不可压Navier-Stokes方程解的定性研究正则性 外区域中解的适定性与渐近性态

1、.摘要摘要该论文分成两个部分第一部分讨论Navier-Stokes方程弱解的正则性问题；第 二部分讨论的是外区域中Navier-Stokes流的存在唯一性与渐近性问题三维不可压 Navier-Stokes方程弱解的正则性是一个极具有挑战性的公开问题目前在这个领域有两 个主要的研究方向其一就是考虑奇异集合的大小(所谓的部分正则性)，另一个方向是寻求弱解的充分条件以保证没有奇性发生(所谓的正则性准则)本文考虑的正是第二个方向我们将给出有意义的互不相同的正则性条件来确保解的光滑性第二部分是本论 文的主要部分也是作者在这个方向的主要贡献外区域中的Navier-Stokes流体也是一 个富有意义的问题具

2、体说来，当一个物体以恒定的速度经过一雷诺数小于50的流体的 时候，该物体周围流体的运动呈现的是层流Stokes方程对于雷诺数小于1的流体运动 提供了很好的刻画，但对于较大的雷诺数我们需要借助Navier-Stokes方程来获得精确的 结果我们考虑一个物体在雷诺数小于50的不可压缩流体中沿着平行于一墙状障碍物 以恒定的速度在一无界的区域里运动，那么该物体周围流体的运动可以用外区域中不可 压缩的Navier-Stokes方程和一定的边界条件来进行刻画，这里的边界我们一般考虑的是 墙壁、物体的表面和无穷远处该模型一个很重要的实际应用就是用来描述产生于液体 中的气泡沿着平行于墙壁运动的情形本文考虑具有

3、固定形状的单个气泡在不可压缩流 体中沿着平行于墙壁的方向运动，运用截断函数的技巧我们将以一具有紧支集的源项来 取代该气泡得到一个稳态的Navier-Stokes方程，实际上亦是气泡问题的一个简化模型 然后选取适当的变量作为“时间打变量，运用动力系统和傅里叶变换的方法旨在证明该 问题解的存在性与唯一性并得到方程解的一致估计在有了解的存在性后，我们试图进 一步具体刻画该解在无穷远处的渐近行为为了达到这一目的，在所构造的函数空间中， 通过仔细分析速度场每个分量的具体构成，我们找出其主导项，然后在傅里叶空间中提 取这些主导项的渐近信息去描述速度场的每个分量的渐近性态，最后运用反傅里叶变换 可获得速度场

4、的渐近表达式关键讯Navier-Stokes方程；正则性准则；稳态解；流体结构的相互作用；渐近行为华东师范大学博士学位论文：AbstractAbstractThere are two parts in this articleThe first part concerns the regularity issue while the second one considers the existence，uniqueness and asymptotic behavior for exterior Navier-Stokes flow蹄乃ether the weak solution to th

5、e 3D incompressible Navier-Stokes equations is regular or not is a challenging open problem in this fieldAt present，thereare two main directions in this fieldOne is to study the size of the singular set(SOcalled partial regularity)，the other one is to find sufficient conditions to guarantee no singu

6、larity formation(SO called regularity criteria)The present paper is the second di- rectionb will present SOme interesting and different regularity conditions to guarantee the smoothness of solutionThe second part is viewed as the main ingredients of this article and contributions in this areaExterio

7、r Navier-Stokes flow is also a meaningful issuePrecisely,when a body moves through a fluid with constant velocity in a regime of Reynolds numbers of less than about丘f帆the resulting fluid flow is then laminarThestokes equations provide a good quantitative description for Reynolds numbers signifi-cant

8、ly less than oneFor larger Reynolds numbers the Navier-Stokes equations need tobe solved in order to obtain precise resultsWe consider a body which is moving withconstant speed in an incompressible fluid with Reynolds numbers less than岱哆parallel toa wall in an unbounded domain，the flow around this b

9、ody Can be modeled by the incom-pressible Navier-Stokes equations in an exterior domain with the boundary conditions onthe wall，the surface of the body and at infinityA very important application is that it Can model the case of bubbles rising in a liquid which are moving parallel to the wallIn this

