4刚体的平面运动

1、车轮的运动车轮的运动刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述曲柄连杆机构曲柄连杆机构刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述行星齿轮机构行星齿轮机构刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述一平面运动的定义一平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变具有这种特点的运动称为刚体的平面运动终保持不变具有这种特点的运动称为刚体的平面运动刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述刚体的平面运动可以简化为平面图形刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动在其自身平面内的运动二平面运动的简化二平面运动的简化刚体上任一点都在与该固定平面

2、刚体上任一点都在与该固定平面平行的平面内运动平行的平面内运动刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述平面图形平面图形S在始终在其自身平面内运动在始终在其自身平面内运动 平面图形平面图形 S 的位置可用的位置可用其上任一线段如其上任一线段如AB 来确定，来确定， 而线段而线段AB的位置又可用的位置又可用A 点的坐标点的坐标 xA 、yA和线段和线段AB与与 x 轴的夹角轴的夹角 来确定。来确定。 点点 A 称为称为基点基点。 平面图形位置的确定平面图形位置的确定)()()(321tftfytfxAA 刚体平面运动方程刚体平面运动方程当平面图形当平面图形 S 运动时，坐标运动时，坐标 xA 、yA和夹

3、角和夹角 一般都是随时间一般都是随时间 t 而而变化的，分别为时间变化的，分别为时间 t 的单值连的单值连续函数，即续函数，即这就是平面图形这就是平面图形S 的的运动方程，也就是运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程。刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解在左面的图中，如果平面图形在左面的图中，如果平面图形 S 上的上的A 点固定不动，则刚体将作点固定不动，则刚体将作定轴转动。定轴转动。又若在左面的图中，如果平面图又若在左面的图中，如果平面图形形S上的上的 角保持不变，则刚体作平角保持不变，则刚体作平移。移。故由此可知故由此可知刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。

4、刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。 车轮的平面运动可以看车轮的平面运动可以看成是车轮成是车轮随同车厢随同车厢的平动和的平动和相对车厢相对车厢的转动的合成的转动的合成相对运动相对运动:车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax y ）的转动）的转动 绝对运动绝对运动:车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 牵连运动牵连运动:车厢（动系车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动相对静系的平动 动系上的原点称为动系上的原点称为基点基点刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A的平动的平动绕基点绕基点A的转动的转动刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解

5、为随基点的平动分解为随基点的平动和绕基点的转动和绕基点的转动刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述刚体的平面运动刚体的平面运动可分解为随同基可分解为随同基点的平移和相对点的平移和相对基点的转动。基点的转动。曲柄连杆机构曲柄连杆机构刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。以以A为基点为基点: 随基点随基点A平动到平动到AB后后, 绕基点转绕基点转 角到角到AB以以B为基点为基点: 随基点随基点B平动到平动到AB后后, 绕基点转绕基点转 角到角到AB12 , limlim212010ttttAB AB AB21刚

6、体平面运动的概述刚体平面运动的概述刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解特别强调特别强调1. 刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转 动时，动时，基点的选择是任意的基点的选择是任意的。l平移的轨迹、各点的平移的轨迹、各点的速度速度和和加速度加速度都与基点的位置有关。都与基点的位置有关。l转动的转动的角速度角速度和和角加速度角加速度都与基点的位置无关。都与基点的位置无关。注意上面二条的含义是指注意上面二条的含义是指:2. 刚体的平面运动分解成平动和转动时，其平动部分与基点的刚体的平面运动分解成平动和转动时，其平动部分与基点的 选择有

7、关；而选择有关；而转动部分与基点的选择无关转动部分与基点的选择无关。yxOS平面运动的速度分析平面运动的速度分析yxvBAvAvABA设在平面运动刚体上取点设在平面运动刚体上取点A为基点，已知其速度为为基点，已知其速度为 vA ，平面图形，平面图形S也即也即平面运动刚体的角速度为平面运动刚体的角速度为 ，分析图形上任一点，分析图形上任一点B 的的速度速度。 未知。未知。绕基点绕基点 A的圆周运动。的圆周运动。vr= vBA= AB 随基点随基点A的平动，的平动， ve = vA 。B点点 。固连于地面。固连于地面。以以A点为原点的平移系点为原点的平移系 Axy。vA基点法基点法:平面图形上任一

8、点的速度等于基点的速度与该点平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和随图形绕基点转动的速度的矢量和.yxOSyxvBAvAvABA平面运动的速度分析平面运动的速度分析vBva= vB， ve= vA， vr= vBAreavvv根据速度合成定理根据速度合成定理注意到注意到则有则有应用速度合成定理应用速度合成定理上式等号两侧上式等号两侧 分别向分别向AB连线上连线上投影投影，因为因为vBA垂直于垂直于AB，所以所以vBA在在AB上投影等于零。上投影等于零。 cos cosBAvv则有则有SBvAvAvBAvB平面运动的速度分析平面运动的速度分析例例1 已知：曲柄连

9、杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l取柄取柄OA以匀以匀 转转动。动。 求：当求：当 =45时时, 滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速度杆的角速度根据速度投影定理根据速度投影定理cosBAvv )(245cos/ cos/llvvAB不能求出不能求出AB速度投影法速度投影法解：解：机构中机构中,OA作定轴转动作定轴转动,AB作平面运作平面运 动动,滑块滑块B作平动作平动。 基点法基点法 研究研究 AB，以，以 A为基点为基点lllvvlvvABABAAB/tg)(2cos/,BAABvvv做点速度平行四边形做点速度平行四边形24例例2 2 如图所示的行星轮系中，大齿轮如图所示的行星轮系中

