第一章试验数据的误差分析

1、Thursday, March 17, 20221第一章第一章 试验数据的误差分析试验数据的误差分析 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过程中。科学实验过程中。 误差误差(error)：试验中获得的试验值与它的客观真：试验中获得的试验值与它的客观真 实值在数值上的不一致。实值在数值上的不一致。 误差分析误差分析(error analysis)：对原始数据的可靠性进：对原始数据的可靠性进 行客观的评定。行客观的评定。 Thursday, March 17, 20222第一章第一章 试验数据的误差分析试验数据的误差分析1.1 真值与平均值真

2、值与平均值1.1.1 真值真值 真值（真值（true value）是指在某一时刻和某一状态下，某量）是指在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。的客观值或实际值。 真值真值无系统误差的情况下，观测次数无限多时所求无系统误差的情况下，观测次数无限多时所求得的平均值。但实际测量量总是有限的，故用有限测量所求得的平均值。但实际测量量总是有限的，故用有限测量所求得的平均值作为近似真值（或称最可信赖值）。得的平均值作为近似真值（或称最可信赖值）。 真值一般是未知的，但从相对的意义上来说，真值又是真值一般是未知的，但从相对的意义上来说，真值又是已知的，如：已知的，如： （1）平面三角形内角和为）平面

3、三角形内角和为1800； （2）国际上公认的计量值，如）国际上公认的计量值，如C的原子量为的原子量为12； （3）国际标准器）国际标准器(国家级鉴定合格的标准器国家级鉴定合格的标准器)作为真值。作为真值。Thursday, March 17, 202231.1.2 平均值平均值（1）算术平均值（）算术平均值（arithmetic mean） 算术平均值是最常用的一种平均值。算术平均值是最常用的一种平均值。 在同样的试验条件下，如果多次试验值服从正在同样的试验条件下，如果多次试验值服从正态分布，则算术平均值是这组等精度试验值中的最态分布，则算术平均值是这组等精度试验值中的最佳值或最可信赖值。佳值

4、或最可信赖值。xxniixnx11Thursday, March 17, 20224（2）加权平均值（）加权平均值（weighted mean） 如果某组试验值是用不同的方法获得，或由不同的如果某组试验值是用不同的方法获得，或由不同的试验人员得到的，则这组数据中不同值的精度与可靠度试验人员得到的，则这组数据中不同值的精度与可靠度不一致，为了突出可靠性高的数值，则可采用加权平均不一致，为了突出可靠性高的数值，则可采用加权平均值。计算公式为值。计算公式为其中其中w（weight）为加权系数。）为加权系数。xxniiniiiwwxwx11Thursday, March 17, 20225 例例1-1

5、：对于四组测量数据，假设各组测量结果的可：对于四组测量数据，假设各组测量结果的可靠程度仅与测量次数成正比靠程度仅与测量次数成正比(每组平均值的权值为对应的每组平均值的权值为对应的试验次数试验次数)，求各组的算术均值和测试结果的加权平均值。，求各组的算术均值和测试结果的加权平均值。解：解：组组 测量值测量值 算术均值算术均值1234100.357, 100.343, 100.351100.360, 100.348100.350,100.344,100.366,100.340,100.345100.339, 100.350, 100.340100.350100.354100.343100.343权

6、值：权值：w13 ， w22 ， w35 ，w43 ，故，故 346.10035233343.1005343.1002354.1003350.100 xwThursday, March 17, 20226 例例1-2：在测定溶液：在测定溶液pH值时，得到两组试验数据值时，得到两组试验数据的平均值为的平均值为 若权与绝对误差的平方成反比，试求加权平均值。若权与绝对误差的平方成反比，试求加权平均值。; 1 . 05 . 81x02.053.82x解：解：w1=1/0.12= 100，w2=1/0.022=250053. 8 2500100250053 8.1008.5pHThursday, Mar

