双曲线知识点及题型总结精华-

1、 3 D. -3,33.已知圆C 过双曲线9 x-162y=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_.题型五:轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2,A 为椭圆上任一点。AP 是AF 1F 2的外角平分线,且 P F AP 2=0.则点P 的轨迹方程是 .2.双曲线x 2-y 2 =4的两焦点分别为F 1、F 2,A 为双曲线上任一点。AP 是F 1AF 2的平分线,且 P F AP 2=0.则点P 的轨迹是 ( A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分 3求与圆13(22=+-y x 及93(22=+y

2、 x 都外切的动圆圆心的轨迹方程高考例题解析1.已知21,F F 是双曲线1222=-yx的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为,则PQ QF PF -+11的值为 ( A 24B 8C 22D 随的大小变化 答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解2.过双曲线02222=-y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在 ( A 0条 B 1条 C 2条 D 3条答案: D 解析: l x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条3. 直线531+-=x y 与

3、曲线12592=+yx x 的交点个数是 ( A 0个B 1个C 2个D 3个答案: D 解析: (0, 5点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点4. P 为双曲线12222=-by ax 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆222a yx =+的位置关系为( A 内切B 外切C 内切或外切D 无公共点或相交 答案: C 解析: 用两圆内切或外切的条件判断5. 设21,F F 是双曲线1422=-yx的两个焦点,点P 在双曲线上且满足9021=PF F ,则21F PF 的面积为( A 1 B25 C 2 D5答案: A 解析

4、: 勾股定理,双曲线定义联立方程组h 或面积公式6. 设21,F F 是双曲线1422=-yx的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F 的面积为1时,21PF PF 的值为( A 0B 1 C21 D 2答案: A 解析: 不妨设,p x ,0>p y 由511221=p p y y c , 55,5302(P 55,53025(1-=PF ,55,53025(2-=PF ,021=PF PF7.过点A (0,2可以作_条直线与双曲线x 2-42y=1有且只有一个公共点答案:4 解析:数形结合,两切线、两交线过点P (4,4且与双曲线x 216-y29=1只有一个交点的直线有 ( A

5、 .1条B .2条C .3条D .4条 解析:如图所示,满足条件的直线共有3条. 答案:C8.已知A (3,2,M 是双曲线H :1322=-yx 上的动点,F 2是H 的右焦点,求221MF AM +的最小值及此时M的坐标。 解:由2=e ,则 eMF AM MF AM 2221+=+2521311=-=+=AA MMAM 此时M 的坐标(2,3219. 已知双曲线C :1(1322=-x yx ,一条长为8的弦AB 两端在C 上运动,AB 中点为M ,则距y 轴最近的M 点的坐标为 。 解:(12111BF AF eBB AA MM+=+= ABeBF AF eMM21(211+=又2=a

6、c e ,则21MM当且仅当AB F 时,取“=”,由逆径8622<=ab ,故可取“=” 252122110=+=+=MMx 又由322=ab k k FM OM即 y2 10.P 为双曲线 x2 1 右支上一点，M、N 分别是圆(x42y24 和(x42y21 上的点，则|PM|PN| 15 的最大值为_ 解析：双曲线的两个焦点为 F1(4,0、F2(4,0，为两个圆的圆心，半径分别为 r12，r21，|PM|max |PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2(|PF2|1|PF1|PF2|35.答 案：5 .直线 l ： y = kx + 1

7、 与双曲线 C： 2 x 2 - y 2 = 1的右支交于不同的两点 A、B。 （）求实数 k 的取值范围； （）是否存在实数 k ，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值。若不存在， 说明理由。 解： （）将直线 l的方程y = kx + 1代入双曲线 的方程2x 2 - y 2 = 1后, 整理得 C y0 y0 - 0 15 15 5 15 2 故 M（ ,± ） × = 3 Þ y0 = Þ y0 = ± 5 5 4 2 2 2 -2 2 2 (k 2 - 2 x 2 + 2kx + 2 = 0

8、. 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故 ìk 2 - 2 ¹ 0, ï 2 2 ïD = (2k - 8(k - 2 > 0, ï 解得k的取值范围是- 2 < k < - 2 í- 22k > 0 ï k -2 ï 2 > 0. ï 2 îk - 2 （）设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 、 ( x2 , y 2 ，则由式得 2k ì ï x1 + x 2 = 2 - k 2 , ï í

9、ïx × x = 2 . ï 2 2 k2 -2 î 假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F（c,0）. 则由 FAFB 得： ( x1 - c(x2 - c + y1 y 2 = 0. 即( x1 - c(x2 - c + (kx1 + 1(kx2 + 1 = 0. 整理得 (k 2 + 1 x1 x2 + (k - c(x1 + x2 + c 2 + 1 = 0. 把式及 c = 6 代入式化简得 2 5k 2 + 2 6k - 6 = 0. 6+ 6 6- 6 或k = Ï (-2,- 2 (舍去 5

10、5 6+ 6 可知 k = - 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5 uuu v uuu v （四川卷）9.已知两定点 F (- 2,0, F2 ( 2,0, 满足条件 PF 2 - PF 1 = 2 的点 P 的轨迹是曲线 E，直线kx 1 解得 k = - 1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 （）求的取值范围； （）如果 AB = 6 3, 且曲线 E 上存在点 C，使 OA + OB = mOC , 求 m的值和DABC的面积S 。 本小题主要考察双曲线的定义和性质、 直线与双曲线的关系、 点到直线的距离等知识及解析几何的基本 思想、方法和综合解决问题的能力。满分

11、 14 分。 uuu v uuu uuu v v uuu v 6 解： （）由双曲线的定义可知，曲线 E 是以 F1 - 2, 0 , F2 且c = ( ) ( 2, 0 为焦点的双曲线的左支， ) 2, a = 1 ，易知 b = 1 2 2 故曲线 E 的方程为 x - y = 1( x < 0) 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ，由题意建立方程组 í 2 2 消去 y ，得 1 - k x + 2kx - 2 = 0 ( ) ì y = kx - 1 2 2 îx - y = 1 又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B

12、 ，有 ì 1- k 2 ¹ 0 ï 2 2 ïD = ( 2k ) - 8 (1 - k ) > 0 ï ï í x + x = -2k < 0 1 2 ï 1- k 2 ï -2 ï x1 x2 = >0 ï 1- k 2 î 2 解得 - 2 < k < -1 2 AB = 1 + k × x1 - x2 = 1 + k × ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 -2 æ -2k ö = 1+

13、k 2 × ç ÷ - 4´ 1- k 2 ø 1- k 2 è 2 =2 (1 + k )( 2 - k ) (1 - k ) 2 2 2 2 依题意得 2 (1 + k )( 2 - k ) = 6 (1 - k ) 2 2 2 2 3 4 2 整理后得 28k - 55k + 25 = 0 2 k = 5 5 2 或k = 7 4 k = - 但 - 2 < k < -1 5 2 5 x + y +1 = 0 2r uuu uuu r uuu r 设 C ( x0 , y0 ) ，由已知 OA + OB = mOC

14、，得 ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( mx0 , my0 ) 故直线 AB 的方程为 ( mx0 , my0 ) = ç 又 x1 + x2 = æ x1 + x2 y1 + y2 ö , ÷ ， ( m ¹ 0) m ø è m 2k 2 2 2 = -4 5 ， y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) - 2 = 2 -2= 2 =8 2 k -1 k -1 k -1 æ ö 点 C ç -4 5 , 8 ÷ ç m m÷ &#