《维纳滤波》

1、整理课件现代数字信号处理第一章 维纳滤波整理课件主要内容 1.1 维纳滤波问题描述 1.2 维纳FIR滤波器 1.3 维纳非因果IIR滤波器 1.4 维纳因果IIR滤波器 1.5 深入了解的预备知识 1.6 维纳IIR滤波器计算例子 1.7 维纳预测器 nx ns nv真实信号 观察/测量数据加性噪声/干扰 is nx nh nh i x n i nsnsne线性估计线性估计问题最小均方误差(MMSE)估计(minimum mean-square error)估计误差 2minnE e nh n1.1 维纳滤波问题描述维纳滤波-对真实信号的最小均方误差估计问题.平滑滤波预测 niixinhns

2、0 11npniixinhns 10Niixinhns这里我们主要考虑滤波问题，即线性估计根据其取值范围不同通常有下面几种情况: 121003210012000100001210NxxxxhNhNhNhhhhhhhNssss 1, 1, 0,0Nninxihnsni问题在于估计滤波器的参数/单位冲激响应序列正交正交方程方程 : jjnxneEjjnxneEjhneneEjhn,0, 1, 0,022标准方程标准方程 (Wiener-Hopf equations): autocorrelation sequence of cross-correlation sequence of and xxs

3、xRmiE x ni x nmx nRmE s n x nms nx n 维纳-霍夫（Wiener-Hopf）/标准标准方程 ,sxxxiRmh i Rm im is nx nh nh i x n i nsnsne 2minnE e nh n任何时刻的估计误差都与用于估计的所有数据（即滤波器的输入）正交整理课件注意: A data-dependant linear least square error estimation Wiener-Hopf equation - solutions Orthogonal equation - decorrelationWiener Filters下标i的

4、取值范围决定了FIR,非因果IIR，因果IIR is nx nh nh i x n i TTNnxnxnxnNhhh11110 xhFIR (Finite Impulse Response) Wiener Filter1.2 求解求解 Wiener-Hopf Equations -FIR滤波器滤波器 s nnTh x 1210032130122101121012101, 1, 0,10NhhhhRNRNRNRNRRRRNRRRRNRRRRNRRRRNmimRihmRxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxsxsxsxsxNixxsx nnsENRRRRsxsxsxsxx

5、P 1210 nnERNRNRNRNRRRRNRRRRNRRRRTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR 0321301221011210RhPRhPTTor 维纳维纳-霍夫方程霍夫方程 展开为矩阵形式展开为矩阵形式Solution: nnnEnnsEnnnsxxxxxRPxhPRhTT1TT1opt1整理课件练习 完成习题完成习题 2.9 (1)和和2.9(2) 后后如何利用上面给出的公式计算如何利用上面给出的公式计算 FIR 维纳滤波器的参数维纳滤波器的参数?dataP=Es(n)x(n), R=Ex(n)xT(n)(1)hop =R-1P整理课件FIR维纳

6、滤波器结构Wiener Filters( )s m( )x m(1)x m(2)x m(1)x m p ( )s m1xx xsw R P标准方程标准方程 : dzzzHjnhzSzSzHzSzHzSnoptoptxxsxoptxxoptsx121 mimRihmRixxsx,1.3 求解求解 Wiener-Hopf Equations -非因果非因果 IIR滤波器滤波器Solution :整理课件1.4 求解求解 Wiener-Hopf Equations -因果因果 IIR滤波器滤波器标准方程标准方程 : 0,0mimRihmRixxsx整理课件 zA nw nvzB1 zG ns n n

7、x nsWhitening filterOptimum causal filter for white input将IIR滤波器分解为两部分1( )( )( )H zG zB z第一部分为白化滤波器（将输入信号变为白噪声）第二部分为以白噪声为激励的最优因果滤波器。计算步骤计算步骤 因式分解（谱分解定理）因式分解（谱分解定理）(2) 分解为因果部分和非因果部分分解为因果部分和非因果部分 111zBzSzBzSzBzSsxsxsx(3) 计算系统函数计算系统函数 21111G(z)=sxcSzHzB zB zB z(4) 计算冲激响应（逆计算冲激响应（逆Z变换）变换） 12zBzBzSxx(5)