10、 thesiswe are concerned with the situation that a bubble with政ed shape is moving parallel to the wall in an otherwise unbounded domain filled with fluidWe introduce asmooth cuto任function to simplify the case where the bubble is replaced by a SOurce term with compact support and obtain a stationary N

11、avier-Stokes equations，which actually is a simplified model of the bubble problem，then choose a suitable variable as thetime” variable to show the existence and obtain a uniforIn bound for stationary solutions by u8- ing the dynamical system method and Fourier transfornl methodBased on this existenc

12、e result，we analyze the components of each velocity component in the framework of Ourfunction space in order to find the leading order term to extract asymptotics from themas the asymptotics of Our velocity component in Fourier spaceFinally,by taking inverseFourier transform we call get the asymptot

13、ic behavior of strong solutionsKeywords：Navier-Stokes flow；Regularity criteria；Stationary SOlutions；Fluid structureinteraction；Asymptotic behavior一U一华东师范大学博士学位论文郭正光博士学位论文答辩委员会成员名单姓名 职称 单位 备注 陆云光 教授 杭州师范大学 主席 樊继山 教授 南京林业大学黎野平教授上海师范大学 茅德康教授上海大学 张永前教授复旦大学第一部分正则性问题一1一华东师范大学博士学位论文第一章引言18世纪上半叶，瑞士数学家丹尼尔伯努利

14、展示了如何让微积分方法适用于分析流 体在受到多个力作用下的运动方式在这一工作的基础上，欧拉建立了一组方程，它们 的解精确地描述了假设的无黏性流体的运动1822年，Navier改进了欧拉的方程，使之 能适用于有一定黏性的流体这一更为实际的情况，但是Navier的数学推论是有缺陷的 由于运气好，他最后得出的方程是正确的几年之后，爱尔兰数学家Stokes作出了正确 的推导至今，我们就用这两位数学家的名字来命名他们推导出来的方程已作为纪念 Navier-Stokes方程是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程这些方程建立了流 体粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似

15、于摩擦力)以及引力之间的关系起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行数学家和物理学家深信，无论是微风还是 湍流，都可以通过理解Navier-Stokes方程的解来对它们进行解释和预言Navier-Stokes 方程是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过 程它们可以用来模拟大气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流，它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应 的分析等等虽然这些方程是19世纪写下的，到19世纪末，看来数学家差一步就要发 展出一种关于流体运动的完整理论了人们

16、有理由期望这样的一种理论会有许多的应 用但是有一个问题尚待解决没有人能够找到一个解Navier-Stokes方程的公式确切地说，没有人能够在原则上证明这个方程是否有解!(当然，每当一种真实的流体做了一 次流动，大自然就“解一了一次这个方程)注意到，从数学的角度上，二维的该问题已经 被Ladyzhenskaya解决了，但是三维问题并不能从二维中得到任何的启示到如今我们 对三维Navier-Stokes方程的理解仍然极少鉴于此问题的价值，2000年5月24日美国 克莱数学研究所的科学顾问委员会把Navier-Stokes方程列为七个“千禧难题”(又称为 世界七大数学难题)之一，这七道问题被研究所认

17、为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决”克莱数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，对七个问题中的任何一个的解决作出过实质性贡献的任何人奖励一百万美元2000年，普林斯顿大学数学 系教授Fefferman【19】给出了关于Navier-Stokes方程解的存在性与光滑性问题的正式命一2一华东师范大学博士学位论文第一章引言题为了给研究者一些合理的余地，在保持该问题本质不变的前提下，他给出了四个陈述 方式征求解答因为我们甚至不知道问题的光滑解是否全局存在，所以我们的理解还停 留在原始水平标准的研究偏微分方程的方法似乎不足以解决这个问题，然而我们很可 能需要一些新的深刻的思想在分析领域现有的

