高等代数第三版有理系数多项式

1、多项式多项式理论是高等数学理论是高等数学研究的基本对象之研究的基本对象之一，在整个高等代数一，在整个高等代数课程中既相对独立，又课程中既相对独立，又贯穿其他章节。换句话贯穿其他章节。换句话说，多项式理论的讨论说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体的其他内容而自成体系，却可为其他章节系，却可为其他章节的内容提供范例与的内容提供范例与理论依据。理论依据。 第一章第一章 多项式多项式1 数域2一元多项式一元多项式3 整除的概念整除的概念4 最大公因式最大公因式5 因因 式式 分分 解解6 重重 因因 式式7 多项式函数多项式函数8 复、实系数多项式复、实系数多

2、项式9 有理系数多项式有理系数多项式10 多元多项式多元多项式11 对称多项式对称多项式问题的引入问题的引入 1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：由因式分解定理，作为一个特殊情形：对对 则则 可唯一分解可唯一分解 ( ) ,( )1,f xQ xf x ( )f x成不可约的有理系数多项式的积成不可约的有理系数多项式的积.但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法一般的方法. 2. 我们知道，在我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约上只有一次多项式才是不可约 C多项式；多项式；在在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些上，不可约多项式只

3、有一次多项式与某些R二次多项式；二次多项式；但在但在 上有任意次数的不可约多项式如上有任意次数的不可约多项式如 Q2,.nxnZ 如何判断如何判断 上多项式的不可约性呢上多项式的不可约性呢? Q3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 这是因为任一有理数可表成两个整数的商这是因为任一有理数可表成两个整数的商110( ),nnnnf xa xaxa 事实上，设事实上，设 则可选取适当整数则可选取适当整数 , c使使 为整系数多项式为整系数多项式( )cf x( )( ),cf xdg x ( )cf x若若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得的各项

4、系数有公因子，就可以提出来，得 也即也即 ( )( ),df xg xc 其中其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于是整系数多项式，且各项系数没有异于 ( )g x的公因子的公因子 1 一、本原多项式一、本原多项式 设设 1110( )0,nnnng xb xbxb xb 定义定义,0,1,2, .ibZin 若若 没有没有110,nnb bb b 则称则称 为为本原多项式本原多项式( )g x异于异于 的公因子，即的公因子，即110,nnb bb b 1 是互素的，是互素的，有关性质有关性质1 ( ) ,f xQ xrQ 使使( )( ),f xrg x 其中其中 为本原多项式为本原多项式

5、( )g x（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的） 2Gauss引理引理定理定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式两个本原多项式的积仍是本原多项式设设 110( ),nnnnf xa xaxa 110( )mmmmg xb xbxb 是两个本原多项式是两个本原多项式110( )( ) ( )n mn mn mn mh xf x g xdxdxd 若若 不是本原的，则存在素数不是本原的，则存在素数 ( )h x, p证：证：|,0,1,.rp drnm 又又 是本原多项式，所以是本原多项式，所以 不能整除不能整除 的的( )f xp( )f

6、x每一个系数每一个系数反证法反证法令令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数，即整除的数，即 ia01,na aap11|,.|iip ap ap a 同理，同理， 本原，令本原，令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 ( )g xjb0,mbbp整除的数，即整除的数，即 011|,|,|,.jjp bp bp bpb 又又11,ijijijda bab矛盾矛盾11|,|,|ijijijp dpa bp ab在这里在这里 故是本原的故是本原的( )h x定理定理11若一非零的整系数多项式可分解成两若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解个次数较低的有理

7、系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积成两个次数较低的整系数多项式的乘积二、整系数多项式的因式分解二、整系数多项式的因式分解 设整系数多项式设整系数多项式 有分解式有分解式( )f x( )( ) ( )f xg x h x 其中其中 且且 ( ), ( ) ,g x h xQ x ( ) ,( )( ) .g xh xf x 证：证：令令 111( )( ),( )( ),( )( )f xa fxg xrgxh xsh x 这里，这里， 皆为本原多项式，皆为本原多项式， 111( ),( ),( )fxgx h x,aZ ,.r sQ 于是于是 111( )( )(

8、).a fxrsgx h x 由定理由定理10， 本原，本原，11( )( )gx h x即即.rsZ 11( )( )( ).f xrsgxh x,ars 从而有从而有 得证得证 设设 是整系数多项式，且是整系数多项式，且 是本原是本原( ), ( )f xg x( )g x推论推论的，若的，若 则则( )( ) ( ),( ) ,f xg x h xh xQ x( )h x必为整系数多项式必为整系数多项式 令令 11( )( ),( )( ),f xa fxh xch x 11( ),( )fx h x本原，本原，111( )( )( )( )( )a fxg x ch xcg x h x