8、计算最小均方误差计算最小均方误差 dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21维纳滤波器的均方误差维纳滤波器的均方误差 0 2minesRnsneEnsnsneEneEn 11min. .1 210 2 mesescesesu cessssss s sssoptxsRmSz zdzjnRSz z dzjSzSzSzSzSzHz Sz dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21证明上式为什么维纳滤波器比一般线性滤波器性能更好？为什么维纳滤波器比一般线性滤波器性能更好？ sxssssoptxxxxssvvssoptssvvSzSzSzHzSzSzSzSzSHSS 0 01

9、 0optvvoptssoptvvHSHSHS mimRihmRixxsx,Minimum Phase Sequence 如果一个稳定的因果序列具有有理如果一个稳定的因果序列具有有理Z变换并且其所有的零变换并且其所有的零点和极点都位于单位圆内，则为最小相位序列。点和极点都位于单位圆内，则为最小相位序列。Maaa,10当下式成立时为最小相位序列当下式成立时为最小相位序列 1,11100iMiiMiiizzzazazA1.5 一些预备知识1.最小相位序列 例如：有限序列例如：有限序列最小相位多项式，最小相位系统最小相位多项式，最小相位系统为什么一个所有零点位于单位圆内的序列具有最小相位滞后？为什么

10、一个所有零点位于单位圆内的序列具有最小相位滞后？假设假设A(Z)是一个是一个M阶多项式，仅有一个零点位于单位圆内：阶多项式，仅有一个零点位于单位圆内： zFzzzA111这里这里F(z)是一个是一个M-1阶多项式，其所有的零点都位于单位圆阶多项式，其所有的零点都位于单位圆外外The zero:1zz 共轭倒序关系得到另一个序列共轭倒序关系得到另一个序列 B(z) zFzzzB11The zero:11 zz111111 1 1zzzzzz共轭系数倒序 zFzzzA111 zFzzzB11 BAzBzAzzzzzzzzzzzzz 11111111111(1) 幅度特性（单位圆上，即幅度特性（单位

11、圆上，即|z|=1）(2) 相位滞后特性相位滞后特性Phase lag: AeAeAAAjAjAarg,arg BeBeBBBjBjBarg,arg相位差相位差 : jjjjjjjeeezezeezezBA211111 argarg2 2 220, 0BABAAB11arg argzezejj假设假设A(z)为为M阶多项式，其所有的零点都位于单位圆内。阶多项式，其所有的零点都位于单位圆内。最大相位序列最大相位序列最大相位多项式最大相位多项式最大相位系统最大相位系统M2这里存在着这里存在着 个不同的序列个不同的序列(通过对各个因子作通过对各个因子作共轭倒序共轭倒序)，这些序列具有相同的幅度特性但

12、是不同，这些序列具有相同的幅度特性但是不同的相位特性的相位特性 11112111MA zzzz zz z 最小相位序列最小相位序列最小相位多项式最小相位多项式最小相位系统最小相位系统任何任何实实平稳随机信号平稳随机信号的的有理有理功率谱都可以被唯一分解为下面形功率谱都可以被唯一分解为下面形式：式：广义平稳随机信号模型：广义平稳随机信号模型：（任何平稳随机信号可以看作是由白（任何平稳随机信号可以看作是由白噪声序列激励一个因果和稳定的线性时不变系统产生的输出噪声序列激励一个因果和稳定的线性时不变系统产生的输出）信号合成信号合成信号白化信号白化 s.polynomial phase minimum