7、ch 17, 20227（3）几何平均值（）几何平均值（geometric mean） 若一组测定值，取对数后遵从正态分布，则称其遵若一组测定值，取对数后遵从正态分布，则称其遵循对数正态分布。循对数正态分布。 此时，则宜使用几何平均值。此时，则宜使用几何平均值。 求求 1, 10, 100的几何均值的几何均值=？xniiGxnx1lg1lgxnnGxxxx21Thursday, March 17, 20228（4）调和平均值（）调和平均值（harmonic mean） 调和平均数的定义为各个数值的倒数的平均数的调和平均数的定义为各个数值的倒数的平均数的倒数倒数 。 1，3的调和均值的调和均值=

8、？xniiniixnHxnH111111xThursday, March 17, 20229 试比较算术均值、几何均值和调和均值间大小关系？试比较算术均值、几何均值和调和均值间大小关系？ 对于两个数对于两个数a和和b，其算术均值、几何均值和调和均值各，其算术均值、几何均值和调和均值各为多少？为多少？ xxThursday, March 17, 202210 1.2.1 绝对误差绝对误差 （absolute error） 绝对误差绝对误差 试验值真值试验值真值 xxxt xt x |x| 某测量结果为58.70.2g，则，则其所在范围为：所在范围为： 58.5w58.9。 若某压强表的精度为若某

9、压强表的精度为1.5级，最大量程为级，最大量程为0.4MPa，则该压强表的绝对误差为：则该压强表的绝对误差为：0.4*1.5%=0.006MPa。 若某天平的最小刻度为若某天平的最小刻度为0.1mg，则该天平的最大绝，则该天平的最大绝对误差为对误差为0.1mg。（有简单办法使读数精确到。（有简单办法使读数精确到0.05吗？）吗？） 1.2 误差的基本概念误差的基本概念Thursday, March 17, 202211 1.2.2 相对误差（相对误差（relative error） 判断试验值的准确性，必须考虑试验值本身大小。判断试验值的准确性，必须考虑试验值本身大小。 相对误差相对误差ER：

10、 如某称量结果为如某称量结果为2.50.2g，则相对误差为：，则相对误差为： 若某物质量若某物质量w的试验均值为的试验均值为7.5g，相对误差为，相对误差为4%，则测量结果可表示为：则测量结果可表示为： 7.50.3g。1.2 误差的基本概念误差的基本概念%100 xxER%8%1005.22.0REThursday, March 17, 2022121.2.3 算术平均误差算术平均误差 设试验值设试验值xi与算术平均值之间的偏差（与算术平均值之间的偏差（discrepancy）为为di，则算术平均误差（，则算术平均误差（average discrepancy）定义）定义式为：式为：niini

11、idnxxn1111 算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小，算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小，但无法表达出各试验值间的彼此符合程度。但无法表达出各试验值间的彼此符合程度。Thursday, March 17, 2022131.2.4 标准误差标准误差（standard error） 标准误差常用来表示试验值的精密度，也称作：标准误差常用来表示试验值的精密度，也称作： 均方根误差（均方根误差（mean-root-square error） 标准偏差（标准偏差（standard discrepancy），简称为标），简称为标准差（准差（standard deviation）。）。n

12、iixxn121 %100XXEr niixXXnS1211niixxns1211 样本（样本（sample）标准差：）标准差： 当试验次数当试验次数n无穷大时，称为总体（无穷大时，称为总体（population ）标准差：标准差：Thursday, March 17, 2022141.3 试验数据误差的来源及分类试验数据误差的来源及分类 根据误差的性质和产生的原因，误差可分为三根据误差的性质和产生的原因，误差可分为三类：类：系统误差、随机误差和过失误差系统误差、随机误差和过失误差。 1.3.1 随机误差随机误差 在相同测量条件下，以不可预知方式变化着的在相同测量条件下，以不可预知方式变化着的

