B第4章随机变量的数字特征浙江农林

1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1随机变量的数学期望随机变量的数学期望2随机变量的方差随机变量的方差3协方差与相关系数协方差与相关系数第四章习题课第四章习题课概率论与数理统计概率论与数理统计第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征概率论与数理统计概率论与数理统计1随机变量的数学期望随机变量的数学期望引例引例 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下试问试问:该射手每次射击平均命中靶多

2、少环该射手每次射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率knnnk概率论与数理统计概率论与数理统计解解平均射中环数平均射中环数射射击击次次数数射射中中靶靶的的总总环环数数 9030520410315213120 90305902049010390152901319020 .37. 3 50kknnk 设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环数为随机变量 Y .概率论与数理统计概率论与数理统计 50kknnk 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动 50kknnk n

3、 50kkpk随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定的稳定值值? “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加概率论与数理统计概率论与数理统计1.1离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望()iiiXxEp()E X不存在不存在 |iiixp 概率论与数理统计概率论与数理统计所以所以A的射击技术较的射击技术较B的好的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数XBA射手名称()8 0.39 0.1 10 0.69.3AE X ()8 0.29 0.5 10 0.39.1BE

4、X 例例 有有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为射击平均击中环数为B射击平均击中环数为射击平均击中环数为概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 分布律为：分布律为： 平均废品数为：平均废品数为： ()1.1 0.40 021(3 0./30.21E X个 天）概率论与数理统计概率论与数理统计例例 设随机变量设随机变量X具有如下的分布，求具有如下的分布，求E(X).解解 虽然有虽然有但是但是因此因此E(X)不存在不存在.2ln1) 1(1kkk,1,2,.(221)1kkkkP Xk1k

5、kkPxXx111kkkkkx p12( 1)12kkkkk=?=?概率论与数理统计概率论与数理统计1.2连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望离散型随机变量离散型随机变量X的数学期望为的数学期望为()kkkE Xx p自然要问连续型随机变量自然要问连续型随机变量X的数学期望是什么的数学期望是什么?()?E X概率论与数理统计概率论与数理统计设设p(x) 是连续型随机变量是连续型随机变量X的密度函数的密度函数,取分点取分点x0 x1xn+1则随机变量则随机变量X落在落在xi=(xi, xi+1)中的概率为中的概率为与与X近似的随机变量近似的随机变量Y的数学期望为的数学期望为niiii

6、xxpx0)(由微积分知识自然想到由微积分知识自然想到X的数学期望为的数学期望为dxxxp)(1( )( )iiixxiiiixP Xxp x dP Yxxp xx相当小时概率论与数理统计概率论与数理统计()p xEdxXx( )x p x dx ()E X不存在不存在 概率论与数理统计概率论与数理统计其他, 010,2)(xxxp例例 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为试求试求X的数学期望的数学期望.dxxxpXE)()(解解32322103102xdxx102xdxx0101( )( )( )pxdxxp xdxxdxp xx0101020 xdxxdxxxdx概率论与

7、数理统计概率论与数理统计xxxp,111)(2dxxxdxxxdxxpx02212111|)(|011)(2dxxxdxxxp例例 若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为问随机变量问随机变量X的数学期望的数学期望E(X)是否存在是否存在.解解所以所以E(X)不存在不存在.但但02202| )1ln(1)1 (111xxdx概率论与数理统计概率论与数理统计1.3随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1()()()iiig Xg xEp 概率论与数理统计概率论与数理统计()( )()( )dEp xxg Xg x 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 ( )(32)E Y

8、EX( 2) 0.331 (0)20.32 33(1) 0.4(2) 0.23.822 6 . 12 . 024 . 013 . 001 . 0)2()()(22222XEZE概率论与数理统计概率论与数理统计(,)(, )ijijijg X Yg xyEp 概率论与数理统计概率论与数理统计(,)( ,( , )dd)Ep x yxyg X Yg x y 概率论与数理统计概率论与数理统计Xp1234 . 02 . 04 . 0解解的分布律为的分布律为XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例例 设设 ( X , Y

9、) 的分布律为的分布律为概率论与数理统计概率论与数理统计. 03 . 014 . 003 . 01)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律为的分布律为Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0由于由于概率论与数理统计概率论与数理统计p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1

10、 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 概率论与数理统计概率论与数理统计1.4数学期望的性质数学期望的性质1. 设设 C 是常数是常数, 则有则有.)(CCE 2. 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，C 是常数，则有是常数，则有).()(XCECXE 3. 设设 X, Y 是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有).()()(YEXEYXE 4.

