第一章信号及其描述

1、2013.09.02 2013.11.062015.09.07 2015.12.09绪论测试、测量系统及其用途测量的基础知识 测试技术发展概况参考书目1 熊诗波，黄长艺机械工程测试技术基础（普通高等教育“十五”国家级规划教材）机械工业出版社，2006.2 黄长艺，严普强机械工程测试技术基础（普通高等学校机电类规划教材）机械工业出版社，2001.3 黄长艺，卢文祥，熊诗波机械工程测量与试验技术北京：机械工业出版社，2000.4 贾民平，张洪亭，周剑英测试技术北京：高等教育出版社，2001.5 刘经燕测试技术及应用广州：华南理工大学出版社，2001.6 曾光奇，胡均安工程测试技术基础武汉：华中科技

2、大学出版社，2002.7 陈花玲机械工程测试技术北京：机械工业出版社，2002.8 view课时：理论课40学时，实验课8学时考核：作业，实践能力与实验报告，课程考试成绩：平时作业+实验成绩+课程论文（40）， 期末考试（60%）答疑：课后；实验课；周五下午B507课堂要求：有问题随时举手；出入保持安静授课教师： 刘洁 工学院 B507电话mail: http:/ 测试技术作为一门学科，不仅要将各种物理量转换成信号，还要运用数学工具对信号加以分析研究。只有深入了解信号的各种特性才能明确对测试系统及其各环节的要求，提高测试质量。信号的时域和频域的描述方法， 建立信号频谱

3、结构的概念； 用傅里叶级数或用傅里叶变换 求频谱。 确定性信号确定性信号 瞬变非周期信号（Transient signals） 准周期信号 周 期 信 号 非周期信号 复杂周期信号 正、余弦周期信号 非确定性信号非确定性信号(随机信号) (Random signals) 平稳随机信号 非平稳随机信号非各态历经 各态历经(Ergodic process） （一）、确定性信号与随机信号确定性信号：可以表示为一个确定的数学关系式， 因而可确定其任何时刻的量值。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。1 1、周期信号、周期信号按一定时间间隔周而复始重复出现的信号。x（t）=x（t+nTo）（n=1、2

4、、3）T0周期例如：例如： 正弦信号x（t）=A0sin2f0t是简单周期信号。简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号周期信号又可分为简单周期信号简单周期信号和复杂周期信号。复杂周期信号。2 2、非周期信号、非周期信号 将确定性信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期信号。又分为准周期和瞬变信号。2.12.1、准周期信号：、准周期信号： 由有限个周期信号合成，但各周期之间无法找到公共周期。 如 是两个正弦信号合成，其频率比 不是有理数，不成谐波关系，x（t）不再呈现周期性。( )sinsin2x ttt2121 在一定时间区间存在，或随时间的增长而衰减至零的信号。2.22.2、瞬变

5、非周期信号瞬变非周期信号F t x（t） t t 锤子敲击力 衰减振动 缆绳断裂 不能准确预测其未来瞬时值，无法用数学关系式来描述。 借助概率统计的方法，可以找出其统计特征，如随机振动、环境噪声。噪声信号噪声信号(平稳平稳)统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号(非平稳非平稳) （二）、连续信号和离散信号（二）、连续信号和离散信号离散信号的幅值是离散的。信号数学式中的独立变量取值是连续的。独立变量取值是离散的。独立变量和幅值均取连续值。（三）、能量信号和功率信号（三）、能量信号和功率信号 从电流和电压通过电阻时使其发热，可知电信号是携带能量的。其实，声、光、力信号也都携带能量。人们依据电能量

6、和电功率的计算公式，定义信号x（t）的能量。/ 22/ 2lim( )TTWxt dtT 定义信号x（t）在上述时间间隔内的平均功率： / 22/ 2lim1( )TTPxt d tTT 若0W，则称x（t）为能量信号，如矩形脉冲、衰减指数信号等。 若W，但它在有限区间（t1、t2）的平均功率 是有限的，212211()ttxtd ttt则称x（t）为功率信号，如直流信号、周期信号和随机信号。由于它们在区间（、+）内能量是无限的，在这种情况下，从功率的角度来研究信号更为合适。一般持续时间无限的信号都属于功率信号: 信号的描述是指借助数学工具从不同方面表示信号的特征。 x(t) t 信号的时域描

7、述信号的时域描述：以时间为独立变量表示信号瞬时值的变化特征，称为信号的时域描述。根据信号的幅值随时间的变化规律，可知信号的周期、峰值和均值等。直观、形象是信号分析最基本的方法。但不能揭示信号的频率组成。信号的频域描述：信号的频域描述：研究信号的频率结构，即组成信号的各频率成分的幅值和相位关系。即以频率为独立变量来表示信号，对信号进行频谱分析。如对振动信号进行频谱分析，可看出振动是由那些不同的频率分量组成，各频率分量所占比例，哪些频率分量是主要的，从而找出振动源，排除或减小有害振动。 如图1-4为一个周期方波的时域描述，由波形图可得另一种时域描述： 0220000tTATtAtxnTtxtx若将

