激老虎，或者不刺激老虎。 总之，老虎都要吃人。简单构成式：AC，BC，AB C第四节 假言命题及其推理（七）二难推理欲寄君衣君不还，不寄君衣君又寒。寄与不寄间，妾身千万难。（元姚燧 ，越调凭阑人寄征衣 ） 若寄君衣，则君不还； 不寄君衣，则君又寒； 寄或者不寄；

28、所以，或君不还或君受寒。复杂构成式：AC，BD，AB CD破斥二难推理的方法：指出假言命题不真；指出选言命题不穷尽；构造相反的二难推理。破斥二难推理的方法：指出假言命题不真；举例： 传说：旧时某地的喇嘛念冰雹经，给农民立下规矩： 如果天不下冰雹，是念经有功，要交费酬谢； 如果天下冰雹，是民心不诚，要交罚款； 天或者不下冰雹或者下冰雹； 总之，农民或交酬谢或被罚款。 （复杂构成式： AC, BD, AB CD ）破斥二难推理的方法：（2）指出选言命题不穷尽；（避角法）举例： 如果天气热，人就不舒服； 如果天气冷，人也不舒服； 天气或者热或者冷； 总之人不舒服。（简单构成式： AC，BC，AB C

29、 ） 提示：没有考虑到天气不冷不热的情况。破斥二难推理的方法：构造相反的二难推理。（执角法） 半费之讼： 老师：Protagoras；学生：Euathlus。 古希腊智者普罗泰哥拉曾招收欧提勒士学习诉讼， 两人定有契约：欧提勒士毕业时付给普罗泰哥拉一半学费，另一半学费等欧提勒士第一次出庭打赢官司时付清。 但是欧提勒士毕业后一直不出庭打官司，普罗泰哥拉决定索取另一半学费。为此，他向法庭起诉，并提出如下的二难推理破斥二难推理的方法：构造相反的二难推理。半费之讼：半费之讼 老师： 如果我打赢了这场官司，欧提勒士必须按法庭的判决付给我学费； 如果我打输了，他必须按协议的规定付给我学费； 这场官司我或者

30、赢或者输； 所以，欧提勒士必须付给我学费。 学生： 如果我赢了这场官司，按照法庭的判决，我不必付学费； 如果我输了，按照协议的规定，我也不必付学费； 这场官司我或者赢或者输； 所以，我都不必付学费。 推理知识的分析应用 张半仙在街头大吹大擂说他能预测吉凶祸福，料事如神。小杜听后，装着气喘吁吁地跑来喊道哎呀，张大师，你还不赶快回去，你儿子被汽车撞伤了！张半仙大惊，赶紧收起摊子就跑。小杜哈哈大笑对众人说：其实他儿子并没出车祸，我只是想戳穿他的谎言。如果他真能预测吉凶，那么他就应当知道他儿子并没出车祸。现在，他不知他儿子并未出车祸，可见他根本不能预测吉凶推理分析 如果他真能预测吉凶，那么他就应当知道

31、他儿子并没出车祸。现在，他不知他儿子并未出车祸，可见他根本不能预测吉凶。 推理形式： AB，B A 。 有效（正确）。 充分条件假言推理否定后件就要否定前件。第五节 命题逻辑的自然推理系统NP一、形式语言二、命题逻辑的形式语言的语义解释（略）三、有前提的形式推演定义四、推理规则第五节 命题逻辑的自然推理系统NP 五、直接证明 六、条件证明 七、反证法和归谬法 八、关于联结词的一些规律 九、关于演绎推理的一些性质 十、命题逻辑的自然推理系统NP的性质第五节 命题逻辑的自然推理系统NP一、形式语言 （一）初始符号 （二）形成规则 （三）其他联结词的定义第五节 命题逻辑的自然推理系统NP一、命题逻辑