9、 即即 .cZ 1( )( )h xch x 为整系数多项式为整系数多项式 证：证：,aZ cQ 于是有，于是有，,ca 定理定理12 设设1110( )nnnnf xa xaxa xa 是一个整系数多项式，而是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，是它的一个有理根， rs其中其中 是互素的，则必有是互素的，则必有 , r s0|,|.ns ar a是是 的有理根，的有理根，rs( )f x从而从而 ()|( ).sxrf x 又又 互素，互素，, r s1110( )()()nnf xsxr bxb xb ,0,1,1.ibZin 比较两端系数，得比较两端系数，得 证：证：()|( ),r

10、xf xs 在有理数域上，在有理数域上，由上推论，有由上推论，有sxr 本原本原100,.nnasbarb 所以，所以， |,| .ns ar a定理定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，是判断整系数多项式有理根的一个必要条件， 而非充分条件而非充分条件例例1求方程求方程 的有理根的有理根.432230 xxx可能有理根为可能有理根为131,3,22用综合除法可知，只有用综合除法可知，只有1为根为根 注意注意解：解：例例2 证明证明: 在在 上不可约上不可约 3( )51f xxx Q若若 可约，可约， ( )f x但但 的有理根只可能是的有理根只可能是( )f x1, 所以所以 不

11、可约不可约( )f x证：证：则则 至少有一个一次因式，至少有一个一次因式，( )f x也即有一个有理根也即有一个有理根而而 (1)3,f ( 1)5.f 矛盾矛盾 定理定理13 艾森斯坦因艾森斯坦因Eisenstein判别法判别法设设 1110( ),nnnnf xa xaxa xa 是一个整系数多项式，若有一个素数是一个整系数多项式，若有一个素数 使得使得, p1|npa 1202|,nnp aaa 203|pa 则则 在有理数域上是不可约的在有理数域上是不可约的( )f x若若 在在 上可约，由定理上可约，由定理11，( )f xQ( )f x可分解为两次数较低的整系数多项式积可分解为两

12、次数较低的整系数多项式积 111010( )()()llmmllmmf xb xbxbc xcxc ,ijb cZl mnlmn 证：证：00 0,.nlmabcab c0|,p a又又20|,pa不妨设不妨设 但但 0|p b0|.pc0|p b0|,p c或或00,.bcp不能同时整除不能同时整除 另一方面，另一方面，|.npa假设假设 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数为整除的数为 01,lb bbp,kb比较两端比较两端 的系数，得的系数，得 kx01 10kkkkab cbcb c 上式中上式中 皆能被整除，皆能被整除， 10,kkabb p矛盾矛盾0|.kp bp c或或|,|

13、.lmp bp c0|kp b c故不可约故不可约( )f x例例3证明：证明： 在在 上不可约上不可约 2nx Q证：（令证：（令 即可）即可） 2p ( (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式可见存在任意次数的不可约有理系数多项式) )例例4判断判断23( )1,2!3!pxxxf xxp（为素数）在（为素数）在 上是否可约上是否可约Qp令令 ( )!( ),g xp f x 21!( )!,2(1)!ppppg xpp xxxxp 则则 为整系数多项式为整系数多项式 ( )g x!| 1,|, !,(1)! (2)!ppppppp , ,但但 2|!,pp解：解：( )g x在在 上不

14、可约，上不可约，Q从而从而 在在 上不可约上不可约( )f xQ即即 Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件非必要条件注意注意也就是说，如果一个整系数多项式也就是说，如果一个整系数多项式不满足不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的也可能是不可约的 有些整系数多项式有些整系数多项式 不能直接用不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换使满足代换使满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项

15、式判别法条件，从而来判定原多项式不可约不可约( )f x( ,0),axb a bZ a ()( )f aybg y ( )f x有理系数多项式有理系数多项式 在有理系数上不可约在有理系数上不可约( )f x命题命题在有理数域上不可约在有理数域上不可约,(0),a bQ a对对( )()g xf axb多项式多项式例例5证明：证明： 在在 上不可约上不可约 2( )1f xx Q取取 2,p 证：证：1,xy 作变换作变换2( )22,f xyy 则则在上不可约，在上不可约，222yy所以所以 在上不可约在上不可约( )f x由由Eisenstein判别法知，判别法知，对于许多对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后上的多项式来说，作适当线性代换后Q再用再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的判别