18、证明偏微分方程解的存在性和正则性的 一般方法是先构造弱解，然后证明任何弱解都是光滑的这一点对于Navier-Stokes方程 而言已经取得了部分的成功相关的工作接下来会有所介绍3华东师范大学博士学位论文第二章弱解的正则性条件我们将在本章讨论不可压的Navier-Stokes方程弱解的正则性问题，从几个不同的 角度来给出解的正则性准则其一，根据速度场和压力项内在的关联，我们通过压力项、压力的梯度与速度场的商式的条件证明解是正则的另外，在更大的函数空间中我们讨论若速度场关于某个方向的导数满足一定的条件或者压力与速度场的某个对数式在一 定的条件下也可以保证解的正则性21正则性准则I我们考虑如下的不可

19、压Navier-Stokes方程的初边值问题f窑籼乳+=A“，(础)印(0，T)出Vu=o，(z，)Q(o，T(21)l u=0，(z，t)0fl(0，T)I缸(z，0)=t幻(z)，zQ此处让=u(x，t)R3是速度场，p(x，t)为压力项，uo(x)是初始的速度场且在分布意义下 有div铷=0，Q是具有光滑边界aQ的有界区域关于三维不可压Navier-Stokes方程的研究有了较长的历史比如，在早期的工作【32】和50】中，Leray与H0pf证明了在初始条件咖(z)L2(R3)下弱解乱(z，t)L(o，T；L2(R3)n工2(0，T；日1(R3)的存在性然而，我们并不知道即使在很光滑的初

20、始条件下， 解是否会在有限的时间内产生奇性，弱解的唯一性也是个公开的问题因此，关于弱解的 正则性问题就吸引了许多研究者的兴趣一方面，Scheffer在【5 7】中开始运用几何测度 论的方法研究部分正则性的理论，Caffarelli，Kohn和Nirenberg12】也得到了关于部分正则性的一些结果，后来，林芳华【48】给出了【12】中定理的一个新证明，更进一步的结 果可以参考64】另一方面，弱解的正则性在一定的条件下也可以得到1962年，Serrin【59】证明了如果Leray-Hopf的弱解“(z，t)俨，y三L。(o，丁；Lf(R3)满足2a+371， 2a，37。o则u(x，t)Coo(

21、R3(0，列)从此，就有许多条件加在乱上的正 则性结果以及把条件加在钍的梯度或者u的某个分量的梯度上的正则性结果，分别参见一4一华东师范大学博士学位论文第二章弱解的正则性条件【23，43，44，60，62】和【3，15，70，71，还有关于压力和压力的梯度以及他们与速度场的比率的正则性条件 阻 55 这里我们提到的俨，1空间定义如下：(小(丁川艺，打)i11口oo，-!=- 5_=_ 泸 =ess sup Ilu(，r)llLl口=o。，p，J、这里f (小丁矿如)专170，(缸A，纵)也是它的解，这里让A(z，t)=入t正(入z，入2t)，肌(z，t)=入(Az，入2亡)从伸缩不变量的角度来

22、考虑的话，Serrin类是很重要的，这就意味着：Il让AIb，=Il让II聃， 成立当且仅当2肛+37=1，于是我们就称范数IIUlIL”具有维数零的特性12】同 理我们也发现，若2Q-4-37=2，那么IIVUlILa，一r和 b，也具有零维的特征基于 这一事实，有很多的正则性结果，如【3，15，70，71】以及5，69，72注意到在4】中，在 p(1+IuI)满足一定的条件下，类似的弱解的正则性也得到了证明，更广义的形式可以参 考【72】最近的研究成果可以参见【29，73-75】等至于更进一步的正则性准则，读着可以 参见【11，27，28，73-75】对于三维空间中的Navier-Stok

