复合函数求导法的应用

1、2022-3-162022-3-16：yexyyx)cos1 (2)sin(2tyttx11.14952022-3-16)(0),(0),()(, 0)(,)(0),(xfyyxFyxFxfyxfxFDxxfyyxFf存在隐函数也称方程：所确定的隐函数。此时为由方程则称有，如果及函数设有方程)(0),(ygxyxF 所确定的另一隐函数注：同理可定义方程222122221101),(1xyxyyxyxFyx有隐函数：无隐函数。而022 yx2022-3-162. 隐函数求导法：隐函数求导法：导法；的函数，用复合函数求为求导时，得视方程两边对，则所确定的隐函数是就表示方程若求xyxxyyyxFy)

2、(0),(. 1导法。的函数，用复合函数求为求导时，得视方程两边对，则所确定的隐函数是就表示方程若求yxyyxxyxFx)(0),(. 2yxyyyxxyyxyyxxyy022),(,1)(122得：求导，注意解：两边对所确定的隐函数，求是由方程：设例2022-3-162. 隐函数求导法：隐函数求导法：导法；的函数，用复合函数求为求导时，得视方程两边对，则所确定的隐函数是就表示方程若求xyxxyyyxFy)(0),(. 1导法。的函数，用复合函数求为求导时，得视方程两边对，则所确定的隐函数是就表示方程若求yxyyxxyxFx)(0),(. 212)0(212) 1 , 0(1, 0)()()

3、1 , 0(2)1 , 0(xyxytgkyyxyyxyeyxyxyyxyyexyyxyx即：故切线方程为：处的斜率为：点代入上式，求得曲线在将，得：求导，注意到：两边对线方程。，再利用点斜式求出切解：先求斜率处的切线。在点：求曲线例2022-3-16隐函数的高阶导隐函数的高阶导( , ),( )yg x yyy xxyx 先求注意，则方程两边再对 求导，视 为 的函数，用复合函数求导法；33222221)(022),(,1)(3yyxyyyxyyxyyxyyyxxyyxyyyxxyy 得：求导，注意解：两边对所确定的隐函数，求是由方程：设例2022-3-163. 隐函数的对数求导法：隐函数的

4、对数求导法：1sin2)1ln(cos)1(1sin2)1ln(cos1)1ln(sinln)1(422sin2222sin2xxxxxxyxxxxxyyxxxyxyxx求导：两边对解：取对数：的导数。：求例)3)(2)(1(2773)2)(1()312111(211)3ln()2ln()1ln(21ln3)2)(1(52xxxxxxxxyxxxyyxxxxyxxxy求导：两边对解：取对数：的导数。：求例2022-3-16函数。是由参数方程所确定的则称如果具有关系：对于参数方程)()()()()()(xfyttftytxxfy确定的函数。是由tytxxysincos122022-3-162.

5、参数方程求导法：参数方程求导法：)()(/)()(,0)(,ttdtdxdtdydxdyIttdtdytdtdx 且设)()(/)(11)()()()()()(ttdtdxdtdydxdytdtdxdxdtxttdxdtdtdydxdyxtytyxtttx故：再由反函数求导法得：由复合函数求导法知：得：代入证：由例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( a

6、xay)22( axy即即例例7 7解解.)2(;) 1 (,21sin,cos,002000的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力ttgttvytvxvxyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴轴方方向向的的分分速速度度为为时时刻刻沿沿炮炮弹弹在在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv c

7、os0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 2022-3-16vxvyv(v2/g)xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。来看动点的慢动作来看动点的慢动作.9.9. 星形线星形线 (圆内旋轮线圆内旋轮线)2022-3-16恒为常数。切线长一点的切线被坐标轴所上任意其中证明：曲线)23,2, 0, 0(sincos33tataytax为切线上的点）（其中：点斜式该点的切线方程为

8、为证：设曲线上任意一点),(costansin)(),(33YXtaXttaYyx参数方程求导例参数方程求导例2：例例8 8tdxdyttayttaxttancossin3sincos322xyoaP .2022-3-16taXYcos0 ，得令costansin33taXttaY由taYXsin0 ，得令atatad22cossin2022-3-16 参数方程所确定的函数的高阶导数参数方程所确定的函数的高阶导数：)(1)()()(, 0)()()(22tttdxydxyytttytx是由其确定的函数有二阶导数，且在设22()dyddydxdxdx证 ：()( )()( )tddttdtdx复

9、( )1( )( )ttt()( )()1( )tdtdxdtdt反2022-3-16 参数方程所确定的函数的高阶导数参数方程所确定的函数的高阶导数(续续)(1)()(22tttdxyd22sincos)(1dxydtbytaxxyy求由：设例( )cosdytbtdt解：( )cot( )dytatdxtb 22( )1( )( )d ytdxtt1(cot )sinatbat 31sinbt ( )cosdytbtdt2022-3-16参数方程所确定的函数的高阶导数参数方程所确定的函数的高阶导数(续续)331)(2dxydeatyexxyyatat求由：设例2( )(1)( )atatat

10、atdytaeeedxtae解：?nndxyd问：22232( )123( )( )atatatatatd ytaeaeeedxttae 232323()(3)1atatd ydd ydeedxdxdxdxdtdt23342929atatatatataeaeeeae2022-3-162022-3-16有关。无关，只与是与这里当问题是能否：其中点在点连续在回忆：0(?)0000)0()()0)(lim()(0lim)(xxAxxxAyxxyyxxxfyxx)()2(2)()2()0()()(0lim)(lim)(2)(20202222的线性主部的线性函数，也叫右边是很小时，当）（这里即：当且增量