13、误差称为随机误差。多次测量同一物理量时，绝对误差称为随机误差。多次测量同一物理量时，绝对误差时大时小、时正时负，也叫偶然误差。误差时大时小、时正时负，也叫偶然误差。Thursday, March 17, 202215 随机误差是试验过程中一系列偶然因素造成的，随机误差是试验过程中一系列偶然因素造成的，如无规则的温度变化，气压的起伏，电磁场的干扰，如无规则的温度变化，气压的起伏，电磁场的干扰，电源电压的波动等，引起测量值的变化。这些因素电源电压的波动等，引起测量值的变化。这些因素不可控制又无法预测和消除。不可控制又无法预测和消除。 当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的当测量次数很多时，随机误

14、差就显示出明显的规律性，大多服从正态分布。因此，增加测量次数规律性，大多服从正态分布。因此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。可以减小随机误差，但不能完全消除。Thursday, March 17, 202216 1.3.2系统误差系统误差 是指在相同试验条件下，由某个或某些因素按是指在相同试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的。系统误差的特照某一确定的规律起作用而形成的。系统误差的特征是具有一定的规律性。征是具有一定的规律性。 系统误差的来源具有以下几个方面：系统误差的来源具有以下几个方面： （1）仪器误差）仪器误差 它是由于仪器本身缺陷或没有按规定条件使用

15、它是由于仪器本身缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差。（调水平？）仪器而造成的误差。（调水平？） （2）理论误差）理论误差 它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法不当等所引起的误差。（恒温恒湿？）量方法不当等所引起的误差。（恒温恒湿？）Thursday, March 17, 202217 （3）个人误差）个人误差 它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。如有人用秒表测时间时，总是使之过快。差。如有人用秒表测时

16、间时，总是使之过快。 （4）环境误差）环境误差 是外界环境性质（如光照、温度、湿度、电磁是外界环境性质（如光照、温度、湿度、电磁场等）的影响而差生的误差。如环境温度升高或降场等）的影响而差生的误差。如环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化。低，使测量值按一定规律变化。 产生系统误差的原因通常是可以被发现的，原产生系统误差的原因通常是可以被发现的，原则上可以通过修正、改进加以排除或减小。则上可以通过修正、改进加以排除或减小。Thursday, March 17, 202218 1.3.3 过失误差过失误差 由于测量者过失，如操作失误，读错数值或由于测量者过失，如操作失误，读错数值或记错数据等

17、引起的误差，是一种人为的过失误差，记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。度，过失误差是可以避免的。 在数据处理中要把含有粗大误差的异常数据加在数据处理中要把含有粗大误差的异常数据加以剔除。以剔除。Thursday, March 17, 2022191.4 1.4 试验数据的精准度试验数据的精准度 表示误差性质术语：精密度、正确度和准确度。表示误差性质术语：精密度、正确度和准确度。 （1 1）精密度）精密度 反映随机误差大小。测量结果的重复性、测量数据的离散程度。一般用极差、标准差

18、或方差描述其高低。 （2 2）正确度）正确度 反映了系统误差大小。算术平均值偏离真值程度。算术平均值偏离真值程度。 （3 3）准确度）准确度 反映系统误差和随机误差的综合。准确度高，测量数准确度高，测量数据较集中在真值附近。据较集中在真值附近。Thursday, March 17, 202220例例1- 1-: : 有两组观测数据：有两组观测数据： 第一组第一组 2.9、3.1、3.0、2.9、3.1 第二组第二组 3.0、2.8、3.0、3.0、3.2 求平均值求平均值 、算术平均误差、算术平均误差 、标准误差、标准误差 ，并，并分析其准确度。分析其准确度。 解：解：xThursday, M

19、arch 17, 202221第一组 算术平均值3.0算术平均误差标准误差s08.051 .01 .00 .01 .01 .0第二组 算术平均值3.0算术平均误差标准误差s08.052 .0002 .00 x1 .0151 .01 .00 .01 .01 .022222x141.0152 .02 .022Thursday, March 17, 202222 无系统误差精密度精密度 ：ABC 正确度：正确度： ABC准确度：准确度： ABCThursday, March 17, 202223 有系统误差精密度精密度 ：ABC正确度：正确度： ABC准确度：准确度： ABCThursday, Ma

