信号与系统(第一章)

1、课程主要内容：一、两个系统一、两个系统 连续系统和离散系统。重点讨论线性时不变时间系统。二、两种分析方法二、两种分析方法 时域分析方法和变域分析方法。三、三大数学变换三、三大数学变换 1、傅里叶变换 2、拉普拉斯变换 3、Z变换1.1概述（1）信息与信号 信息信息是信号的内容，信号信号是信息载体（信息的表现形式）。 （2）信号与系统 系统对（输入）信号加工（处理或操作）,产生新的（输出）信号。 系统系统是由若干相互关联又相互作用的事物组合而成，具有某些特定功能的整体。 信号的产生、传输、加工和处理离不开系统，系统的特定功能是用其输入与输出信号的变换关系来描述的。信号与系统两者间是密不可分的。一

2、个简单的信号消噪(平滑)系统： 中位数中位数滤波器滤波器取f(n+p)在 (-q p q) 2q+1个数的中间值f(m) g(n) = f(m) 输入信号f(n)输出信号g(n)01002003004005006007008009001000-100-80-60-40-2002040608010001002003004005006007008009001000-100-80-60-40-20020406080100本例中q=1，即相邻三点取中间值。1.2.1 信号的描述 信号信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。信号可以是时间的一元函数， 也可以是空间的二元函数，还可以是

3、变换域中变量的函数。信号信号通过数学表达式描述。1.2.2 信号的分类1 1、确定信号与随机信号确定信号与随机信号 可用确定性图形、曲线或数学公式准确描述的信号称为确定信号确定信号。否则称为随随机信号机信号。对于f2(t)，在其间断点处，可做如下补充定义：如间断点t=1处定义 f2(1)=(f2(1-)+f2 (1+)/2=(1-1)/2=0或定义 f2(1)=1 , f2(t)=-1(1t2)(1)连续信号 在连续的时间范围内(-t)有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。常称为模拟信号。 连续信号在其定义域上连续取值，函数值不一定连续；而连续函数是指函数值连续，因此连续函数为连续信号，

4、反之却不一定。 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。常称为数字信号。 “离散”指信号的定义域-时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间点无定义。1,12,01.5,1( )2, 20,31,40, nnnf nnnnotherwise(), 0,1, 2,1.5, 2, 0,1, 0,fn0n连续周期信号f(t)满足： f(t) = f(t + mT)， m = 0,1,2, (1.1)离散周期信号f(n)满足： f(n) = f(n + mN)，m = 0,1,2, (1.2) 满足上述关系的最小T或整数N称为该信号的周期。0，T，0（N-1 1

5、）称为连续和离散周期信号的主值区间。 不满足条件(1.1)或(1.2)的信号称为非周期信号。例例1.11.1 考察连续信号 ，判断上述信号是否为周期信号，若为周期信号，则其周期为多少？1( )sin2cos3 f ttt2( ) cos2sinf ttt解：对于信号 而言， 与 的周期分别为 与 （最小周期）而 为 和 的周期，显然它们的最小公共周期为 。故信号f1(t)为周期信号。21( )f tsin2tcos3tsin2tcos3t23 , , 3 ,222 , 2 , ,33233判断准则判断准则 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比 T1/T2 为有理数

6、，则两周期信号的代数和仍然是周期信号， 其周期为T1和T2的最小公因子(x(t)，y(t)的最小公共周期)。对信号f2(t)，按上述判断准则，其为非周期信号。解：设抽样间隔（抽样周期）为 Ts ，于是 例例1.21.2 正弦序列 为连续周期信号 等间隔抽样后所得， 试分析该正弦序列为周期序列的条件， 若为周期序列，其周期？ 0( ) sin()f nn( ) sin()f tt02( ) sin()sin()2 sin() sin()ssf nttt nTtnTTTsnnT当2/0为有理数，有2/0=T/Ts=P/Q,其含义是正弦序列的抽样间隔是通过取周期信号f(t)的Q个周期段 ，并取这个时

7、长的P等分后得到的，故而这个正弦序列是周期的，其周期为P。当2/0为无理数时，无论取多少个周期段，均无法用整数等分的方式获得抽样间隔，因此这样的序列为非周期序列。（1）能量信号对于连续信号 ，如果有 （1.3）对于离散信号 ，如果有 （1.4）则称 和 为能量信号。不满足(1.3)或(1.4)的信号称为能量无限信号。例如：一个单边衰减的指数信号 为能量信号。而周期信号 为能量无限信号。2( )f t dt( )f t2( )f n ( 0,0)tAetcos( )t ( )f t( )f n( )f n对于连续信号 ，如果有 （1.5） 对于离散信号 ，如果有 （1.6） 则称f(t)和f(n

