高中数学选修44参数方程讲义

1、基础梳理1椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1(ab0)的参数方程是_规定参数的取值范围为_(2)中心在(h，k)的椭圆的普通方程为1，则其参数方程为_2双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线1(a0，b0)的参数方程是_规定参数的取值范围为_(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线1(a0，b0)的参数方程是_3抛物线的参数方程(1)抛物线y22px(p0)的参数方程为_，t_.(2)参数t的几何意义是_答案1(1)(为参数)0,2)(2)(为参数)2(1)(为参数)0,2)，且，(2)(为参数)3(1)(t为参数)(，)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连

2、线的斜率的倒数自主演练1已知方程x2my21表示焦点在y轴上的椭圆，则()Am1 B1m1Cm1 D0m1解析方程化为x21，若要表示焦点在y轴上的椭圆，需要1，解得0m1.故应选D.2已知90°180°，方程x2y2cos1表示的曲线是( )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析当90°180°时，1cos0，方程x2y2cos1表示的曲线是双曲线故应选C. 答案C3直线yaxb经过第一、二、四象限，则圆(为参数)的圆心位于第几象限()A一 B二 C三 D四解析直线yaxb经过第一、二、四象限，则a0，b0，而圆心坐标为(a，b)，所以位于第二象限 答

3、案B4椭圆(为参数)，若0,2，则椭圆上的点(a,0)对应的为( )A B. C2 D.解析由已知acosa，cos1，又0,2，.故选A. 答案A5二次曲线(是参数)的左焦点的坐标为_解析原方程消去参数，得普通方程为1.它是焦点在x轴上的椭圆，a225，b29，c2a2b216，c4，所以左焦点坐标是(4,0)6圆锥曲线(是参数)的渐近线方程是_，实轴长是_解析原方程可化为因为sec2tan21，所以1.它是焦点在x轴上的双曲线，a216.双曲线的渐近线为y±x，且实轴长为8.答案y±x 8题型探究题型一 椭圆的参数方程及应用【例1】已知A，B分别是椭圆1的右顶点和上顶点

4、，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心G的轨迹方程【分析】ABC的重心G取决于ABC的三个顶点的坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式【解析】由题意知A(6,0)，B(0,3)，由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos，3sin)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得，即，消去参数得到(y1)21. 【评析】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便变式训练在椭圆1中有一内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？解析椭圆的参数方程为(t为参数)，设第一象限内椭圆上任一点M(x，y)，由椭圆的对称性，

5、知内接矩形的面积为S4xy4×5cost×4sint40sin2t.当t时，面积S取得最大值40，此时，x5cos ，y4sin 2，因此，矩形在第一象限的顶点为，此时内接矩形的面积最大，且最大面积为40.题型二 双曲线的参数方程及应用【例2】求点M0(0,2)到双曲线x2y21的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值)【分析】化双曲线方程为参数方程，对建立三角函数求最值【解析】把双曲线方程化为参数方程设双曲线上动点M(sec ，tan )，则2sec2(tan 2)2(tan21)(tan24tan 4)2tan24tan 52(tan 1)23，当tan 10

6、即时，2取最小值3，此时有，即M0点到双曲线的最小距离为.【评析】在求解一些最值问题时，用参数方程来表示曲线的坐标，将问题转化为三角函数求最值，能简化运算过程变式训练设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1，F2为两个焦点，证明：·2.解析如图所示，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为得(·)2(sec )2tan2·(sec )2tan2(sec22sec 2tan2)·(sec22sec 2tan2)(2sec21)2(2sec )24sec44sec21(2sec21)2，又2sec2tan22sec2

7、1，由此得·2.题型三 抛物线的参数方程及应用【例3】如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y22px(p0)上异于顶点的两动点，且OAOB，点A，B在什么位置时，AOB的面积最小？最小值是多少？ 【分析】利用抛物线的参数方程，将AOB面积用其参数表示，再利用均值不等式求最值【解析】根据题意，设点A，B的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)(t1t2，且t1·t20)，则2p，2p.因为OAOB，所以·0，即2pt·2pt2pt1·2pt20，所以t1·t21.AOB的面积为SAOB··2p

8、3;2p2p22p22p22p24p2.当且仅当t，即t11，t21时，等号成立所以点A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，2p)时，AOB的面积最小，最小值为4p2.变式训练已知抛物线y22px，过顶点两弦OAOB，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程解析设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2y22ptx2pt1y0，以OB为直径的圆的方程为x2y22ptx2pt2y0，即t1，t2为方程2pxt22ptyx2y20的两根，t1t2.又OAOB，t1t21，x2y22px0(x0)，另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆

9、(除去(0,0)点)题型四 圆锥曲线参数方程的综合应用【例4】已知双曲线1(a0，b0)的动弦BC平行于虚轴，M、N是双曲线的左、右顶点(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程；(2)若P(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：a是x1，x2的比例中项【分析】将双曲线方程化为参数方程(1)利用交轨法求解；(2)即x1x2a2【解析】(1)由题意可设点B(asec ，btan )，则点C(asec ，btan )，又M(a,0)，N(a,0)，直线MB的方程为y(xa)，直线CN的方程为y(xa)将以上两式相乘消去参数，得点P的轨迹方程为1.(2)证明：因为点P既在MB上，又在CN上，由两直线方

10、程消去y1得x1，而x2asec ，所以有x1x2a2，即a是x1，x2的比例中项【评析】利用圆锥曲线的参数方程解决圆锥曲线综合问题时要根据条件使用不同方法，如方程的思想、函数思想、数形结合思想等 变式训练抛物线y24x的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长解析如图，y24x焦点F(1,0)，设A点坐标为(4t2,4t)，t为参数，且t0，则B点坐标为(4t2，4t)AF斜率为kAF，AF：y(x1)而OB的中点(2t2，2t)应在直线AF上，2t(2t21)，t0，1(2t21)，t2，t，A点坐标为，则2，.OAB的周长为22.课内巩固1椭圆(为参数)的焦

11、点坐标为( )A(0,0)，(0，8) B(0,0)，(8,0)C(0,0)，(0,8) D(0,0)，(8,0)解析利用平方关系化为普通方程1，c216，c4，中心(4,0)，焦点在x轴上，焦点为(0,0)，(8,0)也可以直接画出椭圆的示意图，排除A，B，C.故应选D.2与参数方程为(t为参数)等价的普通方程为( )Ax21Bx21(0x1)Cx21(0y2)Dx21(0x1,0y2)解析x2t，1t1x2，x21，而t0,01t1，得0t1，即0x1,0y2.3参数方程(t为参数)表示的曲线是( )A双曲线 B双曲线的下支C双曲线的上支 D圆解析由已知得xy2et，yx2et，两式相乘得y2x24.又yetet2.方程表示双曲线1上支4椭圆(为参数)的中心坐标为_解析将椭圆的参数方程化为普通方程得1，椭圆的中心为(3，2)5若曲线(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是_解析设M1(2pt1,2pt)，M2(2pt2,2pt)，k