20、rch 17, 2022241x2x3x4x正确度与精密度的关系Thursday, March 17, 202225图图(A)图图(B)图图 (C)精密度高精密度高正确度低正确度低精密度低精密度低正确度高正确度高精密度高精密度高正确度高正确度高Thursday, March 17, 2022261.5.1 随机误差的检验随机误差的检验 随机误差的大小可用试验数据的精密度来反映，而随机误差的大小可用试验数据的精密度来反映，而精密度的好坏可用方差来衡量，故试验数据随机误差精密度的好坏可用方差来衡量，故试验数据随机误差的检验即为的检验即为方差（方差（2）检验）检验。 （一）方差已知的单正态分布总体（

21、一）方差已知的单正态分布总体依据问题选择：依据问题选择： 双侧检验双侧检验 该方差与原总体方差无显著差异该方差与原总体方差无显著差异 左侧检验左侧检验 该方差与原总体方差有显著减小该方差与原总体方差有显著减小 右侧检验右侧检验 该方差与原总体方差有显著增大该方差与原总体方差有显著增大1.5 1.5 试验数据误差的统计检验试验数据误差的统计检验) 1(122n) 1(22n)1() 1(2/2/1222nn分布。的服从自由度为222)1(21nSnThursday, March 17, 202227close all; x=0:0.001:50; hold on; grid on;y=chi2p

22、df(x,20); plot(x,y); xlabel(x); ylabel(f(x);Thursday, March 17, 20222822122/22/1 Thursday, March 17, 202229 例例1-5：已知仪器检修前总体方差为：已知仪器检修前总体方差为0.152，依，依据仪器检修后所测的的据仪器检修后所测的的7个试验数据，判断仪器检修个试验数据，判断仪器检修后稳定性是否有了显著变化，若有显著变化，是否显后稳定性是否有了显著变化，若有显著变化，是否显著提高。著提高。 说明：属于双侧检验，若问稳定性是否有显著提说明：属于双侧检验，若问稳定性是否有显著提高，则应该用左侧检验

23、。高，则应该用左侧检验。 036. 015. 0000135. 0) 17(2)1(222Sn解：故稳定性有显著变化。),1(449.14 ) 6 () 1(,237. 1) 6 () 1(2/1025. 02/975. 02/1222222nnn。，故稳定性有显著提高) 1(635. 1) 17() 1(195. 012222nnThursday, March 17, 202230 例例1-6：已知技改前总体方差：已知技改前总体方差=0.35，依据技改，依据技改后测得后测得25个数据的样本方差个数据的样本方差=0.15，判断技改后试，判断技改后试验数据的波动性是否更小。验数据的波动性是否更小

24、。 说明：属于左侧检验。说明：属于左侧检验。3 .1035. 015. 0) 125(22)1(2Sn解：即稳定性明显提高。，故波动性显著减小，) 1(848.13) 125() 1(195. 012222nnThursday, March 17, 2022311.5.1 随机误差的检验随机误差的检验 （二）双正态分布总体（二）双正态分布总体 依据问题选择：依据问题选择： 双侧检验双侧检验 左侧检验左侧检验 右侧检验右侧检验1.5 1.5 试验数据误差的统计检验试验数据误差的统计检验) 1, 1(211nnF) 1, 1(21nnF)1, 1(),1, 1(21212/2/1nnFnnF分布。

25、的服从自由度为FnnFSS) 1, 1(212221Thursday, March 17, 202232close all; x=0:0.001:5; hold on; grid on;y=fpdf(x,10,20); plot(x,y); xlabel(x); ylabel(f(x);Thursday, March 17, 202233FFFF 12/2/1Thursday, March 17, 202234 例例1-7：采用试验方法一和试验方法二分别测得：采用试验方法一和试验方法二分别测得10个和个和11个数据，判断（个数据，判断（1）两种方法的精密度）两种方法的精密度 是是否有显著差异；