23、es方程，作用“div一算子到方程组(21)的第一个方 程的两边(往后如果没有特别的说明，我们说方程(21)通常是指该方程组的第一个方 程)，我们可以得到下面的等式3一却=侥岛(utuA(22)ij=l因此由Calder6nZygmund定理得到IIvll,1Clllull至：，17OO(23)粗略地讲，压力类似于速度场的平方，即是IPI焉lul2然而，并没有太多的文献考虑到这样的一个正则性条件vO+Iul)，也就是所谓的“另外的自然假设在【55】中，对于5华东师范大学博士学位论文21正则性准则Ir1作者考虑了p(1+IuI+IVul)，得到了解的正则性如果我们在方程(21)的两端同时作用“V

24、 div便可以得到3-A(Vp)=侥岛(V(札t)，(24)id=l以及下面的不等式iIVpIIL。62IllullVulllL,，lqo。，(25) 这里的G是一个只依赖q的常数粗略地讲，压力的梯度类似于札和它的梯度的乘积，或者简单地说，IvpI S Iul lVul注意到的是就我们所知(25)被周勇69】充分利用 来证明弱解的正则性，同样的技巧请见【73】但是，当我们考虑一般区域QR3上的 Navier-Stokes方程的时候，尽管(22)和(24)都成立，但(23)和(25)却不再成立这也 即是我们在以后的估计中要遇到的困难虽然如此，这并不意味着我们不可以在一般的区域上去建立正则性准则据

25、我所知，很少有把条件加在p(1+Iul)或者Vp(1+Iul)上 的正则性准则我们不妨做个简单的假设：若M是分式p(1+Iul)中分母的主导项，也 即是说若M1，那么p(1+Iul)毛Iul，而关于u的正则性条件已经被证明了类似地， 对于量VpO+lul)我们也比较感兴趣于是，下面我们将讨论这种类型的正则性条件主要结果如下足理21设蛳)L9(s2)，q3，以及在分布的意义下div Uo 2 0假设 u(x，亡)，t【0，丁)，是一个Leray-Hopf意义下的(21)的弱解，如果下面任何一个成立(C1)若0J西二南(C2)若236s9，南甜”，满足石2+孑3=竿，品s 7oo那么u(x，t)在

26、0，明上是一个光滑解定理22若定理21的假设成立下面条件之一满足 (H1)若0J西击(H2)若236149，研Vp凹”，满足兰+弓3=半，击7oo则u(x，t)是0，卅上的一个光滑解注21定理21和定理22中的6=0这一特殊情形已经有了相关的结果，见文献【72】，作者在一般的区域(半空间、有界区域以及外区域)上考虑了解的正则性问题，类 似的结果也可以参考【5】同样，周老师【72】考虑了61的情形，但是关于63，仳在C(o，疋)；L8(Q)中满足(21)，那么u(，7)IIL(26)(正一丁)鲁一7华东师范大学博士学位论文21正则性准则I 常数C不依赖于正和8(2)设u是一个弱解满足口Lr，8以

27、及21r+31sI，s3那么U属于Co。(o，卅Q1该引理的证明见Gigm【23】(同时可参见【411)，Kozono45】证明了半空间的情形，1washita【40】证明了外区域的情形我们说一个弱解U如果满足t正Loo(o，T；H1)nL2(o，T；H2)那么它就是强解众所周知，强解在弱解的族类中是正则的(经典的)、唯一的下面证明中用到的常数是各不相同的接下来我们证明定理21，主要分三步首先，我们引入一个非常有用的插值不等式，然后建立先验估计，最后由标准的连续性论断我们可以得到解的光滑性引理22【72】设，L，8 n口，孙，81，是一个Q【0，T)上的可测函数，那么，2，q且sP，s口3s以

28、及；+努l墨曼二j堑=!1111p，。C(s，P，q，T)Ilfllp2qllfll饥2qs。，这里c(s，P，q，r)依赖于s，P，q，z并且，如果；+努=；，那么c(s，P，q，丁)=1证明由空间驴，。的定义，我们有IIII驴,=(oT忖(，丁)|弘丁)珈(ZT懈删2懈删苗咖r1 、_屈鲥慨。(or懈，丁)舻p打 d、_、C(s，P，q，r) 臣叩甚1-0。，这里我们依次运用了插值不等式、HSlder不等式而且参数满足兰q=兰+警，一=一+二o，(27)【z，)SJS以及(1一o)ps等式(27)意味着1-0=(3q一3s)2q，那么我们可以得到sp+3s12q 32如果8p+3s2q=3