8、)为功率信号。不满足式(1.5)或(1.6)的信号称为功率无限信号。()f t/2/221lim( )TTTf tdtT( )f n2/2/21lim( )NNkNf nN若信号f(t)为能量信号，则其也为功率信号。工程中常用的一般能量无限信号的平均功率是有限的。如周期信号为功率信号。 从信号数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维信号。 语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点的光强度又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号。视频信号为三维信号，现实生活场景为四维信号。 本课程只研究一维信号，且自

9、变量多为时间。一维信号常称作时间信号。因果信号 反因果信号 1.3常用典型信号1 1、正弦信号正弦信号 （1.7）其中， 为幅值， 为初相位， 为角频率。其周期 ，频率 与角频率 的关系为 （1.8） ( ) , ( ( ) 0 , 0 )f tf tt( ) , ( ( ) 0 , 0 )f tf tt( )sin()f tAtATf12 Tf( ) , ( g( ) 0 , 0 )g nnn( ) , ( ( ) 0 , 0 )g ng nnl当 为实常数时 随时间t的增加单调增 随时间t的增加单调减 为直流信号l当 为复常数 时 利用Euler公式，得当 时，f(t)的实部与虚部分别随t

10、的增加单调增。当 时，f(t)的实部与虚部分别随t的增加单调减。 （1.9）其中 为常数， 为常数（实常数或复常数）。( ) tf tAeA0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( )f tf tf tA()( )tjtf tAeAej()( )(cossin)jtj tttf tAeAe eAetjt00 （1.10） 其为偶函数，具有如下特性： 定义 有最大值 有局部极值 sin( )tSa tt0( )/2Sa t dt( )Sa t dt0( )( ) ),( ySi ySa t dtSi yy,( )2 ,3 ,. ( )ySi yySi y 抽样信号不是实际物理装置能产生的信号，

11、但在信号分析中有重要地位。 5 5、单位阶跃序列单位阶跃序列 （1.12）依据单位样值信号与单位阶跃序列的定义，有 ， （1.11）根据单位样值信号定义，有 1 =0( ) 0 0nnn 1 =() 0 n mn mn m 1 0( ) 0 0nu nn0()()knku n( )( )(1)nu nu n1 1、斜变函数斜变函数 （1.13） ， 利用单位阶跃函数可方便表示单边信号，如 ， 等。利用单位阶跃信号可用来表示矩脉冲函数 。2 2、单位阶跃函数单位阶跃函数 （1.14） 0( ) 0 0ttR tt 1 0( ) 0 0tu tt( )( )R ttu t( )( )dR tu t

12、dt( )tAeu t01( )()() G tu ttu ttsin() ( )tAetu t （1.15) 符号函数可用如下双边奇指数信号的极限来描述 符号函数与单位阶跃信号的关系 1sgn( )1 t0t t0 0() 0ttetf tet0sgn( )lim ( )tf tsgn( )2 ( )1tu t4 4、单位冲激函数单位冲激函数 “冲激函数”为描述作用时间极短，相应作用量值极大的一类物理现象的数学抽象。0从某些函数的极限定义单位冲激函数 用矩形脉冲逼近单位冲激函数 ( )lim()kktSa kt还可选取其他函数来定义，如抽样函数面积=101( )lim()()22tu tu

13、t （1.16）幅度=强度=1狄拉克（Dirac）定义 ， （1.17） 此定义与(1.16)的定义相符合。（2）单位冲激函数的性质取样特性 若 在 处连续，其值为 ， 则有 筛选特性 若 在 处连续，其值为 ， 则有 ，类似有 为偶函数，即微分特性 尺度特性 ()f t0t t 0( )f t000( ) ()( ) ()f tt tf tt t()f t0t(0)f-( ) ( )(0)f tt dtf00-( ) ( - )( )f tt t dtf t( )( )tt( ) t( )( )d uttd t1()( )atta( )( )0 1 t dtt0t 由狄拉克函数定义(1.17