11、 设设 X, Y 是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有).()()(YEXEXYE 概率论与数理统计概率论与数理统计解解 概率论与数理统计概率论与数理统计121()(126)66iE X从而由期望的性质可得从而由期望的性质可得 6611()()iiiiE XEXE X1216(126)62166概率论与数理统计概率论与数理统计2随机变量的方差随机变量的方差引例引例 A，B两种手表的日走时误差分别具有如下两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：的分布律：易知易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手由数学期望无法判别两种手表的优劣表的优劣.但直觉告诉我们但直觉告诉

12、我们A优于优于B,怎么样用数学怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢的方法把这种直觉表达出来呢?概率论与数理统计概率论与数理统计2.1方差的概念方差的概念标准差（标准差（Standard variance）: ()()XD X2()Var()D XXEXE X 概率论与数理统计概率论与数理统计方差的意义方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量取值分散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取取值分散程度大值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 则表示则表示X 的取值比较集中的取值比

13、较集中, 以以 E(X) 作为随作为随机变量的代表性好机变量的代表性好.概率论与数理统计概率论与数理统计22()()()D XE XE X 证明证明2()()XEXXDE 222() () XXE XE XE 222()()(XX EEXEEX 22)()(XEXE 22()()E XEX定理定理概率论与数理统计概率论与数理统计例例 A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律，问哪种手表质量好些分布律，问哪种手表质量好些?2222222222()() ( 1) 0.1 0 0.8 1 0.1 0.2()() ( 2) 0.1 ( 1) 0.20 0.4 1

14、 0.2 2 0.1 1.2AABBD XE XD XE X 解解 易知易知E(XA)=E(XB)=0.所以所以由于由于D(XA) 0从而有从而有D(X)E(X-C)2概率论与数理统计概率论与数理统计3协方差与相关系数协方差与相关系数概率论与数理统计概率论与数理统计3.1协方差协方差(, )() ( )Cov X YE XE XYE Y概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明 (, )() ( )Cov X YE XE XYE Y( )()() ( )E XYXE YYE XE X E Y)()()(YEXEXYE概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明 Cov

15、(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X)概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明 Cov(aX,bY)=E(aX-E(aX)(bY-E(bY) =Ea(X-E(X)b(Y-E(Y) =abEX-E(X)Y-E(Y) =abCov(X,Y)概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明 Cov(X+Y,Z) =E(X+Y)-E(X+Y)Z-E(Z) = E(X-E(X)+(Y-E(Y)Z-E(Z) = EX-E(X)Z-E(Z) +Y-E(Y)Z-E(Z) =EX-E(X)Z-E(Z)+EY-E(Y)Z-E(Z) =Cov(X,Z)+Co

16、v(Y,Z)概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明 2()()()D XYE XYE XY2()( )E XE XYE Y22()( )E XE XYE Y()( )2Cov(, )D XD YX Y2()( )XE XYE Y概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明 ()()( )2(, )D tXYD tXD YCov tX Y2()2(, )( )0t D XtCov X YD Y2(, )()( )Cov X YD X D Y概率论与数理统计概率论与数理统计2()()2(, )( )0D tXYt D XtCov X YD Y概率论与数理统计概率论与数理统计3.2相关系数相关系数 协

17、方差的数值在一定程度上反映了协方差的数值在一定程度上反映了X与与Y相互相互间的联系间的联系,但它受但它受X与与Y本身数值大小的影响本身数值大小的影响. 如令如令X*=kX，Y*=kY，这时，这时X*与与Y*间的相互联系和间的相互联系和X与与Y的相互联系应该是一样的，但是的相互联系应该是一样的，但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)引进相关系数的概念引进相关系数的概念克服这一缺点克服这一缺点.概率论与数理统计概率论与数理统计Cov(, )()( )XYX YD XD Y概率论与数理统计概率论与数理统计*()()XE XXD X()( ),()( )XYXE XYE YCovD XD Y概

18、率论与数理统计概率论与数理统计2( , )() e a bE YabX2222()()2( )2()2()E Yb E XaaE YbE XYabE X222()2 ( )02()2 ()2()0eabE XE YaebE XE XYaE Xb概率论与数理统计概率论与数理统计解方程组得：解方程组得： )(),(0XDYXCovb )(),()()()()(00XDYXCovXEYEXEbYEa)()(min2002,XbaYEbXaYEba)()1 (2YDXY2,min () a bE YabX概率论与数理统计概率论与数理统计相关系数的性质：相关系数的性质： 100XbaYP0),(CovY

19、X)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明 2,min () a bE YabX)()1 (2YDXY200() 0E Yab X( )0D Y 012XY11XY概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明 ()() ( )E XYE X E Y(, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y概率论与数理统计概率论与数理统计100XbaYP证明证明 200() E Yab X2(1)( )0XYD Y20000200)()()(0XbaYEXbaYDXbaYE0)(00XbaYD0

20、)(00XbaYE10)(00XbaYP100XbaYP概率论与数理统计概率论与数理统计1*XbaYP10)(*XbaYP10)(2*XbaYP0)(2*XbaYE*22,0() min () a bE Yab XE YabX2200() (1)( )XYE Yab XD Y1XY概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相关情况示意图相关情况示意图概率论与数理统计概率论与数理统计0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD证明证明 Cov(, )0()( )XYX YD XD Y0=Cov(, )

