交比(射影几何)

1、1一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1. 定义定义交比 最根本的射影不变量 定义定义. 设设P1, P2, P3, P4为点列为点列l(P)中四点中四点, 且且P1 P2, 其齐次坐标其齐次坐标依次为依次为a, b, a+ 1b, a+ 2b, 则记则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个表示这四点构成的一个交比交比, 其定义为其定义为112342(,).PP PP(1)称称P1, P2为为基点偶基点偶, P3, P4为为分点偶分点偶. 定理定理1. 设点列设点列l(P)中四点中四点Pi的齐次坐标为的齐次坐标为a+ ib ( i=1,2,3,4 )，则有则有132412342314

2、()()(,).()()PP PP(2)2 证明证明. 以以P1, P2,为基点为基点, 参数表示参数表示P3, P4. 设设132412342314()()(,).()()PP PPa+ 1b=a, a+ 2b=b. 从中解出从中解出a, b, 得得212121,.abbaab于是于是, P1, P2, P3, P4的坐标可表示为的坐标可表示为即即2331244121212121,ababab31412324,.ababab由交比的定义由交比的定义, 有有注注 定理可以作为交比的一般定义定理可以作为交比的一般定义.32. 性质性质(1) 交比组合性质交比组合性质 定理定理2 设设(P1P2,

3、P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序当改变这四点在交比符号中的次序时时, 交比值变化规律如下：交比值变化规律如下： (1).1(2).1.rrrrrr 基点偶与分点偶交换不变基点偶与分点偶的字母同换基点偶或分点偶字母对换改变换中间或首尾字母对换 推论推论 由定理由定理2, 相异的共线四点构成的相异的共线四点构成的24个交比只有个交比只有6个不同个不同的值：的值： 111, 1; 1,.11rrrrrrr不必背诵，但是要熟练掌握变化规律不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！4132412342314(,).PP P PPP PPP P PP(2) 交比的初等几何意义交比的初等几何意义

4、如果限于通常平面如果限于通常平面, 则则(2)式右边四个因式都是两点之间的有式右边四个因式都是两点之间的有向距离向距离, 即即(4) 注注：如果如果P4=P , 而而P1, P2, P3为通常点为通常点, 则可合理地规定：则可合理地规定：211.P PPP于是有于是有, (P1P2,P3P )= (P1P2P3)为为前三个通常点的简单比前三个通常点的简单比.53. 特殊情况特殊情况 定理定理3 共线四点的交比值出现共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一三者之一这四点中有这四点中有某二点相同某二点相同. 证明证明 根据定理根据定理1，令，令P1=P2或或P2=P3或或P3=P4或或P4=P1直

5、接验证直接验证. 此时此时, 上述上述6个不同的交比值又只有个不同的交比值又只有3组：组：0, 1, .4. 调和比调和比定义定义 若若(P1P2,P3P4 )= 1, 则称则称推论推论1 若若(P1P2,P3P4 )= 1, 则此四点互异则此四点互异.推论推论2 相异四点相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比可按某次序构成调和比这四点这四点的的6个交比值只有个交比值只有3个：个：11,2 .2点组点组P1,P2,P3,P4为为调和点组调和点组点偶点偶P1,P2,与与P3,P4(相互相互)调和分离调和分离点偶点偶P1,P2,与与P3,P4(相互相互)调和共轭调和共轭点点P4为

6、为P1,P2,P3的的第四调和点第四调和点6调和比是最重要的交比！调和比是最重要的交比！对于对于(P1P2,P3P4 )= 1, 利用初等几何意义利用初等几何意义, 有有132412342314(,)1.PPP PPP PPP PPP 此时此时, 若若P4=P , 而而P1, P2, P3为通常点为通常点, 则则1312312323(,)()1.PPPP PPPP PP P 这表示这表示P3为为P1P2的中点的中点. 推论推论3 设设P1, P2, P为共线的通常点，为共线的通常点，P 为此直线上的无穷远为此直线上的无穷远点，则点，则P为为P1P2的中点的中点12(,)1.PP PP 7 例例