14、)，可知 00-00() ()() ()() ()() ()(0)f tt dtf tt dtf tt dtf tt dtf000-( ) ( - )( ) ()tft df t u t t -sin() ( )4tt dt0.9-7sin() ( )4tt dt130cos(2) (1)tettdt112()td21(1)( )td 2( )tde u tdt 222202(1)(1)t u tu t( )u t22( )( )te u tt例例1.31.3 综合举例若 在 处连续，则冲激偶函数是奇函数，即 单位冲激函数的微分 定义为单位冲激偶函数，记为 。按冲激函数定义(1.16)， 单位

15、冲激偶函数可看作矩形脉冲求导后， 时的极限，如下图所示。 单位冲激偶函数在零点处有正负一对冲激，其强度为无穷大。( )dtdt ( ) t 0 ()f t 0t t00-( ) ( - ) ( )f tt t dtft ( )0t dt1.5.1 系统的描述 为了便于分析系统，需要建立系统模型。所谓模型，是系统物理特性的数学抽象。1 1、连续时间系统的描述连续时间系统的描述 连续时间系统通常用微分方程来描述（代数方程，一阶或高阶微分方程，非线性微分方程或微分方程组）。 一个n阶微分方程（SISO）可能是 （1.18）1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnn

16、nmmmmmmd r tdr tdr taaaa r tdtdtdtd e tde tde tbbbb e tdtdtdt0na 单输入单输出系统 还可借助方框图表示系统模型。如2 2、离散时间系统的描述离散时间系统的描述 离散时间系统的输入与输出是离散的时间序列,常用差分方程来描述。 N阶差分方程(a00)(SISO)有如下两种形式 后向差分方程 （1.19） 前向差分方程 （1.20）012012()(1)(2)( )( )(1)(2)()NMa r nNa r nNa r nNa r nb e nb e nb e nb e nM012012()(1)(2)( )( )(1)(2)()NM

17、a r nNar nNa r nNa r nb e nbe nb e nb e nM1 1、连续时间系统与离散时间系统连续时间系统与离散时间系统 系统描述中已讨论。除此外，还有混合系统。2 2、动态系统与即时系统动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统动态系统或记忆系统记忆系统。含有记忆元件 (电容、电感等) 的系统是动态系统。否则称即即时时系统系统或无记忆系统无记忆系统。 具有叠加性和均匀性（齐次性）的系统称为线性系统。所谓叠加性指当几个输入信号（激励）同时作用于系统时，总的输出（响应）等于每个激励单独作用所产生的响应之和；

18、均匀性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同常数。不满足叠加性和均匀性的系统称为非线性系统。判断准则：若系统全响应可分解为零输入响应与零状态 响应之和。系统的零输入响应与零状态响满足叠加性和 均匀性。满足上述要求的系统为线性系统。例例1.41.4 考察下列四个系统（1）y(t)=3x(0)+2f(t)-5x(0)f(t)+9（2）y(t)=t2x(0)+2|f(t)|（3）y(t)=x3(0)+3f2(t)（4）y(t)=7t3x(0)+2t2f(t)其中x(0) 初始状态， f(t)激励， y(t)系统响应，判断这几个系统是否为线性系统。线性非线性非线性非线性4 4、时不变系统与时变系统时

19、不变系统与时变系统 如果描述系统的微分或差分方程的系数与时间t 或n无关，则该系统为“时不变系统时不变系统”，记作LTI(linear time invariant) 。如果有关则为“时变时变系统系统”。 由于系统参数不随时间变换，系统响应与激励施加于系统的时刻无关。当激励x(t)，零状态响应yzs(t)，则当激励为x(t-t0)时(激励延迟一段时间),零状态响应为yzs(t-t0) (输出响应也延迟相同时间)。 微分特性 若x(t) yzs(t), 则有x(t) yzs(t) 积分特性 若x(t) yzs(t), 则有 ( ) txd ( )zstyd解：已知x(t-)u(t-)-u(t-2)因此，有x(t-(t0+)u(t-t0-)-u(t-2t0-2) hr(t-t0)= u(t-t0-)-u(t-t0-2)所以该系统为时变系统。例例1.5 1.5 一个系统对x(t-)的零状态响应为 x(t-)hr(t)=u(t-)-u(t-2) 该系统是时不变系统吗？5 5、集总参数系统与分布参数系统集总参数系统与分布参数系统 只由集总参数元件组成的系统是集总参数系统，一般用常微分方程描述其数学模型；