21、()() ( )X YE XYE X E Y)()()(YEXEXYE),(Cov2)()()(YXYDXDYXD)()()(YDXDYXD概率论与数理统计概率论与数理统计解解 ()0E XY 概率论与数理统计概率论与数理统计()0E X 1( )3E Y (, )()()( )0Cov X YE XYE XE Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y12(1,1)(1)(1)69P XYP XP Y 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 1(, )()( )4 923XYCov X YD XD Y()(2)(2)( )2(2, )D UDXYDXD YCovX Y4 ()( )

22、2 2(, )33D XD YCov X Y ( )(2)(2)( )2(2, )D VDXYDXD YCovX Y4()( )22(, )17D XD YCov X Y 概率论与数理统计概率论与数理统计( ,)(2,2)Cov U VCovXYXY(2,2)(2, )( ,2)( , )CovXXCovX YCov YXCov Y Y4()( )7D XD Y( , )7( )( )551UVCov U VD UD V所以所以因此因此概率论与数理统计概率论与数理统计第四章习题课第四章习题课数学期望数学期望方方 差差离散型离散型连续型连续型性性 质质协方差与相关系数协方差与相关系数二维随机变量

23、的数学期望二维随机变量的数学期望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望定定 义义协方差协方差的性质的性质相关系数相关系数定理定理概率论与数理统计概率论与数理统计随机变量的数学期望随机变量的数学期望()iiiXxEp()p xEdxXx1()()()iiig Xg xEp ()( )()( )dEp xxg Xg x 概率论与数理统计概率论与数理统计(,)(, )ijijijg X Yg xyEp (,)( ,( , )dd)Ep x yxyg X Yg x y 概率论与数理统计概率论与数理统计数学期望的性质数学期望的性质1. 设设 C 是常数是常数, 则有则

24、有.)(CCE 2. 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，C 是常数，则有是常数，则有).()(XCECXE 3. 设设 X, Y 是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有).()()(YEXEYXE 4. 设设 X, Y 是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有).()()(YEXEXYE 概率论与数理统计概率论与数理统计随机变量的方差随机变量的方差2()Var()D XXEXE X 22()()()D XE XE X 概率论与数理统计概率论与数理统计方差的性质方差的性质2()()D CXC D X()()( )D XYD XD Y概率论与数理统计概率论与数理统计协方差协方

25、差(, )() ( )Cov X YE XE XYE Y概率论与数理统计概率论与数理统计相关系数相关系数Cov(, )()( )XYX YD XD Y100XbaYP0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD概率论与数理统计概率论与数理统计oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相关情况示意图相关情况示意图概率论与数理统计概率论与数理统计典型例题典型例题题型题型1 求随机变量的数学期望和方差求随机变量的数学期望和方差解解 ( )( )dE Xxp xx所以 112d)1(xxcx , 0 概率论与数理统计概率论与数理统计22)()()(XEXEXD )(2X

26、E 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc ( )d1f xx)(d)(2XDxxfx ),()1(21)1(21)( XDXD 于于是是.321)( XD故故概率论与数理统计概率论与数理统计题型题型2 求随机变量函数的数学期望求随机变量函数的数学期望).1 ,min( ,)1(1)( 2XExxfX求求的概率密度的概率密度设随机变量设随机变量 解解)1 ,min( XE xxfxd)()1,min( 11d)(d)(xxxxfxxfx 12112d111d11xxxxxx 1210

27、2d112d12xxxxx.212ln1 例例概率论与数理统计概率论与数理统计解解 ov(, )()( )XYCX YD XD Y0.4 5 612 ()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y25362 1285 ()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y25362 1237 概率论与数理统计概率论与数理统计解解 从数字从数字0, 1, 2, , n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望. , 的绝对值的绝对值为所选的两个数字之差为所选的两个数字之差设设 X , 3 , 2 , 1 nX的

28、的所所有有可可能能取取值值为为则则,2 11 nnXP, 21)1(2 nnXP一般的一般的., 2, 1,21)1(nknknkXP nkkXkPXE1)( nknknk121)1(.32 n例例概率论与数理统计概率论与数理统计解解. ,)( ,! 0 的值的值与与求求已知已知为为的概率的概率取非负整数值取非负整数值设随机变量设随机变量BAaXEnABpnXnn , 的分布列的分布列是是因为因为Xpn 0nnXP 0!nnnBA, 1 BAe,BeA 得得 0!)(nnnBnAXE 1)!1(nnnBA, aABeB .,aBeAa 因此因此例例概率论与数理统计概率论与数理统计.,max, 010,2)(,:1551521数学期望和方差数学期望和方差的密度函数的密度函数求求其他其他其共同的密度函数为其共同的密度函数为独立同分布独立同分布设随机变量设随机变量习习iiXYxxxpXXX 解解的分布函数为的分布函数为iX10,2)(20 xxtdtxFx的的分分布布函函数数为为Y10 ,)()(105 yyyFyFY概率论与数理统计概率论与数理统计的的密密度度函函数数为为Y10 ,10)()()(910 yyydyydFypYY111010)(