26、（否有显著差异；（2）方法一的精密度是否比方法二）方法一的精密度是否比方法二有显著提高。有显著提高。 说明说明：（：（1）属于双侧检验；（属于双侧检验；（2）属于左侧检验；）属于左侧检验；350. 01023. 11029. 44-5-2221SSF解：。故精密度没有显著差异）（),10, 9()10, 9(779. 3)10, 9() 1, 1(,252. 0)10, 9() 1, 1(12/2/1025. 02/975. 02/12121FFFFnnFFnnF。故精密度没有显著提高）（,)10, 9(319. 0)10, 9() 1, 1(2195. 0121FFFnnFThursday,

27、 March 17, 2022351.5.2 系统误差的检验系统误差的检验 系统误差的大小可用试验数据的正确度来反映，系统误差的大小可用试验数据的正确度来反映，而正确度的好坏可用均值与真值的差异大小来衡而正确度的好坏可用均值与真值的差异大小来衡量，故试验数据系统误差的检验即为量，故试验数据系统误差的检验即为均值（均值（）检）检验验。 1.5 1.5 试验数据误差的统计检验试验数据误差的统计检验Thursday, March 17, 202236（一）均值已知的单正态分布总体（一）均值已知的单正态分布总体 单总体的单总体的u检验和检验和t检验方法汇总于下表。检验方法汇总于下表。2/ZZZThur

28、sday, March 17, 202237close all; x=-6:0.001:6; hold on; grid on;y=normpdf(x); plot(x,y); xlabel(x); ylabel(f(x);Thursday, March 17, 202238ZZZZ 12/2/1Thursday, March 17, 202239close all; x=-6:0.001:6; hold on; grid on;y=tpdf(x,30); plot(x,y); xlabel(x); ylabel(f(x);Thursday, March 17, 202240tttt 12/2

29、/1Thursday, March 17, 202241 例例1-8：测试已知含水率为：测试已知含水率为7.5的标准样品，的标准样品，测得测得5个结果，试判断个结果，试判断(1)测量结果是否存在系统误差；测量结果是否存在系统误差；(2)测试结果是否比标准值明显偏大。测试结果是否比标准值明显偏大。 说明说明：（：（1）属于双侧检验；（属于双侧检验；（2）属于右侧检验；）属于右侧检验；3 . 35/47. 05 . 72 . 8/0nsxt解：故有显著的系统误差。),4(|776. 2 )4() 1( ) 1 (2/025. 02/tttnt显偏大。故测试结果较标准值明),4(132. 2 )4(

30、) 1( )2(05. 0tttntThursday, March 17, 202242 （二）双正态分布总体（二）双正态分布总体 两总体方差相等两总体方差相等 若若n1=n2，则：，则：)2(112) 1() 1(21212122221121nntnnnnsnsnxxt1.5.2 1.5.2 系统误差的检验系统误差的检验)2(2122212121nntnsnsxxtThursday, March 17, 202243 （二）双正态分布总体（二）双正态分布总体 两总体方差有显著差异两总体方差有显著差异 若若n1=n2，则：，则：1.5.2 1.5.2 系统误差的检验系统误差的检验2) 1/()

31、/() 1/()/()( )(22222121212222122212121nnsnnsssdfdftnsnsxxt212nndfThursday, March 17, 202244 例例1-9：用试验方法一和试验方法二分别测得：用试验方法一和试验方法二分别测得5个个和和7个数据，判断（个数据，判断（1）两种方法的精密度是否有显著）两种方法的精密度是否有显著差异；（差异；（2）两种方法间是否存在系统误差。）两种方法间是否存在系统误差。 说明说明：（：（1）属于双侧方差检验，采用属于双侧方差检验，采用F检验；检验； （2）属于双侧均值检验，采用）属于双侧均值检验，采用t检验。检验。 8 .272

32、66. 041. 7) 1 (2221SSF解：即精密度有显著差异。故两方差有显著差异,),6 , 4(23. 6)6 , 4() 1, 1(,109. 0)6 , 4() 1, 1(2/025. 02/975. 02/12121FFFnnFFnnFThursday, March 17, 202245 检验进行异方差t)2(776.2)4()(42)1/()/()1/()/()(22.1-7266.0541.72.177.15025.02/22222121212222122212121tdftnnsnnsssdfnsnsxxt误差。即两种方法不存在系统异，故两平均值间无显著差),4(|025.