8、上式应用傅里叶级数展开，则得 53121455133140010000,nTtnsinnAtsintsintsinAtxn 式中式中 即该周期方波的频域描述是由一系列幅值和频率不等、相角为零的正弦信号叠加而成。如图1-5所示。 A() () Amplitude spectrum phase spectrum时域分析和频域分析是分析信号的两个方面，可互相转换。 在频域中每个信号都需同在频域中每个信号都需同时用幅频谱和相频谱来描述。时用幅频谱和相频谱来描述。 0001( )(cossin)nnnx taantbnt （17） 周期信号的频域特性可借助傅里叶级数这一数学工具来研究。 式 常 值 分

9、量 余弦分量的幅值 正弦分量的幅值 0020021( )TTax t dtT0020022( )cosTTnax tntdtT（18） 00002sinT2Tn-2xb =tntdtT001( )sin()nnnx taAnt(19）22nnnAabnnnatgb例例1-1求下图中周期性三角波的傅里叶级数。解：由图可得x（t）在一个周期中的表达式为： 2020220000TttTAAtTtTAAtx 200022000002221TTTAdttTAATdttxTa 00022000000222222242coscos41,3,54sin202,4,6TTTnAax tntdtAtntdtTTT

10、AnAnnnn 0020022sin0TTnbx tnt dtT由上可得该周期性三角波的傅里叶级数展开式为： 022100022241cos1,3,52411coscos3cos5235nAAx tntnnAAttt频谱图如图1-7所示： 从上式可见：周期信号由一个或几个、以至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。以圆频率为横坐标，幅值An或相角n为纵坐标作图，分别得幅频谱和相频谱图： An () 从频谱图可看出周期信号的频率分量组成、各分量幅值及相位的大小。 由于n是整数序列，各频率成分都是基频0的整倍数，相邻频率的间隔等于基频，既=0=2/T0，因而谱线是离散的。0为基频，Ansin(n0t+n

11、)为n次谐波。 傅里叶级数也可写成复指数函数形式。根据欧拉公式： cossin(1)j tetjtj（110） 1cos()2j tj ttee1sin()2j tj ttjee（111）（112） 因此式（17）可改写为00011( )()()22jntjntnnnnnx taajb eajb e（113） 1()2nnncajb1()2nnncajb00ca（114a） （114b)（114c）00011( )jntjntnnnnx tccec e（n=0，1，2） （115） 000/ 2/ 201( )TjntnTcx t edtT （116） 0( )jntnnx tc e一般cn是

12、复数，可以写成nRnInnInRnnjnnInRnccarctgcccecjccc22式中把周期函数展开为傅里叶级数的复指数函数形式后，可分别以|cn|和 作幅频谱图和相频谱图；也可以分别以cn的实部或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频谱图。n形式频谱幅值幅频谱相频谱三角函数（从从0+）复指数（从从+）双边谱双边谱单边谱单边谱0nAa0012nAca偶函数偶函数 奇函数奇函数 需要指出：复指数函数形式公式（115）中n得取值为正、负整数，横坐标在（、+）范围内变化，为双边谱，其负频率分量是指一种数学表达形式，没有实际物理意义。例1-2由欧拉公式得：0000001cos21sin2

13、jtjtjtjtteetjee 所以余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称；正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。如图1-9所示。P11 图19 周期信号的频谱是离散的；周期信号的频率成分是基频的整数倍；其谐波幅值总的趋势是随谐波频率的增 大而减小。 以上三大特点分别称为周期信号的 离散性离散性、谐波性谐波性、收敛性收敛性。 那么工程中无必要取高次谐波分量。At峰峰-峰值峰值xp-p ：在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。T xPxp-p|x|周期周期T：频率f=1/T maxtxxp峰值峰值xp：信号可能出现的最大瞬时值，即周期信号全波整流后的均值就是信号的绝对均值，即 dttxTTx0001

14、均值均值x：反映了信号变化的中心趋势，也称之反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。为直流分量。 dttxTTx 0001 均方值均方值pav和有效值和有效值xrms201( )TavPxt dtT201()Tr m sxxtd tT平均功率的平方根就是信号的有效值xrms有效值xrms也常称为均方根值。 周期信号属于功率信号，其能量无限，平均功率： 包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。 有离散频谱，但诸谐波成分合成后不是周期信号。 可展开成许多乃至无限项简谐信号之和，频谱具有离散性且诸简谐分量的频率比是有理数。可展开成几个简谐信号的叠加，其频谱具有离散性，但各简谐成分的频率比不是有理数。