13、areboth and , where12zDzNzDzNzBzBzBzSxx一些预备知识: 2. 谱因子分解定理和广义平稳随机信号模型 任何平稳随机过程可以看作是一个稳定的因果线性系统在白任何平稳随机过程可以看作是一个稳定的因果线性系统在白噪声序列激励下的输出。噪声序列激励下的输出。(2) 如果如果x(n)使用逆滤波器使用逆滤波器1/B(z)进行滤波，则输出为白噪进行滤波，则输出为白噪声序列。声序列。(3) 由于信号由于信号x(n)和白噪声由一个可逆的变换相互关联，可和白噪声由一个可逆的变换相互关联，可以相互求得，所以他们包含了同样的信息。以相互求得，所以他们包含了同样的信息。 0,0mim

14、RihmRixxsx 0iinxihnhnxns nnx2 ng 0222022,0where ,011sisissRmg i Rm imRmmRmg im ig mmg nRnG zSz 输入为白噪声，方差为输入为白噪声，方差为因果因果 IIR 维纳滤波器冲激响维纳滤波器冲激响应为应为:Stable, Causal. The poles inside the unit circle.3. 因果维纳因果维纳IIR (白噪声作输入白噪声作输入) polynomils phase minimum areboth and ,12zDzNzDzNzBzBzBzSxx功率谱分解定理is causal a

15、nd optimal zG zSzGs21 iinxifn zGzBzHc14.因果维纳因果维纳IIR滤波器滤波器 -具有有理功率谱的输入信号具有有理功率谱的输入信号 121zBzSzBzHsxc 12111 zBzSzGzBzSzSzFzSmRmfimRifinxifmnsEnmnsEmRsxsxsxssxisxisGiven: 信号模型信号模型 测量模型测量模型 1 ,1anwnasns 1 ,cnvncsnx其中，假设下面条件成立其中，假设下面条件成立: 00, 0, 1 iwnvEisnvERivnvEininQiwnwEninini RzSQzSvvww白噪声白噪声1.6 维纳因果

16、IIR滤波器计算实例Solution: RazazQczSzSczSzSazazcQzcSzSzcSzSzSazazQzSnvncsnxnwnasnsvvssvcsxxsssvssvcsssxss11 11 11 , 1122112(1) 输入信号功率谱因式分解输入信号功率谱因式分解 1,11, 111111 1111121221222212fazfzzBzBzBazazzRaQcaRzRaQcaRRaQcRazazQczSxxzffzffffzfzzRaQcaRzRaQcaRRaQc212221222122221111111111分子分子:0,22PPcRRPaPQRaQcaRffRacQf

17、2222221111Ricatti Equation(2) 分解为因果和非因果部分分解为因果和非因果部分 fzazcQfzazazazcQzBzSzGsx111111111 21G1zG za222caRfRc PRP222or vfaRafP为Ricatti Equation的正解。2G1cQfa(3) 计算因果计算因果IIR滤波器系统函数滤波器系统函数 211212112111 11111 111 1 Wiener 1cHzG zB zcQfafzazazcQfafzGfzcQGfa增益PcRaRf2afPPcRRPaPQ122PcRcPcPfacQG2221PcR22cGaPcRPaca

18、PcRaRf1222PcRcPG2cGaf1f,G,P间的关系：method for computing causal IIR Wiener filter22221(1) (2 ) o r 1(3) 1caR PQPPRc PcPGRc Pa RffacGRc PGHzfz正 解计算系统函数步骤 因式分解（谱分解定理）因式分解（谱分解定理）(2) 分解为因果部分和非因果部分分解为因果部分和非因果部分 111zBzSzBzSzBzSsxsxsx(3) 计算系统函数计算系统函数 21111G(z)=sxcSzHzB zB zB z(4) 计算冲激响应（逆计算冲激响应（逆Z变换）变换） 12zBzBzSxx(5) 计算最小均方误差计算最小均方误差 dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21回顾计算步骤整理课件1.7 维纳预测器 zH nw nv zB1 zG w n nx nsWhitening filterOptimum causal filter for white in