29、2，则有(1一o)p=8以及c(s，P，g，T)=1一8一华东师范大学博士学位论文第二章弱解的正刚性条件引理22的一个直接的应用就是，对于一个Leray-Hopf意义下(21)的弱解u有u胖，且三+石3，-3一2，以及2q6接下来我们建立强解的先验估计引理23 设uoL口(Q)，q3且div uo=0假设U是(21)的在区间Q X(o，T) 上的一个强解如果p(1+lul占)伊”，0623，且2Q+3，y=(436)2， is(895)，y6(23J)或者(C2)满足，那么。姒supr II让(删I羔s+IIu嗽。c，(28)此处C=C(ZQ，II牡ollLs)注22事实上，对于s3，我们本寄

30、希望于得到下面这种类型的估计sup IIt(，t)IkC0冬tST但是我们只能够得到(28)(s=3)，而这也足够来证明定理21址明 力程1)即网迈l司H日采以sului”，s3，然后征区日J 52(0，t)上分邵积 分得到Ilu(。)2。+s。上I札i卜2 IVul2出打+4(ss2-2)f02上lVI钍i主12如打s以酬M如打+Iluolli,。2(s一2)lpJJul暑一1 IViulI dxdr+II锄112。，(29)J0 Jn这里我们用到了sf ulr2础=一s上V(让旷2)Vu出=一sZ卜2IVul2如一s(s一2)Z luI卜2IVIu|12如一舢棚IV砰如一掣加讲12出，一s

31、Zf Vp刊衅打=s02Zp州小r2)dzdr=s Z上p(钍Vl让182)dxdr2(s一2)Z2上lpl lt。差一1 IVluI主I dxdr一9一华东师范大学博士学位论文!：!垩型竺!型一!竺竺!=!=!：!：!：!=：=!=竺竺=注意到IVI乱13。1扣pIV钍I，那么(29)变成Ilu(，t)II乞。+2 llVl札I盖Il苎：，。2(s一2)Z。上囟I I让I一1 IV I如打+II让。lI乞。(21。)目标就是估计A：=2(s一2,02上IpI I钍I争1 IVIuI墨I dxd，情尤乡1：0 S O23如果p(1+l让r)La”，2a+3y=(4-36)2，is(896)7墨

32、6(236)，我们估计A如下：2(-2)f02上帅P1 lVI钍I墨l出d丁a Z上Ipl2 l让I卜2出打+互1 llV I让15l：Q以l南卜I硼料鳓如打+舯1讲lit,，：s岛ll南吐，111删”训s肼-21l吧，。G 11南旺1屹8-2+G li南忆，T郜一新讲旺：，(2m，这里G是依赖于ll让ollL：和lQI的常数，其中JQI为区域Q的Lebesgue测度，上面的估 计式用到了Y0ung不等式以及HSlder不等式在上面的不等式中，参数口，7，o以及b 满足兰+字=1，tz一+T一=，lz)QD一2+三二兰+6：一一+O=L厶一yn容易解出方程(212)和(213)得到三=击(1一

33、号)，昙=两1(1一兰)仁显然由(214)给出的a和b满足兰I一3s=南型一(五2+弓3-I-b一一=一l一一l一rJ2as 2 l2、Q。7 )JI。7=素2=一8与2，(215)、oo，(一)710一华东师范大学博士学位论文第二章弱解的正则性条件此处我们用到了关于a和7的条件，2Q+3n=(43J)2为了应用引理22，需要关于口和6的额外的条件昙+一3s一32a6一 2，sn3s，6s骊互s3容易发现s=3是唯一的选择将s=3代入(211)得到M瞪s+引V州已G I|南吐1忆如+岛lI南旺，Tw川良仁峋于是由Young不等式以及引理22得M幢。+扣I乱I吧，：Q J南旺7JJ舞噍+岛Jl南