33、 0tt Thursday, March 17, 202246 （三）未知分布的双总体（三）未知分布的双总体 采用秩和检验，专门用于检验两个分布中心位置采用秩和检验，专门用于检验两个分布中心位置是否相同。是否相同。 例例1-11：用试验方法一和试验方法二分别测得：用试验方法一和试验方法二分别测得6个和个和9个数据，已知方法一无系统误差，判断方法二个数据，已知方法一无系统误差，判断方法二是否存在系统误差。是否存在系统误差。 解解 ： （1）排序）排序 秩秩1234567891011.511.5131415甲甲8.68.89.19.19.910.0乙乙6.87.37.48.08.18.48.78.

34、99.2Thursday, March 17, 202247（2）求秩和）求秩和R1 R1=7911.511.5141568（3）查秩和临界值表）查秩和临界值表 对于对于 0.05， n1=6，n2=9得得 T1=33，T263，R1T2 故两组数据有显著差异，即乙组测定值有系统误差，故两组数据有显著差异，即乙组测定值有系统误差，也即方法二存在有系统误差。也即方法二存在有系统误差。Thursday, March 17, 2022481.5.3 过失误差的检验过失误差的检验 即异常值的检验。对于可疑数据的取舍一定要慎重，即异常值的检验。对于可疑数据的取舍一定要慎重，一般处理原则如下：一般处理原则

35、如下： (1)在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正错误；分析原因，及时纠正错误； (2)试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数据，则应先找出产生差异的原因，再对其进行取舍；据，则应先找出产生差异的原因，再对其进行取舍； (3)在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则应对数据进行统计处理再做取舍；原因，则应对数据进行统计处理再做取舍； (4)对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选用

36、的统计方法。因或所选用的统计方法。1.5 1.5 试验数据误差的统计检验试验数据误差的统计检验Thursday, March 17, 202249 检验可疑数据的常用统计方法有拉依达检验可疑数据的常用统计方法有拉依达(Pauta)准则、格拉布斯准则、格拉布斯(Grubbs)准则、狄克准则、狄克逊逊(Dixon)准则。准则。 当试验数据较多时，使用拉依达准则最简单；当试验数据较多时，使用拉依达准则最简单； 格拉布斯准则和狄克逊准则都能适用于试验数格拉布斯准则和狄克逊准则都能适用于试验数据较少时的检验。据较少时的检验。 在一些国际标准中，常推荐格拉布斯准则和狄在一些国际标准中，常推荐格拉布斯准则和

37、狄克逊准则来检验可疑数据克逊准则来检验可疑数据。Thursday, March 17, 2022501.5.3.1 拉依达拉依达(Pauta)准则准则 如果可疑数据如果可疑数据xp与试验数据的算术平均值的偏差与试验数据的算术平均值的偏差的绝对值的绝对值|dp|大于大于3倍（或倍（或2倍）的标准偏差，即：倍）的标准偏差，即：|dp|=|xp - |3s 或或2s, 则应将则应将xp从该组试验值中剔除。从该组试验值中剔除。 至于选择至于选择3s还是还是2s与显著性水平与显著性水平有关，有关，3s相当相当于显著水平于显著水平=0.01 ，2s相当于显著水平相当于显著水平=0.05。 拉依达准则方法简