11、：面积：SxxxSxxAxxxSxxxxxxxxxxxxSxSxxx2)(x2)(xxx2)(xxSx2022-3-161. 微分定义微分定义：xxAdydyxxfyxxAxxxxAyxxAxxfyxxfyxxxx)(|)()()0()()()()()(000000000即：处的微分，记为：在点为函数且称当使得无关与处可微在的邻域内有定义，则：在点设函数微分定义微分定义：2022-3-162.可微分的充要条件可微分的充要条件xxfdyxxfyxxfyxx)(|)()(0000且处的可导，在点处可微在xxfdyxxfxxxxxxxfyxxxxfyxxxfxyxyxfxxfxxxxxx)(|)()

12、0)(lim)(lim()()()()()0)(lim()()(lim)()(000000000000点可微，且在其中点可导在证：dxxfdyxdxdydxdyxyxxxdyxyxdx)(,)(,)(故：一般地记：又自变量的增量即：自变量的微分等于注：2022-3-163. 微分的几何意义微分的几何意义与弧与弧：PQTdyxtgxxfdytgkxfxxfyLxxxx上纵坐标的改变量切线如图：点，在设曲线切00|)(|)()(:000的弧长。质：叫做微分三角形且有性通常称曲边三角形基本相同与直角三角形曲边三角形很小时，注：当MNdydxdsMNQMPQMNQdyyx22)()(MQPNx0 +x

13、dxdyyx0Ty=f (x)YX0dydxdsMNQYX02022-3-163. 微分的几何意义微分的几何意义与弧与弧：dydxdsMNQYX0的弧长。时既光为滑曲线MNdxydsf(x)y2)(1dttytxdydxdstyytxx2222)()()()()()(时当曲线为ddydxdsyx2222)()()()(cos)(sin)(,)(由时当曲线为一. 二.三.2022-3-164. 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式：aaaeexxxxxxxxxxxxxxxxCxxxxln)()(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(cosc

14、os)(sin)(0)(221adxaaddxeedxdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdxxxxln)()(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(2212022-3-164. 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式：222211)cot(11)(arctan11)cos(11)(arcsinln1)(log1)(lnxxarcxxxxarxxaxxxxa22221)cot(1)(arctan1)(arccos1)(arcsinln)(log1)(lnxdxxarcdx

15、dxxdxdxxdxdxxdaxdxxddxxxda2022-3-16)()()()()()()()()(0)();()()()()()()()();()()()()()()()(2xvxdvxuxduxvxvxudxxvxuxvxdvxuxduxvxvxudxxvxuxdvxduxvxudxxvxuxxvxu可微，且在点时，处可微，且在点处可微，且在点处可微，则：在点与设类似可以证明。证：udvvdudxvudxuvdxvuuvdxuvuvdvuuvuv)()()()()()(2022-3-16dxexxdxexxdxeedxxdeexddydxexxdxydyexxyxexyxxxxxxx

16、xx)2(2)()()(2)2()2(122222222：法：解：法的微分。在点例：求2022-3-162. 一阶微分形式不变性：一阶微分形式不变性：性。为一阶微分形式的不变称处可微，且在点则处可微，在可微，在点且如果duufdyduufdxxufdyxxfxFyxuufxxxuufy)()()()()()()()()(),(),(duufdyduxddxxdxxufdxydyxufy)()()()()()()(又证：2022-3-162. 一阶微分形式不变性：一阶微分形式不变性：性。为一阶微分形式的不变称处可微，且在点则处可微，在可微，在点且如果duufdyduufdxxufdyxxfxFy

17、xuufxxxuufy)()()()()()()()()(),(),(121861012186)12186(12186012)(9)(2)31292()(3129212222232323yydxdyyydyyydyydydyydyydydyyyddxdxdyxyyyyyx时，有：当解：两边微分：。的导数所确定的函数求由方程：例2022-3-162. 一阶微分形式不变性：一阶微分形式不变性：性。为一阶微分形式的不变称处可微，且在点则处可微，在可微，在点且如果duufdyduufdxxufdyxxfxFyxuufxxxuufy)()()()()()()()()(),(),(tdttdttdxdyt

18、dtdtttddytdtdtttddxdxdytytxcot2sincos2cos2)sin2()sin2(sin)(cos)(cossin2,cos2解：求：例2022-3-16)()()()()()()()()(000000000 xxxxxfxfxfxxxxxfxxfdyyxfxf即：)0()0(|)(11000 xxxeeeexxxx：例)0()0(|)(sin0sinsinsin200 xxxxxxx：例348/116/1lim4864)64(|)(41664)64(|)(864?48lim36464336436400 xxxxxxxxxxxxxxx原式而时：解：例k2022-3-162. 近似计算近似计算)()()()()()()(),1|(1|000000000 xxxfxfxfxxxfxfxfxxfxxxx或点可微时，在远远小于表示当)1|(|)(cossinsin)0,|(|311)0,|(|2)1|(|1)1(0000343322xxxxxxxaaxaxaxaaaxaxaxaxxx)51503807.0(5151.01802221180)6(cos6sin)1806sin(31sin)20107819.0(20107.0532512511231)01.10(01.10202.01