34、旺1Tw+|啦a lIr异孑111忆|I淼+G忆悒。，。+G lr寿币l已，TlQ户+lI咖幢。(217)选择一个合适的G使得圳u忙G忡讥扣IuI吧，我们注意到a3，从(217)得Ilu(圳I羔sG JI南B，II酬ks+G lI南旺1 T心IQ|1_q十|I蚰(2-18)由IIp(1+I让16)11L，的关于时间t的可积性，我们总可以选择to，0toL使得川南去，这里的G依赖于7，正lluollL。和IQI因此，我们得到。茎su。pto II让(，亡)I|羔ai酽2G T1一鲁IQll6一；+2 J|缸。|芝s(219)因u是光滑解，对于满足toT，我们可以从如开始重复kiliiN过N并目得

35、到一一11一华东师范大学博士学位论文21正则性准则1个荚似十(218)的估计由Ip(1 4-lul6)11口的可积性，存在tl，幻1正使得删南去Ilu(，t)llLs的上确界范数可以估计如下osu。p。II让(，t)II羔si酽2C3 T1一言IQll一占一；+煮T-一苎lQr一；+411咖胁卜。“0l眇(2G)2Q。因p(1+Iul6)俨”，常数酝不依赖于t，并且上面的过程只能重复有限次，从而我们得到估计s，up Ilu(，t)ll&a岛(220)0tT如果回到(217)，鉴于(220)我们发现下面的估计成立01l钒打=尬6(235)，由(215)，我们发现如果2Q 4-37=p3确切地说，

36、我们得到昙-t-芸=南半一c三+割否五2而l丁一(否+孑)Is(5362p)3=-二-，一2(82)2如果p6(236)，容易验证(223)的左手边总是成立的，而对于该不等式的右手边有6+一2一2，(224)一12一华东师范大学博士学位论文第二章弱解的正则性条件7南(225)注意到如果28占6(235)时可以取到p的最大值让(210)中的s=76(236)我们发现M怩，+2让l吧，：2(-y-2)02上I南I(1+I乱伊峥1 lVIu J吾dxdr+l|吡G Z2 I订I南+Iu川岁卜2打+lIV l钍r U一2 J-Il咖悒，G|l南忆州，Ill仆fI|哥2f+7 2+肌rII+2：，G l

37、l南眩州，陋牖2+I吧，。+岛l|南也训，IQI半刊训n于是sup I1tl lL-rt(z删s Go，(226)0t6(235)(1一占)，这里C10是一个依赖于，y，IQl，II札ollL，和IP(1+Iul6)|，叫，的常数情形2：23689 若(C2)成立，689且18(89ti)7o。，那么论断(218)仍然成立我们也能够得到估计式(28)对于(Q，7)=(4(43a)，)，注意到可以选择a和b使得Q 2南以及b 2南，23689；b=O。，6=2313华东师范大学博士学位论文21正则性准则I 于是有了下面的估计(，圳廖G|l南窿。肛幢。二+岛Il南k，。T擎俐1-6+恻匦对于73，

38、所以uoL8(Q)，s(3，g)由引理21，存在一个最大的区间【o，正)使得存在一 个唯一的解雹(z，t)BC(0，正)；L5(Q)因为u是一个Leray-Hopf意义下的弱解，满足 能量不等式，由SerrinMasuda【51，59】的唯一性准则u(x，t)=豇(z，t)，t0，正)在条件(C1)的第一种情形和(C2)下，假定这个区间是最大的且兀z那么“是区间0，互)上的一个强解，且估计式(28)成立结合(28)以及(26)，我们得到了下面的矛盾。o=Z瓦丽C3打ZL II心悒衙3定理21获证 接下来证明定理22定理22的证明与定理21类似我们只给出主要的估计Iil,-f由(29)，当83时