38、单，无须查表，用起来方便。拉依达准则方法简单，无须查表，用起来方便。该检验法适用于试验次数较多或要求不高时。当该检验法适用于试验次数较多或要求不高时。当n10时，用时，用s作界限，即使有异常数据也无法剔除；作界限，即使有异常数据也无法剔除；若用若用s作界限，则次以内的试验次数无法舍去异作界限，则次以内的试验次数无法舍去异常数据。常数据。xx51 有一组分析测试数据：有一组分析测试数据：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，问其中，问其中偏差较大的偏差较大的0.167这一数据是否应被舍去这一数据是否应被

39、舍去? （ 0.01）解：（解：（1）计算）计算例：例：0.140,0.01116xs（2）计算偏差）计算偏差 ,xs0.1670.1400.027pxx（3）比较）比较 3s30.011160.03350.027 故按拉依达准则，当故按拉依达准则，当 0.01时，时，0.167这一可疑值不应舍去这一可疑值不应舍去 Thursday, March 17, 2022521.5.3.2 格拉布斯格拉布斯(Grubbs)准则准则 用格拉布斯准则检验可疑数据用格拉布斯准则检验可疑数据xp时，当时，当 dp=xp (,n) s 时，则应将时，则应将xp从从该组实验值中剔除。该组实验值中剔除。 这里的这里

40、的(,n)称为格拉布斯检验临界值，它与称为格拉布斯检验临界值，它与实验次数实验次数n及给定的显著性水平及给定的显著性水平有关。有关。xThursday, March 17, 202253Thursday, March 17, 2022541.5.3.3 狄克逊（狄克逊（Dixon）准则）准则 将将n个实验数据按从小到大的顺序排列，得个实验数据按从小到大的顺序排列，得到：到：x1x2xn-1xn 如果有异常值存在，必然出现在两端，即如果有异常值存在，必然出现在两端，即x1或或xn。检验。检验x1 或或xn时，使用附表所列的公式，可以时，使用附表所列的公式，可以计算出计算出f0，并查得临界值，并查

41、得临界值f(, n)。若。若f0f(, n)，则，则应该剔除应该剔除x1或或xn。临界值。临界值f(, n)与显著性水平与显著性水平及及试验次数试验次数n有关。有关。 可见狄克逊准则无需计算可见狄克逊准则无需计算 和和s，计算量较小。，计算量较小。xThursday, March 17, 202255Thursday, March 17, 202256 在用上面的准则检验多个可疑数据时，应注意以在用上面的准则检验多个可疑数据时，应注意以下几点：下几点： （）可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个（）可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据。首先检验偏差最大的数，如果这个数不被剔除，数据。首先检验

42、偏差最大的数，如果这个数不被剔除，则所有的其他数都不应被剔除，也就不需再检验其他则所有的其他数都不应被剔除，也就不需再检验其他数了。数了。 （）剔除一个数后，如果还要检验下一个数，（）剔除一个数后，如果还要检验下一个数，则应注意试验数据的总数发生了变化。则应注意试验数据的总数发生了变化。 （）用不同的方法检验同一组试验数据，在相同（）用不同的方法检验同一组试验数据，在相同的显著性水平上，可能会有不同的结论。的显著性水平上，可能会有不同的结论。xxThursday, March 17, 2022571.6 有效数字及运算规则1.6.1 有效数字有效数字 有效数字可代表一定的物理量，其可反映试验（

43、仪器）的有效数字可代表一定的物理量，其可反映试验（仪器）的精度精度 。注意：。注意： （1）数字前）数字前0不计不计,数字后计入；数字后计入；0.03400 （2） 数字后的数字后的0含义不清楚时含义不清楚时, 最好用指数形式表示最好用指数形式表示 ； 1000 (1.0103, 1.00103, 1.000 103 )Thursday, March 17, 202258 m 分析天平分析天平(称至称至0.1mg) 12.8228g(6) , 0.2348g(4) , 0.0600g(3) 千分之一天平千分之一天平(称至称至0.001g) 0.235g(3) 1%天平天平(称至称至0.01g)