7、1 设设1,2,3,4,5,6是是6个不同的共线点个不同的共线点. 证明：若证明：若(12,34)=(14,32), 则则(13,24)= 1.(12,34)r(14,32)1rr由题设由题设1rrr22rr已知四点相异已知四点相异0r 2r (13,24)11.r 8此步不可省！若不共线则交比无定义！此步不可省！若不共线则交比无定义！5. 交比的计算交比的计算(1) 由坐标求交比由坐标求交比 例例2 已知已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求求(P1 P2, Q1 Q2). 解解 第一步第一步. 验证四点共线验证四点共线. 第二步第二步

8、. 以以P1, P2为基点为基点, 参数表示参数表示Q1, Q2. 令令12.iiiQPPi=1,2.对于对于i=1, 有有13.对于对于i=2, 同理求得同理求得 . 于是，于是，. 32112122(,)1.PP QQ 2-39 例例3 已知已知P1, P2分别是分别是x轴、轴、y轴上的无穷远点，轴上的无穷远点，P3是斜率为是斜率为1的的方向上的无穷远点，且方向上的无穷远点，且(P1P2,P3P4)=r，求，求P4的坐标。的坐标。 解解：由题设知由题设知P1, P2, P3的坐标分别为的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)。设。设31124122,.PPPPPP则显

9、然则显然11,由由11234221(,).PP PPr可得可得21/ , r从而从而P4的坐标为的坐标为(r,1,0). 注注 若要求若要求P1, 或或P2的坐标的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置则需先据交比性质交换点的位置, 使使得交换后第得交换后第1,2位置为已知点位置为已知点, 再计算再计算.(2) 由交比求坐标由交比求坐标 定理定理4 设设Pi l(P) (i=1,2,3,4)，并已知，并已知1234(,),(0,1,)PP PPkk还已知其中三点的坐标，则第四点的坐标可唯一确定。还已知其中三点的坐标，则第四点的坐标可唯一确定。10 推论推论4 设设01*,P P P为点列为点列l

10、(P)中取定的相异三点中取定的相异三点, P l(P). 则则*01(,):PP PPPx为点列为点列l(P)与与R之间的一个双射之间的一个双射. 其中其中*0101PPxPPxPPx 无穷远点分别“相当于”拓广直线上的 原点单位点11二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比1. 线束的参数表示线束的参数表示 设设a, b为线束为线束S(p)中取定的相异二直线中取定的相异二直线. 则对于任意的则对于任意的p S(p), 其坐标可表示为其坐标可表示为.abR称称a, b为为基线基线, 为为参数参数.注注1这里这里a, b, p均表示直线的齐次坐标。容易看出均表示直线的齐次坐标。容易看出 =0

11、 a; =1 a+b; = b注注2线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数结线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数结构，因此可由点列的交比对偶地得到线束的交比构，因此可由点列的交比对偶地得到线束的交比.12 定义定义3 设设p1, p2, p3, p4为线束为线束S(p)中四直线，且中四直线，且p1 p2，其齐次，其齐次坐标依次为坐标依次为a, b, a+ 1b, a+ 2b，则记，则记(p1p2, p3p4)表示这四直线构成表示这四直线构成的一个的一个交比交比，定义为，定义为112342(,),p pp p(5)称称p1, p2为为基线偶基线偶， p3, p4为为分线偶分线偶

12、。 定理定理5 设线束设线束S(p)中四直线中四直线pi的齐次坐标为的齐次坐标为a+ ib (i=1,2,3,4). 则则132412342314()()(,).()()p pp p(6)2. 定义定义注注 上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构. 因此有因此有相同的组合性质相同的组合性质, 并可类似定义并可类似定义调和直线组调和直线组.133. 交比为射影不变量交比为射影不变量 定理定理6 设线束设线束S(p)中四直线中四直线pi被直线被直线s截于四点截于四点Pi(i=1,2,3,4)，则，则12341234(,)(,).p pp pPP PP

13、证明证明 设直线设直线p1, p2, p3, p4的齐次坐标分的齐次坐标分别为别为a, b, a+ 1b, a+ 2b, 直线直线s的齐次坐标为的齐次坐标为c. 可以求出点可以求出点Pi的坐标分别为的坐标分别为23312331121212233123311212,aaaabbbbaabbPPcccccccccccc而而31124122(),().P PPP PP于是于是1123412342(,)(,).p pp pPP PP14 注注 定理定理6也可看做：设也可看做：设Pi为点列为点列l(P) 中四点中四点, Pi与不在与不在l上的定上的定点点S连线依次为连线依次为pi (i=1,2,3,4)

