安徽工业大学高等数学 A教学大纲

1、高等数学 A教学大纲一、课程简介1、课程名称： 高等数学 A1A2（Higher Mathematics A1A2）2、课程编号： 063040010023、课程类型： 基础课（必修）4、学 时： 176 学分： 115、开课学期： 126、开课对象： 全校工（本）科各专业（除化学、化工等专业）7、先修课程： 无8、参考教材： 高等数学（第五版） 同济大学应用数学系 主编 高等教育出版社 2002 年 7 月二、课程性质、目的与任务高等数学课程是高等工科学校教学计划中的一门重要基础理论课。其教学目的是使学生系统地获得微积分（包括向量 代数与空间解析几何）与常微分方程的基本知识，必要的基础理论和

2、常用的运算方法，培养学生比较熟练的运算能力、抽象 思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学分析法和运用这些方法解决几何、力学和物理等 实际问题的初步训练，为后继课程和进一步扩大数学知识打下必要的基础。其任务是教会学生掌握一元函数微积分，多元函 数微积分，向量代数与空间解析几何，无穷级数，常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算能力。 三、教学基本内容与基本要求1、一元函数理解函数概念，熟悉函数符号 f (x) 的意义和用法；了解函数的特性；了解反函数、复合函数的概念；掌握基本初等函 数的性质和图形；熟悉分段函数。重点：函数概念，基本初等函数图形，分段函数。2、极

3、限 了解极限定义，并在学习过程中逐步加深理解；能正确地应用极限的四则运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求一般简单未定式的极限，对于未定式求极限不必做过多的练习；了解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比 较的有关概念（特别是高阶无穷小与等价无穷小）。重点：极限的概念及计算，无穷小的概念及运算3、一元函数连续 理解函数在一点处连续、间断的概念；知道函数的连续性与极限的关系；知道初等函数的连续性；知道闭区间上连续函数的性质（最小值最大值定理和介值定理）。 重点：函数在一点处的连续性及闭区间上连续函数的性质。4、一元函数导数与微分 理解导数与微分的概念，了解导数的几何意义，能用导数描述一

4、些物理量；了解函数的可导性与连续性的关系；熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性），熟记导数基本公式，熟练计算初等函数的一阶、二阶导数。了解高阶导数 的概念；掌握隐函数的一阶导数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数。重点：导数与微分的概念，复合函数求导法则。5、中值定理 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理和泰勒定理；会应用拉格朗日定理；会正确用罗必塔法则求未定式的极限。重点：拉格朗日定理，罗必塔法则。6、一元函数导数应用 理解函数的极值概念。掌握求函数的极值，掌握利用一阶及二阶导数判断函数的增减性，判断曲线的凹向，求曲线的拐点等方法；能解决应用中的简单的最大值和最小值问题；知道曲

5、率和曲率半径的概念，并会计算；关于曲线的渐近线主要 为竖直的和水平的，并能描绘函数的图形。重点：函数的增减性和极值，应用中的最大值和最小值问题。7、不定积分 理解原函数与不定积分的概念；熟记基本积分公式，熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法；掌握简单有理函数，三角函数有理式的积分，知道简单无理式的积分法（对于化有理真分式为部分分式可只讲结论而不必证明）。 重点：不定积分的概念，换元积分法及分部积分法。8、定积分 理解定积分的概念；熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法；理解定积分作为变上限的函数及其求导定理和牛顿莱布尼兹公式及它们的应用；了解广义积分的概念，并会计算。 重点：定积分概念及计

6、算，定积分作为变上限函数牛顿莱布尼兹公式。9、定积分的应用 了解定积分应用的意义；能正确用元素法将一些几何量（如：面积、体积、弧长等），物理量（如：功、压力等）表达成定积分。 重点：元素法10、空间解析几何与向量代数 正确理解向量的意义，熟悉向量的线性运算；正确理解向量的数量积，向量积的概念，并掌握运算法则；熟练掌握向量的坐标表达式，要求用坐标表达式进行向量的加、减、数乘、数量积、向量积等运算；了解直线与平面方程的各种形式及 相互转化方法；熟练掌握直线与直线，平面与平面，平面与直线之间的垂直、平行条件，并会运用这些关系建立直线与平面 方程；熟悉标准二次曲面方程与图形，并能描出标准二次曲面及它们

7、所围成的简单立体草图；学会建立空间曲线在坐标面上 的投影柱面及投影曲线方程。11、多元函数微分法及其应用 理解多元函数的概念；知道二元函数的极限与连续概念，及在有界闭域上连续函数性质；理解偏导数与全微分概念等，知道全微分存在的必要条件和充分条件；熟练掌握复合函数的求导法则，会求二阶偏导数。会求隐函数的偏导数；了解曲线 的切线与法平面及曲面的切平面与法线的概念，并掌握其求法；理解多元函数的极值及条件极值的概念，会求极值，会用拉 格朗日乘数法求条件极值，并会求解一些较简单的实际问题中的最大值和最小值问题。重点：偏导数及全微分概念，复合函数及隐函数的求导法则，极值及条件极值。12、重积分 理解二重及