44、 4.03g(3), 0.23g(2) 台秤台秤(称至称至0.1g) 4.0g(2), 0.2g(1)Thursday, March 17, 202259 V 滴定管滴定管(量至量至0.01mL) 26.32mL(4), 3.97mL(3) 容量瓶容量瓶 100.0mL(4), 250.0mL (4) 移液管移液管 25.00mL(4); 量筒量筒(量至量至1mL或或0.1mL) 25mL(2), 4.0mL(2)Thursday, March 17, 202260加减法加减法: 结果的位数与小数点后位数最少的数一致。结果的位数与小数点后位数最少的数一致。 0.112+12.1+0.3214=

45、12.5乘除法乘除法: 结果的有效数字与有效数字位数最少的一结果的有效数字与有效数字位数最少的一致。致。 12.69.810.0506.21.6.2 运算规则运算规则Thursday, March 17, 2022611.6.3 有效数字运算中的修约规则有效数字运算中的修约规则尾数尾数5时进时进尾数尾数5时时, 奇进偶不进奇进偶不进四舍六入五考虑四舍六入五考虑例例 下列值修约为四位有效数字下列值修约为四位有效数字 0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.324 85 0.324 851 0.324 70.324 80.324 80.324 80.324 9Thursday,

46、March 17, 202262禁止分次修约禁止分次修约0.57490.570.5750.58Thursday, March 17, 202263作业作业 P41单号：习题1、3、6、8、10、11双号：习题1、3、7、9、10、11 Thursday, March 17, 202264作业作业习题1：解：解：w1=1/0.012= 10000， w2=1/0.22=25， w3=1/0.0052=40000mol/L5 . 1 40000251000040000537. 125.71100001.54xThursday, March 17, 202265习题3：已知（25.30.2）g/L，

47、求相对误差。解：解：%8 . 0%1003 .252 . 0REThursday, March 17, 202266习题6：求算术均值、几何均值、调和均值等 解：解：4217. 311niixnx算术平均值4214. 321nnGxxxx几何均值4211. 311niixnH调和均值0462. 01112niixxns样本标准差0422. 0112niixxn总体标准差0021. 011122niixxns样本方差0018. 01122niixxn总体方差0383. 011niixxn算术平均误差1001 . 0Rminmaxxx极差Thursday, March 17, 202267Thur

48、sday, March 17, 202268Thursday, March 17, 202269习题7：A、B俩人测定铁含量的精密度是否有显著差异？解：解：应采用双侧F检验精密度无显著差异。故二人测定的铁含量的临界值：统计量：样本方差：样本均值：),1, 1() 1, 1(0260. 4) 1, 1(,2484. 0) 1, 1(6212. 1/3028. 211 7333. 311 5500. 61 ,2000. 712/05. 02/05. 012/05. 02/05. 012212212211BABABABABAniBiBBBniAiAAAniiBBBniiAAAnnFFnnFnnFnn

49、FssFxxnsxxnsxnxxnxBABAThursday, March 17, 202270Thursday, March 17, 202271习题8:（1）新工艺是否更稳定 （2）工艺间是否存在系统误差解：（解：（1）即检验新工艺的方差是否比旧工艺的有显著）即检验新工艺的方差是否比旧工艺的有显著减小，故减小，故应采用单侧F检验定。工艺比旧工艺生产更稳艺的显著减小，也即新故新工艺的方差比旧工临界值：统计量：样本方差：样本均值：),1, 1(,3045. 0)12, 8() 1, 1(2662. 0/1640 . 011 6170 . 011 2511. 21 ,5493. 2105. 0195. 005. 012212212211oldnewoldnewoldnewninewinewnewnioldioldoldniinewnewniioldoldnnFFFnnFssFxxnewnsxxoldnsxnewnxxoldnxnewoldnewoldThursday, March 17, 202272Thursday, March 17, 202273习题8：（2）新旧工艺间是否存在系统