原函数的概念

1、一、原函数的概念一、原函数的概念第四章不定积分第四章不定积分第一节不定积分的概第一节不定积分的概念念二、不定积分二、不定积分三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义定义定义 1 设函数设函数 y = f (x) 在某区间上有定义在某区间上有定义，如果存在函数如果存在函数 F (x)，对于该区间上任一点对于该区间上任一点 x，使使F (x)= f (x) 或或 dF(x) = f (x)dx ，则称函数则称函数 F (x) 是函数是函数 f (x) 在该区间上的一个在该区间上的一个原原函数函数.一、原函数的概念一、原函数的概念,3)5(23xx ( x3

2、+ C ) = 3x2 ( (C 为任意常数为任意常数) )，因此因此 x3 + 1，),5(3 x x3 + + C 都是都是 3x2 的原函数的原函数.例如，在例如，在 ( , )内内 , 由于由于(x3) = 3x2，因 此 函 数因 此 函 数 x3是 函 数是 函 数 3 x2一 个 原 函 数 ，一 个 原 函 数 ，又 由 于又 由 于 ( x3+ 1 ) = 3 x2， 定理定理1 1（原函数族定理）（原函数族定理） 如果函数如果函数 f (x) 在在某区间内有一个原函数，某区间内有一个原函数， 则它就有无限多个原则它就有无限多个原函数函数；并且其中任意两个原函数的差是常数并且

3、其中任意两个原函数的差是常数.所以，所以，F(x) + C 也是也是 f (x) 的原函的原函数数 设函数设函数 f (x) 的一个原函数为的一个原函数为 F (x) ，即，即F (x) = f (x)，(F (x) + C) = F (x) = f (x) , 又因为又因为C为任为任意常数，即意常数，即C 可以取无限多个值，因此可以取无限多个值，因此 f (x) 有无有无限多个原函数限多个原函数. 并设并设 C 为任意常数，由于为任意常数，由于 (1) 先证先证 f (x) 有一个原函数，则它的原函有一个原函数，则它的原函数有无限多个数有无限多个证证根据微分中值定理的推论知，根据微分中值定理

4、的推论知，H(x) = C （C为常数）为常数）G(x) F(x) = =C .H(x) =G(x) - -F(x) =G (x) F (x) = f (x) - - f (x)=0， 令令H(x) = G(x) F(x) , 于是于是有有 ()再证再证 f (x)的任意两个原函数的差是常数的任意两个原函数的差是常数F (x) = f (x)， G (x) = f (x).即即 设设 F (x) 和和 G(x) 都是都是 f (x) 的原函数，根据原的原函数，根据原函数定义则有函数定义则有 从定理从定理1可知如果函数可知如果函数 f (x) 的一个原函数为的一个原函数为 F (x) ，则，则

5、f (x) 的所有原函数可表示为的所有原函数可表示为 F (x) + + C ，其中其中 C 为任意常数为任意常数 定理定理 2(2(原函数存在定理）原函数存在定理） 如果函数如果函数 f (x) 在在闭区间闭区间 a, b 上连续，则函数上连续，则函数 f (x) 在该区间上必在该区间上必存在原函数存在原函数 其中符号其中符号 称为称为积分号积分号， f (x)dx 称为称为被积表达式被积表达式， x 称为称为积分变量积分变量，定义定义 2若若 F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 I 上的一个原上的一个原函数函数，,d)( xxf即即，CxFxxf )(d)( 则则 f (x)的全体原

6、函数的全体原函数 F(x) + + C ( (C为任意常为任意常数数) )称为称为f (x)的的不定积分不定积分，记为记为f(x) 称为称为被积函数被积函数，C 称为称为积分常数积分常数.二、不定积分二、不定积分例例 1求下列不定积分求下列不定积分.;d2)1(xx;dcos)2(xx;1d)3(2 xx.de)4(xx 根据不定积分的定义，只要求出被积函根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数数一个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可即可.( (1) )被积函数被积函数 f ( x ) = 2x， 因为因为 ( x2 ) = 2x，即即 x2 是是 2x 的

7、一个原函数的一个原函数 ，所以，不定积分所以，不定积分;d22Cxxx( (2) )被积函数被积函数 f (x) = cos x，因为因为 (sinx) = cosx，即即 sin x 是是 cosx 的一个原函数，的一个原函数，所以，不定积分所以，不定积分;cosdsinCxxx解解,11)(arctan)3(2xx因为所以得所以得;arctan1d2Cxxx,e)e ()4(xx 因为因为所以得所以得.edeCxxx( (2) )Cxfxxf )(d)(.)(d)()(dCxfxxfxf或或( (1) ) .d)(d)(d)(d)(xxfxxfxfxxf 或或三、不定积分的性质三、不定积分

8、的性质 性质表明：先求积分后求微分，则两者的作性质表明：先求积分后求微分，则两者的作用互相抵消；反过来，先求微分后求积分，则加用互相抵消；反过来，先求微分后求积分，则加上任意常数上任意常数C.例例 2若已知函数的在若已知函数的在 (x, y) 处的切线斜率为处的切线斜率为2x，求此曲线方程求此曲线方程.按题意，得按题意，得xyk2所以所以.22Cxxxyd又因曲线过点又因曲线过点(2, 5)，代入上式得，代入上式得 5 = 22 + C ,即即 C=1.y = x2 + 1.解解设所求曲线为设所求曲线为 y = f (x),于是所求曲线为于是所求曲线为四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意

9、义从几何上看，从几何上看， y = x2 + C 表示一族抛物线表示一族抛物线(如图如图)，而所求的曲线而所求的曲线y = x2 + 1是过点是过点(2, 5) 的那一条的那一条.oxy2yxcy = x2+1一般，若一般，若 y = F (x) 是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数， 那么那么 y = F (x) 所表示的曲线称为所表示的曲线称为 f (x) 的一条的一条积分曲线积分曲线.由于不定积分由于不定积分 所表示的原函数是无穷多所表示的原函数是无穷多个，个， xxfd)( 因此，不定积分表示为因此，不定积分表示为一族积分曲线一族积分曲线 y = F (x) +C，称它为，称它为f (x)的的积分曲线族积分曲线族. 这就是这就是不定积分不定积分的几