32、的形式语言（一）初始符号1.可数无穷多的变元符号：p1, p2, p3，；2.联结词符号：，；3.左括号和右括号：(，)。这些符号构成的有穷长的序列称为符号串.符号串与复合命题的形式 p, pq, pq,； (pq，pq， pqr： p(qr)， (pq)r， （ p q）r， p (qr)， (pq)r)。 第五节 命题逻辑的自然推理系统NP（二）公式的形成规则1.p，q，r，是公式；2.如果A是公式，那么（A）是公式；3.如果A和B是公式，那么（AB）、（AB）、（AB）都是公式。4.只有13形成的符号串是公式。 形成规则的作用以递归的方式定义公式。提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串

33、是不是公式。公式和子公式 A和(A)是 (A)的子公式； A、B和(AB)是 (AB)的子公式； A、B和(AB)是 (AB) 的子公式； A、B和(AB)是 (AB) 的子公式。 主联结词：辖域最大的联结词。省略括号的约定(1)公式最外层的括号可以省略。(2)联结词的结合力依下列次序递减： ，。(3)连续的“”从后向前结合。第五节 命题逻辑的自然推理系统NP（三）其他联结词的定义 df：A Bdf(AB)(AB)； df：ABdf BA； df：A Bdf (AB) (BA)。 联结词的定义可以看成是一种缩写。第五节 命题逻辑的自然推理系统NP三、有前提的形式推演如果一个公式序列B1，B2，

34、Bm中的每一个公式Bi（1im）满足下列条件之一：1.Bi是前提之一: A1，A2，An；2.Bi是一个临时引入的假设(在条件证明和反证法中)；第五节 命题逻辑的自然推理系统NP3.Bi是由该序列中若干在前的公式运用推理规则得到的；并且，Bm是推理的结论B， Bm不依赖于假设。 我们就把这个命题序列称为NP系统中一个有前提的形式推演或者有前提的形式证明，记为：NP B。在不引起混淆的情况下，下标NP可以省略，记为 B。第五节 命题逻辑的自然推理系统NP 四、推理规则 （一）基本推理规则 （二）常用的派生规则 （三）等值置换规则第五节 命题逻辑的自然推理系统NP四、推理规则 （一）基本规则是决定

35、一个逻辑系统是什么逻辑系统的规则。 基本规则决定后，一个逻辑系统包含的逻辑规律或推出关系也由此而确定了。 第五节 命题逻辑的自然推理系统NP四、推理规则（一）基本推导规则1.合取词引入规则(+)： A，B AB。2.合取词消去规则(_)： AB A ；AB B。3.析取词消去规则(_)：AB，A B； AB，B A。4.析取词引入规则(+)：A AB ；B AB。四、推理规则（一）基本推导规则5.蕴涵词消去规则（即肯定前件规则，分离规则，记为M.P.，_）：AB，A B。6.蕴涵词引入规则（也称条件证明规则,+）：如果， A B，那么 AB。7.否定词消去规则（也称反证法规则，_）：若，A B

36、B，则 A。四、推理规则（二）派生规则派生规则是由基本规则推导出来的规则。运用派生规则进行推演，可以缩短推演过程。第五节 命题逻辑的自然推理系统NP四、推理规则（二）常用的派生规则1.等值词引入规则（+）：AB，BAAB2.等值词消去规则（_）：ABAB；ABBA。3.双重否定引入规则（+）：A A；4.双重否定消去规则（_）：AA；第五节 命题逻辑的自然推理系统NP三、推理规则及形式证明（二）常用的派生规则5.否定后件规则（M.T）AB，B A ；6.的否定前件规则：AB，AB；7.肯定后件规则：AB，BA；8.假言三段论规则：AB，BCAC。第五节 命题逻辑的自然推理系统NP四、推理规则（

37、三）等值置换规则 等值置换规则（记为R.P.）：在形式证明中，具互推关系的公式，可以相互置换。常用的互推关系有：1. A A A A2.德摩根律（记为DeM）: （AB）AB； （AB）AB。3.蕴析律：ABAB；第五节 命题逻辑的自然推理系统NP（三）常用的等值置换规则:4.对的否定：（AB）AB；5对的否定：（AB）AB； 6假言易位律：AB BA ；7输入输出律：ABCA（BC）8条件交换律： A（BC）B（AC）五、直接证明 直接证明（direct proof）是在推理规则的控制下，根据已知前提逐步得出结论的证明方法。直接的形式证明例1A(AC) CA(AC) A1A (1), _AC