39、我们有Ilu(。川2。+2钆I吧，：sZ2Vpl l让I卜1如打圳训2。一14一华东师范大学博士学位论文第二章弱解的正则性条件sZ。Z li+lul6 j(1+川)卧扣1如打+II让川羔。s Il南忆1111删I 8价-1刈1川艮2+II让011三鳊lJ南忆，忆崆8-蚰1慨l|南忆，T郜阿2，这里我们用到了HSlder不等式，且有三+翌：l。Qa专+掣+罢=10一+_一+：=一yZ于是L者(1一五1a一=一_l一一S一 1 Q，)，2 27兰b=8一：=一一 1(型2一号)1I2 28类似地，a和b也必须满足下面的附加条件s3s3：+丽互，2 29且，I，I，-I、，fL 2 30 、l，、I

40、，、J、I，则米U s o6(236)，我们发现如果2a+37=侥(636)2，那么s可以取作大三-lt-塑2b=击1(半一鲁)一一=一I I于3的数我们可以得到口s一42，一s(10362伪)、374(s一1)2若展(439)2，s3，上面的不等式成立否则，63s(232)36-I-2#14。注意到(230)意味着生3s(型2一专)孚，一7一s(233)以及62s2-35，y2-s5(234)我们发现当2s艿23时(233)是显然的否则，(234)成立结合(232)和(234)得到丽3a=7禹土#1-2，丽2 7F焉二，这就给出了Q1以及防2-I-=(235)由(235)以及类似于(C1)中

41、的第二种情形的论断，得到sup llullL，(1卅a4，(236)Ot6(236)(16)，这里C14依赖于7，lal，II缸ollL，和Ivp(1+I-16)Il脾7，的常数若236149，(H2)成立，类似于定理21中的(c2)，我们就可以得到估计式16一华东师范大学博士学位论文第二章弱解的正则性条件(28)当有了先验估计(28)和(236)后，剩下的部分同定理21中的证明定理22获证有了上面的定理之后，我们仔细分析压力和速度场以及速度场的梯度之间的关系后 发现，下面的正则性条件也是很有意义的定理23设咖)L口(Q)，q 2 3，满足divUo=0假设u(x，t)是一个Leray-Hop

42、f意义下的方程(21)在【0，T)上的一个弱解如果下面的任何一个条件满足(T1)若23J65，可啬丽凹，满足三+号学础志7oo(T2)若0623，研啬丽凹，满足五2+号掣，以及击7志这里0，i=1，2，5=max51，如)，那么u(x，t)实际上是0，卅上的一个光滑解注23IIvv(1-t-Iul负4-IVul如)11聃1的极限行为，即是Q和7中至少有一个是 Oo，定理23中的条件依然有效我们注意到条件(T2)中51=而=0的情形正好 是【72】中所考虑的问题，作者给出了口和，y之间的关系的一个等式事实上，关于 p(1+Iul6，+IV仳I屯)，max(51，如)1的正则性条件也可以类似地建立

43、起来，为了避免 重复性的工作，我们在这里不具体去讨论而且，我们发现定理23对于任意维数N3也有相应的结果，这一点可以通过适当地修改我们的证明而得到关于高维空间中的情形详见【26】或者72】中的讨论引理24【70】设a(x)和b(x)是【0,A)上的两个非负函数，0占1若一个非负 函数y(z，t)满足下面的微分不等式yl(z)-t-b(x)o(z)y6(z)，z【0，A)，U(0)=Yo(237) 那么对于z0，A)，成立不等式y(z)+z6(s)ds(2禹+1)珈+2禹(Zz口(s)ds)弱(238)证明解奇次的微分不等式矿Q(z)矿得到，箩(z)磊一a+oz口(s)ds)I与(239)一17华东师范大学博士学位论文墨!至!生!垦!：!=苎=!=!竺!=!竺!竺!：苎!暑!=竺!一将(239)代入(237)中并在【0，叫上积分得善占(z)+f002 b(s)ds s Z00z a(s)ds砧一6+ Z 口 S渺S 、_，厂+珈1Ili可1-6 4-00x Q,ds r 卜 蜘2击珈+(Z。口cs，ds)南)+珈这就完成了引理的证明一接下来证明定理23证明 我们将定理23