14、，则，则12341234(,)(,).PP PPp pp p由定理由定理6, 得下述重要结论得下述重要结论定理定理7 交比为射影不变量交比为射影不变量.注注 由定理由定理7, 关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式相互移植、相互转化对偶的方式相互移植、相互转化. 154. 直线交比的初等几何意义直线交比的初等几何意义(1) 斜率表示斜率表示 如图如图, 在以在以S(x0,y0)为束心的线束中，取为束心的线束中，取定基线定基线x x0=0, y y0=0，则直线的斜率，则直线的斜率k可以可以作为参数来表示线束作为参数来表示线束S(p)。 由

15、定理由定理5可得可得 定理定理8 对于通常线束中以对于通常线束中以ki为斜率的为斜率的四直线四直线pi (i=1,2,3,4)，有，有132412342314()()(,).()()kkkkp pp pkkkk注注 容易看出，斜率参数容易看出，斜率参数.kR(tan).k16证明证明：设设p1,p2,p3,p4 是通常线束是通常线束S(p) 中的四条直线，它们中的四条直线，它们的斜率依次是的斜率依次是k1,k2,k3,k4 。设。设S的直角坐标为的直角坐标为(x0,y0) ，则，则这四条直线的直角坐标方程为这四条直线的直角坐标方程为ki(x-x0)-y+y0=0 ，对应的，对应的齐次方程为齐次

16、方程为kix1-x2+(y0-kix0)x3=0 ，齐次坐标为，齐次坐标为piki,-1,y0-kix0 。考虑两条固定的直线。考虑两条固定的直线a:y=y0 和和b:x=x0 ，则，则a,b 的的齐次坐标分别是齐次坐标分别是0,-1,y0 和和1,0,-x0 。于是。于是pi 的齐次坐标的齐次坐标为为 a+kib ，于是有，于是有132412342314()()(,).()()kkkkp pp pkkkk17 设直线设直线pi与与x轴正向的夹角为轴正向的夹角为 i (i=1,2,3,4). 将将ki=tan i代入代入上式上式, 利用三角恒等式化简可得利用三角恒等式化简可得 定理定理9 对于

17、通常线束中以对于通常线束中以ki为斜率的四直线为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有有132412342314sin()sin()(,).sin()sin()p pp pp pp pp pp p其中其中(pi pj)表示由表示由pi到到pj的夹角的夹角.(2) 三角函数表示三角函数表示 推论推论5 设设pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线为通常线束中四直线. 则则p3, p4为为p1, p2夹角的内外平分线夹角的内外平分线(p1p2, p3p4)= 1, 且且p3 p4 .证明略证明略. 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.

18、18设线束中的四直线设线束中的四直线li 与与x 轴正向的夹角为轴正向的夹角为132412342314131324242323141413242314(tantan)(tantan)(,)(tantan)(tantan)(sincoscossin)(sincoscossin)(sincoscossin)(sincoscossin)sinsin,sinsinp pp p所以有所以有132412342314sinsin(,).sinsinp pp pp pp pp pp p195. 直线交比的计算直线交比的计算 (1). 由已知条件求交比由已知条件求交比 方法一方法一. 与点的交比计算完全对偶。与

19、点的交比计算完全对偶。 方法二方法二. 以一条特殊直线截已知线束，转以一条特殊直线截已知线束，转化为点的交比计算。技巧：取合适直线，使化为点的交比计算。技巧：取合适直线，使截点坐标简单，易于计算。截点坐标简单，易于计算。 (2). 由已知交比和其中三直线坐标，求第四条直线。由已知交比和其中三直线坐标，求第四条直线。20 例例4 过圆的弦过圆的弦AB的中点的中点O任作另外两弦任作另外两弦CE, DF，连结，连结EF, CD交交AB于于G, H。求证：。求证：GO=OH。 证明证明 因为因为A, F, C, B为圆上四定点为圆上四定点, 据教材据教材P.67例例2.3，有，有(,)(,).E AF CBD AF CB以直线以直线AB截这两个线束，得截这两个线束，得(,)(,).AG OBAO HB由交比的初等几何表示由交比的初等几何表示(2.4)式，有式，有