38、 (1), _C (2),(3), _ 直接形式证明例2AB C, A, B C(1) AB C A1(2) A A2(3) B A3(4) AB (2), (3), + (5) C (1), (4), _直接形式证明例3A， AC BBA A1AC B A2AC (1), +(1) B (2), (3), _ 直接形式证明例4A(C B), A C BA (C B) A1 A A2(1)C B (1),(2), _六、条件证明 条件证明（conditional proof）又称为辅助证明。条件证明是可以用于证明形式为AB的条件命题的方法。 条件证明规则，也称为蕴涵词引入规则（记为+）。这条规

39、则是这么规定的：当我们不能从前提直接推出AB时，我们就添加（或补充）辅助假设A，再从给定前提和辅助假设A共同推出命题B,那么，由原来的前提当然就可以推出命题AB。 蕴涵引入规则蕴涵引入规则(+)的具体步骤的具体步骤当不能从前提集当不能从前提集直接推出AB时，我们就： （1）引入辅助前提假设A； （2）由和A共同推出B； （3）运用条件证明规则消去临时引入 的假设A，就可以从推出AB。蕴涵引入规则蕴涵引入规则(+)的使用例的使用例1 1 pq pq (1) pq A1 (2) p H1 (3) q (1),(2), _ (4) pq (2),(3), +蕴涵引入规则蕴涵引入规则(+)的使用例的使

40、用例2 2AB，BC AC (1) AB A1(2) BC A2 (3) A H1(+的假设) (4) B (1)，(3)，_ (5) C (2)，(4)，_ (6) AC (3)，(5)，+ (消去H1)蕴涵引入规则蕴涵引入规则(+)的使用例的使用例3 3（AB）（BC） A（BC）(1)（AB）（BC） A1 (2) A H1(+的假设） (3) B H2(+的假设） (4) AB (3), + (5) AB (4)R.P.(蕴析律) (6) BC (1),(5), _ (7) C (3),(6), _ (8) BC (3),(7) +(9)A（BC） (2),(8) +蕴涵引入规则蕴涵引

41、入规则(+)的使用练习的使用练习 A(BC) (AB)(AC) （1）A(BC) 分析：不能直接得到(AB)(AC)， 首先：我们假设其前件（2）(AB)，在（1）和（2）下如果能得到(AC)，我们就能在（1）下得到结论(AB)(AC)； 其次：在（1）和（2）下如何得到(AC)？七、反证法和归谬法 （一）反证法（一）反证法 反证法又称为间接证明（indirect proof）。其规则也称为否定词消去规则（记为_）。它可以有不同的表现形式，主要表现为： 特殊形式：AB，AB A； 一般形式：若，A BB，则 A。 否定消去规则(_)的使用步骤当从前提集不能直接推出A时，我们就：（1）以A做为临

42、时的假设；（2）从和A共同推出一个逻辑矛盾BB；（3）运用否定消去规则（反证法），就可以从推出A。否定消去规则(_)的使用例1AA(1) A A1 (2) A H1（ _的假设）的假设） (3) AA (1)，(2)，+(4) A (2)，(3)， _ (消去消去H1) 导出规则：导出规则：双重否定消去规则双重否定消去规则( (记为记为_)_)：从：从A A推出推出A A。否定消去规则的使用例2AA(1) A A1 (2) A H1（ _的假设）的假设） (3) A (2) ,_ (4) A A (1)，(3)，+(5) A (2)，(4)， _（消去（消去H1） 导出规则：导出规则：双重否定

43、引入规则双重否定引入规则( (记为记为+):+):从从A A推出推出A A。否定消去规则的使用例3证明：AB ,AB , B B A A (1) AB A1 (1) AB A1 (2) (2) B A2 B A2 (3) (3) A H1 ( A H1 ( _ _的假设的假设) ) (4) A (3) (4) A (3)，_ _ (5) B (1) (5) B (1)，(4)(4)，_ _ (6) B (6) B B (2)B (2)，(5)(5)，+ + (7) (7) A (3)A (3)，(6)(6)， _ _ （二）归谬法：（二）归谬法： 归谬法（reduction to absurd