15、具有离散频谱的信号不一定是周期信号。具有离散频谱的信号不一定是周期信号。 通常说的非周期信号是指瞬变非周期信号，下面讨论这种非周期信号。周期信号的频率间隔 002T 当T0时，0无穷小，谱线无限靠近，变量连续取值以致使离散的谱线最后演变成一连续曲线。 可以把非周期信号看成一个周期趋于无限大的周期信号。这样可以从傅里叶级数出发，求出当它周期趋于无限大时的极限形式傅里叶积分傅里叶积分。 由前面（115）、（116）知，周期信号的傅里叶展开式为： 0( )jntnnx tc e 000/ 2/ 201( )TjntnTcx t edtT式中：将cn代入上式： 0000/ 2/ 201( )( )Tj

16、ntjntTnx tx t edt eT d，离散谱中相邻的谱线紧靠在一起，n0(连续变量)，就有：；当T0，02T 012T ( )( )2jtjtdx tx t edt e1( )2j tj tx t edt ed （125） 为傅里叶积分，令括中为X()： 1( )( )2j tXx t edt( )()jtx tXed（126）（127） 当=2f 代入（125），则（126）、（127）可为：2()( )jftXfx t edt（128）为傅里叶变换，时域频域。2( )()jftx tXf edf（129）为傅里叶逆变换，频域时域。一般X（f）是实变量f的复函数，可写成 f 式中|X

17、（f）|为信号x（t）的连续幅值谱， 为信号x（t）的连续相位谱。 ReImjfXfXfefjf 22ReImImReXfffffarctgf 必须指出：尽管非周期信号的幅值谱X（f）与周期信号的幅值谱Cn相似，但Cn是取离散值，而X（f）中 f 可取连续值，二者量纲也有差别。 X（f）本身不能代表谐波分量的幅值，只有在一定频带内对频率f积分后才含有幅值意义。从量纲上看，X（f）d f 才有幅值的量纲，而 ()()Xf dfXfdf 具有幅值/频率的量纲，是单位频宽上的幅值，有分布密度的含义，故称频谱密度，也简称频谱。 ( )()F TIF Tx tX其描述的基础是傅里叶变换。 频谱是连续谱；

18、X（f）与Cn的量纲不同，Cn 具有与原函数幅值相同的量纲，而 X（f）的量纲是单位频宽上的幅值；例例1-3：求矩形窗函数的频谱求矩形窗函数的频谱如图1-12所示，矩形窗函数为 2021TtTttw其频谱为 dtetwfWftj 2 222TTftjdte fTjfTjeefj 21由欧拉公式得 fTcsinTfTfTsinTfWeejfTsinfTjfTj 代入上式得代入上式得21式中T称为窗宽。 定义 ，它以2为周期并随的增加而做衰减振荡。如图2-13所示。 sindefcsin波形波形图2-13 sinc的图形是一偶函数，在n（n=1，2，)处其值为零。函数W（f）只有实部，没有虚部。其

19、幅值频谱为：其幅值频谱为： fTcsinTfW 其相位频谱其相位频谱： 当如图1-12所示。 ffTcffTc, 0sin0, 0sin fTcTarctgf sin0 傅里叶变换是在信号分析及处理中进行时间域和频率域之间变换的一种数学工具。为了在运用傅里叶变换时简化计算，并进一步认识时域、频域之间的内在联系，有必要掌握傅里叶变换的一些性质。 若x（t）与y（t）的傅里叶变换分别为X（f）和Y（f）： a x（t）+b y（t）aX（f）+bY（f）时域信号的强度扩大某一倍数，其频 谱密度也扩大同样的倍数。 信号和的频谱密度等于频谱密度的和。 若时域信号X（t）与频域函数X（f）有相同波形，则

20、X（t）的频谱为x（f），它与x（t）有相似的波形。若 x（t）X（f）X（t）x（f） 时域信号沿时间轴平移一常量to，则在频域中仅仅引起相位滞后2fto，而幅值不变。因此，在仅分析信号的幅频特性时，可不考虑其时间起点。020()()jftx ttXfe若 x（t）X（f）则若时域信号x（t）乘以因子 02jf te则对应的频谱X（f）沿频率轴平移fo。若x（t） X（f）则 , tfjetx02 0ffX020()( )jf tx ttX fe 1()()fx ktXkk（k0）若 x（t）X（f）1212( )( )( )()x tx txx td为x1（t）、x2（t）的卷积 卷积直接

21、计算困难，可以利用傅里叶变换的方法来解决，从而工作大为简化。 若已知信号x1（t）、x2（t），定义 x1（t）X1（f） x2（t）X2（f） x1（t）*x2（t） X1（f）X2（f） （142） （时域） x1（t）x2（t） X1（f）*X2（f）（频域） （143） 两个时域信号的卷积对应于其频域的乘积； 两个时域信号的乘积对应于其频域的卷积。 从而提供了一种简便的方法。 若 tx fX则 nndttxd fXfjn 2 nndffXd txtjn 2 tdttx fXfj 21 一个在时域有限区域内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。若在时域中截取信号的一段记录长度，则相当于原信