8、三重积分概念，知道重积分的性质；熟练掌握二重积分计算法（直角坐标，极坐标），掌握三重积分计算法（直角坐标，柱坐标，球坐标）；能用二重、三重积分表达一些几何及物理量（如体积、质量、重心等）。 重点：二重积分及三重积分的概念及其计算法。13、曲线积分与曲面积分 理解两类曲线积分的概念，知道两类积分的性质；掌握两类曲线积分的计算法；熟练掌握格林公式，并会运用平面曲线积分与路径无关的条件；知道两类曲面的积分的概念及高斯公式、，会计算两类曲面积分（但对利用斯托克斯公式计算， 不作要求）；能应用曲线积分及曲面积分来表达一些几何与物理量（如体积、质量、重心等）。重点：曲线积分与曲面积分的概念及计算，格林公式

9、及平面曲线积分与路径无关的条件。14、级数 理解级数收敛和发散的概念，知道级数的和的概念；了解级数收敛的必要条件，知道级数的基本性质。熟悉几何级数和 P 级的收敛性；熟练掌握正项级数的比值审敛法。掌握正项级数的比较审敛法。并能利用几何级数，P级数与其进行比 较以判定其敛散性；掌握交错级数的莱布尼兹准则，并能估计交错级数的截断误差；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概 念，运用级数收敛的必要条件判定其发散性，会利用级数的绝对收敛性判定其收敛性；知道幂级数在其收敛及和函数的概念。 熟练掌握较简单幂级数的收敛区间；知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；知道函数展开为泰勒级数及函数的泰勒级 数收敛到该

10、函数的充要条件；掌握 ex, sinx, cosx, ln (1 + x), (1 + x)m 的麦克劳林展式；能将一些简单的函数用间接方法展成幂 级数；知道怎样用幂级数进行一些近似计算。重点：级数的收敛与发散的概念，级数的和，正项级数的敛散性，比值判敛法及比较判敛法，幂级数的收敛半径，幂 级数的和函数，函数展成幂级数的间接方法。15、傅里叶级数知道函数展开为傅里叶级数的充分条件收敛定理；能将定义在 ， 上或 l, l 上的函数展开成傅里叶级数，能将定义在 0，上或 0，l 上的函数展开成正弦或余弦级数。重点：傅里叶级数的收敛定理。16、常微分方程 了解微分方程基本概念；会识别变量可分离方程，

11、齐次方程，一阶线性方程，伯努利方程和全微分方程，并熟练掌握 变量可分离 方程及一阶线性方程的解法；会解齐次方程和贝努利方程，并通过解法了解用变量代换法求解方程的思想；会 解较简单的全微分方程；知道几种特殊的高阶方程的降阶法；掌握二阶线性微分方程解的结构；熟练掌握二阶线性常系数齐 次方程的解法并知道高阶线性常系数齐次方程的解法；掌握自由项为：f (x) = Pm(x) e x，f (x) = e xPl(x)cosx +Pn(x)sinx 的二阶线性常系数非齐次方程的解法；知道微分方程 的幂级数解法；会用微分方程解决一些简单的几何及物理问题。重点：微分方程的一些基本概念，变量可分离方程，一阶线性

12、方程，二阶线性常系数齐次及非齐次的微分方程的解法。四、教学内容及学时分配本课程主要讲授一元函数微积分，多元函数微积分，向量代数与空间解析几何，无穷级数，常微分方程。 1、 一元函数微积分内容讲授约 76 学时；2、 向量代数与空间解析几何内容讲授约 14 学时； 3、 多元函数微分学内容讲授约 48 学时； 4、 无穷级数内容讲授约 20 学时；5、 常微分方程内容讲授约 18 学时。（教学要求：A熟练掌握；B掌握；C了解）五、实习、实验项目及学时分配：无六、教学方法与教学手段：利用启发式、讨论式、研究式等教学方法和多媒体、黑板演算等教学手段进行课堂教学。七、参考书目1、高等数学学习指导书（上

13、、下） 吴辅山等 成都电子科技大学出版社 20022、高等数学学习方法指导书 同济大学 高等教育出版社 3、高等数学 上海交通大学 高等教育出版社 4、高等数学习题集 同济大学 高等教育出版社 19945、高等数学基础胡宗义 吴辅山 施法鹏等 安徽大学出版社 2000 6、微积分同济大学 高教教育出版社7、Matuematica 3.0 软件使用指南 窦万峰 郑洪兴 张子瑜 华中理工大学出版社八、大纲编写的依据与说明：高等数学 A 的教学大纲是根据国家工科数学课程指导委员会所制定的“工科高等数学的基本要求”，结合我校工科专业 的特点制定的。制定教学大纲的指导思想：随着现代科学技术，特别是高新技术的迅猛发展，对现代科技人才的数学知识结 构、能力、综合素养等方面都提出了更高的要求，高等数学是工科大学生的十分重要的基础理论课程，从高等教育发展的综 合性及终身性趋势来看，高等数学不仅是学习其它课程的基础，还是整个大学教育的一个基础，甚至是终身接受教育的一个 基础。目前，高等数学教学中仍存在如下问题：重知识的传输，轻能力的培养；重技巧的训练，轻数学思想的学习；重理论