44、ity）也称为否定词引入规则（记为 +），它的表现形式可以有： 特殊形式：AB， AB A. 一般形式：若, A B B，则 A。否定消去规则的使用例4ABAB，AA B B A(A(归谬法，记为归谬法，记为 +)+)(1) AB A(1) AB A1 1(2) A(2) A B AB A2 2 (3) (3) A HA H1 1( ( _ _的假设的假设) ) (4) A (3) (4) A (3)，_ _ (5) B (1) (5) B (1)，(4)(4)，_ _ (6) (6) B (2)B (2)，(4)(4)，_ _ (7) B (7) B B (5)B (5)，(6)(6)，+(

45、8) (8) A (3)A (3)，(7)(7)， _ _（消去（消去H H1 1） +和_的综合运用蕴涵引入规则和反证法也可以这样来运用：(1)引入结论AB的前件A做为+的假设（H1）；(2)引入结论AB的后件的否定B做为_的假设(H2)；(3)推出逻辑矛盾CC，运用_消去B得到B;(4)再运用+消去A，得到结论AB。 ABC BABC B CC A A(1) ABC A(1) ABC A1 1 (2) B (2) B C C H H1 1（+的假设）的假设） (3) (3) A H A H2 2 ( ( _ _的假设的假设) ) (4) A (3) (4) A (3)， _ _ (5) B

46、 (2) (5) B (2)，_ _ (6) AB (4) (6) AB (4)，(5)(5)，+ (7) C (1),(6),_(7) C (1),(6),_ (8) (8) C C (2)(2)，_ _ (9) C (9) C C C (7) (7)，(8)(8)，+ (10) (10) A (3)A (3)，(9)(9)， _ _（消去（消去H H2 2）(11) B(11) B C C A (2)A (2)，(10)(10)，+（消去（消去H H1 1） AB AB BB A A(1) AB A(1) AB A1 1 (2) (2) B HB H1 1（+的假设）的假设） (3) (3

47、) A H A H2 2 ( ( _ _的假设的假设) ) (4) A (3) (4) A (3)， _ _ (5) B (1) (5) B (1)，(4)(4)，_ _ (6) B (6) B B (5)B (5)，(2)(2)，+ (7) (7) A (3)A (3)，(6)(6)， _ _（消去（消去H H2 2）(8) (8) BB A (2)A (2)，(7)(7)，+（消去（消去H H1 1） BB A ABA AB(1)(1) BB A AA A1 1 (2) A H (2) A H1 1（+的假设）的假设） (3) (3) B B H H2 2 ( ( _ _的假设的假设) )

48、 (4) (4) A (1),(3)A (1),(3)，_ _ (5) A (5) A A (2)A (2)，(4)(4)，+ (6) (6) B B (3) (3)，(5)(5)， _ _（消去（消去H H2 2）(8) AB(8) AB (2) (2)，(6)(6)，+（消去（消去H H1 1）第五节 命题逻辑的自然推理系统NP证明：(AB)(AC)A(BC) (1)(AB)(AC) A1 (2)A H1（+的假设） (3)B H2（+的假设） (4) C H3（_的假设） (5)AC (2)，(4)，+ (6) (AC) (5)，R.P. (7) (AB) (1)，(6)，M.T. (8

49、)AB (7)，R.P.第五节 命题逻辑的自然推理系统NP 证明：(AB)(AC)A(BC) (9) B (8)，_ (10)BB (3)，(9)，+ (11)C (4)，(10)，_(消去H3) (12)BC (3)，(11)，+(消去H2)(13)A(BC) (2)，12)，+(消去H1).等值置换规则使用(AB)C， AB C(AB)C A1AB A2(AB)C (1), R.P.(蕴析律) C (2),(3), _ 第五节 命题逻辑的自然推理系统NP八、关于联结词的一些逻辑规律 1.(AB) A，(AB) B； 2.A (AB)，B (AB)； 3.AB，AC，BC C (二难推理,记