22、号和矩形窗函数之乘积，因而所得的频谱是原信号频域函数和sinc函数（窗函数频域函数）的卷积，相当于公式（143），sinc是一连续，频率无限延伸的频谱，主瓣：f = 01/T。旁瓣：两侧较低峰值，主瓣宽度：2/T，T ，宽度，与T成反比。可见时域窗宽T ，即信号截取时间 ，主瓣宽度 。 由图知：当0，S的极限为函数。记作(t) 000( )tttlim( )( )10t dtSt dt 在工程上，常将函数用一个高度等于1的有向线段来表示，这个线段的高度表示函数的积分，亦称函数的积分，用这种方法表示的函数称为单位脉冲函数。f (t) t (t) t 若f（t）为一时域连续信号，则乘积（t）f（t

23、）仅在t=0处得到（t）f（0），其余均为零，于是 可见，（t）与f（t）相乘后积分，其作用就是取出了信号f（t）在 t=0 时刻的一个值，f（0）为一个采样点。( )( )tf t dt( )(0)tfdt(0)( )ft dt（149） (0)f 同样，对有延时作用的函数（t-t0），其值仅在t=t0时刻才不为0，于是： f (t) t t0 (t) (t-t0) t t0 此时得到了f（t）= t0时刻的一个采样点f（t0）。 000() ( )() ( )ttf t dtttf tdt000( )()( )f ttt dtf t（150） 3、函数与其它函数的卷积函数与其它函数的卷积

24、在函数的卷积运算中，若其中有一个函数是函数，则运算极为简便。 txdtxttx 例如：任何一个函数x（t）与函数(t)的卷积为：任一信号 与向左或向右时移t0的单位脉冲信号 的卷积是时移后的该信号 ，即 0tt tx 0ttx 000ttxdttxtttx 即函数 和 的卷积就是在发生函数的坐标位置上（以此作为坐标原点）简单地将 重新构图，如图1-17所示。 tx t tx 任意函数和函数的卷积，就是简单地将该函数在自己的横轴上平移到函数所对应的位置。 20( )1jftft edte 可见时域的函数具有无限宽广的频谱，而且各频率上的信号强度都相等，常称均匀谱，见图118。根据傅里叶变换的对称

25、性质和时移、频移性质，可得下列傅里叶变换对（式（1-55）： 时 域 频 域 单位瞬时脉冲单位瞬时脉冲t 均匀频谱密度函数均匀频谱密度函数1 处有脉冲谱线处有脉冲谱线在在0 ff 00ffff频移到频移到将将 角角各频率成分分别相移各频率成分分别相移0220fteftj 的直流量的直流量幅值为幅值为 11 00ttt函数时移函数时移 复数指数函数复数指数函数tfje02 可得可得由式由式5512122120000220220 tfjtfjtfjtfjeetfcoseejtfsin tfcos02 0021ffff 0021ffffj tfsin02 图119它的数学表达式( )()nsnttn

26、T (n=0，1，2)等间隔的周期性单位脉冲序列如图120。若用傅里叶级的复指数函数形式表示：2( )sjnf tnnntc e （159）(fs=1/Ts） / 22/ 21( )sssTjnf tnnTsct edtT/2220/211( )ssssTjnf tjnf ttTsst edteTT1sT(在-Ts/2，Ts/2区间只有一个（t） n（t）=（t）)据式（155） 2()sjkf tsefkf由式（159）知n的频谱为：11()()()sskkssskComb fffkffTTT 由其频谱图120知，时域中周期为Ts的脉冲序列，在频域中乃是周期为1/Ts的脉冲序列，其幅值为时域

27、中脉冲幅值的1/Ts倍。 用计算机进行信号分析时，首先要将连续的模拟信号x(t)变为一连串离散的时间序列。以数字量的形式存入一个个内存单元，然后进行各种计算。为了实现这一过程，可先用n(t)与连续信号相乘。据函数的采样性质可知，相乘的结果便得到一离散的时间序列。由此看来，周期单位脉冲序列n(t)在数学上具有采样功能，又称采样函数。相应地，Ts采样间隔，或采样周期；其倒数1/Ts=fs为采样频率。 其统计特性参数不随时间变化。否则为非平稳随机过程。将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均；按单个样本的时间历程进行平均；不能用确定的数学关系来描述的一类信号。 若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经的平稳随机过程。可在以下几个方面，计算随机信号的特征参数：平均值、方差、均方差、概率密度函数。自相关函数、互相关函数。