50、为D.C.)； 4.AB，AC，BCA ( 二难推理)； 5.ABCACB ( 反三段论)； 6.ABC A(BC) (条件输出)； 7.A(BC) ABC (条件输入)；八、关于联结词的一些逻辑规律 8.A(BC)(AB)(AC) (蕴涵分配) ； 9.A(BC)B(AC) (条件互易)； 10.AC，BC ABC (前件合取)； 11.AB，AC ABC (后件合取)； 12.ABC(AC)(BC)；13.ABC(AC)(BC)； 以元语言变元表达的NP系统的语法推出关系，每一种都代表了对象语言中无穷多的语法推出关系。(AB) A，就代表了以下无穷多的语法推出关系： (pq) p, (pq

51、) p, (pqr) (pq), (pr)(pq) (pr), 。第五节 命题逻辑的自然推理系统NP九、关于演绎推理的一些性质（一）证明公式集的不一致 如果从一个公式（命题）集合中可以推出逻辑矛盾，那么，这个公式（命题）集合是不一致（不相容、不协调）的。 例如， AB ，A，B 就是不一致的。 （二）正确推理的不可否定性 对于任何一个形式正确的推理而言，肯定其前提而否定其结论，必然导致逻辑矛盾。证明下列公式集不一致1.ABC，CD，A D(1) ABC A1(2) CD A2(3) A D A3(4)A (3)，_(5) D (3)， _ (6) AB (4)，+(7) C (1)，(6)，

52、_(8) D (2)，(7)，_(9) D D (5)，(8)，+形式证明的应用构造日常推理的形式证明例：如果不换8号上场（p）或12号上场(q)，甲队的形势不会好转(r)。 教练没有换8号上场，也没有换12号上场。 所以，甲队的形势不会好转。 将前提和结论形式化： A A1 1： (pq)(pq) r r A A2 2： pp q q B B： r r(1) (1) (pq)(pq) r A r A1 1(2) (2) pp q Aq A2 2(3)(3) (pq) (2),R.P.(DeM)(pq) (2),R.P.(DeM)(4) (4) r (1) r (1)，(3) ,_(3) ,_

53、 构造日常推理的形式证明例1 有以下几个条件成立：（1）如果甲是作家(p)，那么乙不是律师(q)；（2）或者丙是作家(r)，或者甲是作家；（3）如果乙不是律师，那么丁不是演员；（4）或者丁是演员(s) ，或者戊不是医生。（5）戊是医生(t)。求证：丙是作家。 形式化： 前提：p q; r p; qs; s t; t 结论：r(1) p q A1(2) r p A2(3) qs A3(4) s t A4(5) t A5(6) t (5), +(7) s (4),(6), -(8) p s (1),(3),H.S.(9) s (7), +(10) p (8),(9),M.T.(11)r (2),(

54、10), -构造日常推理的形式证明例2 如果你想在同学中树立威信，就必须学习优秀或者人品出众或者有明显特长。如果你要学习优秀，就必须加倍努力。你的情况不能说有出众人品，也不能说有明显特长。所以，你若想在同学中树立威信，就一定要加倍努力。构造日常推理的形式证明例2 pqrs, qt, rs pt (1)pqrs A1 (2)qt A2 (3)rs A3 (4)p H1 (5)qrs (1),(4), _构造日常推理的形式证明例2 (6)s (3), _ (7)qr (5),(6),_ (8)r (3), _ (9)q (7),(8),_ (10)t (2),(9), _ (11)pt (4),(10), + 十、命题逻辑自然推理系统NP的性质 1.可靠性 2.完全性1可靠性 命题逻辑的自然推理系统NP，包含着无穷多的关于联结词的推出关系，这些推出关系，都具有保真性，即，当前提真时，结论必然是真的，而不可能是假的，更不会推出逻辑矛盾。这种性质，称为可靠性。2完全性 关于联结词的从真前提推出真结论的推出关系，都包括在命题的基本自然推理系统NP中了。在NP系统外，再没有从真前提推出真结论的关于联结词推出关系了。 二、形式语言L的语义解释 1、基本真值关系（基础基础知识） 2、给定指派下求公式的真值（应用应用） 3、真值表法及其应用应用1、设为任一指派，是由导出的赋值