10、，大齿轮固定，半径为固定，半径为r r1 1 ，行星齿轮行星齿轮沿轮沿轮只滚而不滑动，半径为只滚而不滑动，半径为r r2 2。系杆。系杆OAOA角速度角速度为。求：轮为。求：轮的角速度的角速度及其上及其上B B，C C 两点的速度。两点的速度。O12DAAOvvrr20DADAvvv、21222rrvvvOBAAB122BABAOvvvrrr大小方向？、212rrvvvOCAAC4CACAvvv、解解: 1、轮、轮作平面运动作平面运动 基点：基点：A A1221DAAOvvrDArr例例3 椭圆规尺的椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向运动，如图所示，轴的负向运动，如图所示，AB=

11、l。求：。求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。解：解： AB作平面运动，以作平面运动，以 A为基点为基点sinABAvvsinlvlvABAAB2?BABAAvvvv、大小 ？方向cotABvv 例例如图已知轮心以如图已知轮心以vO匀速直线运动，且纯滚动。匀速直线运动，且纯滚动。杆的杆的DE长为长为2R。试求在这瞬时杆试求在这瞬时杆DE的角速度。的角速度。ABCDEO30 xDvOOER602R解：先求先求B点的速度。点的速度。OBvvvvBOO222OOOBOvRvRRv以以O点为基点分析点为基点分析B 点的速度，有点的速度，有BOOBvvvABCDEO30 xDvOO

12、ERvBOvO45vB2R 考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有动，故有RvOO1COMxyrxO另外，又以另外，又以B作为基点分析作为基点分析D 点的速度，有点的速度，有DBBDvvv也可以用投影法，有也可以用投影法，有15sin60sinBDvvABCDEO30 xDvOOER45vBOvOvBvDBvB4560vD152R)4560sin()60180sin(DBvv60sin15sinBDvv75cos30cosBDvvRvDDE2是否存在速度为零的点？是否存在速度为零的点？l 基点法基点法速度投影定理速度投影定理BAABvvvABA

13、ABBvvSAvAvBAvBvA优点：既能求速度，也能求优点：既能求速度，也能求 。 缺点缺点: 计算比较繁琐。计算比较繁琐。优点：计算简便，快捷。优点：计算简便，快捷。缺点缺点: : 无法求出图形的角速度无法求出图形的角速度 。B求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法SAAv0 只要只要 ，每一瞬时平面图形每一瞬时平面图形上都上都一个速度为零的点。一个速度为零的点。AvMAvLL证明证明: :MAAMvvvLL 选选A为基点，则为基点，则 上任一点上任一点M的速度的速度MAAMvvvAMvA因此，在因此，在AL上存在一点上存在

14、一点P ，其速度为零。，其速度为零。MSAAvAvMAvMLP 定理定理 vAPA0APvvAP求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法一、定义一、定义S 某一瞬时平面图形上速度等于零的点称为图形在某一瞬时平面图形上速度等于零的点称为图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心速度瞬心 （instantaneous center of velocity)。（2 2）唯一性）唯一性( (反证法）反证法）1PP 定义定义 PPv1011PPPvv求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法S方向：方向： BPvBP 选取速度瞬心选取速度瞬心P为基点为基点B

15、BvAC 由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。BPPBvvv大小：大小： BP，指向与，指向与 转向相一致转向相一致速度瞬心法速度瞬心法AvCvBPv求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法SP过速度瞬心过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布有何的任一直线上各点的速度分布有何？就就而言而言，平面图形的运动可视为，平面图形的运动可视为。（。（P160图图6-4）求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法S1. 已知平面图形上一点已知平面

16、图形上一点A的速度的速度 和图形角速度和图形角速度 。 AvAvBvPABSAAvP 2. 已知平面图形上任意两点已知平面图形上任意两点A、B 的速度方向的速度方向。 Av求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法二二 平面图形上瞬心的确定平面图形上瞬心的确定S 3. 已知平面图形沿固定面纯滚动已知平面图形沿固定面纯滚动 平面图形与固定面的接触点平面图形与固定面的接触点。 P轮缘上各点相继与固定面接触成为不同瞬时的速度瞬心轮缘上各点相继与固定面接触成为不同瞬时的速度瞬心求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法SAAvBvBPSAAvBvB SAAvBBv0图形作瞬时平移图

17、形作瞬时平移P 瞬心外分瞬心外分AB连线连线 瞬心内分瞬心内分AB连线连线求刚体平面运动速度的瞬心法求刚体平面运动速度的瞬心法OOv例例1 沿直线沿直线作纯滚动的车轮作纯滚动的车轮已知已知: 车轮半径为车轮半径为R， 轮心轮心O点的速点的速度为度为 。求求: 轮缘上点轮缘上点B、C、D的的速度。速度。Ov解：解：车轮作平面运动。车轮作平面运动。 )(P0Av车轮的角速度为车轮的角速度为RvOBvDvCv,2OBvv ,2OCvv （1 1）计算简便计算简便ODvv2ABCD（2 2）速度分布直观速度分布直观瞬心法瞬心法P找出下列平面运动刚体（找出下列平面运动刚体（ABAB）的速度瞬心。）的速度

18、瞬心。BAO（2 2）BAO1O2（1 1） 练习题平面运动的速度分析平面运动的速度分析BAOvA（4 4）BAOvO（3 3）平面运动的速度分析平面运动的速度分析找出下列平面运动刚体找出下列平面运动刚体ABAB的速度瞬心。的速度瞬心。 练习题ABOrvAAv已知已知: 曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转动。转动。 ， 。 rAB3rOA 求求: 当当 =60，90 时，滑块时，滑块B的速度及连杆的速度及连杆AB的角速度。的角速度。BvP解：解：，P为为瞬心瞬心。 ABAPAPvAAB333 rrABBBPvr332ABABOBv（2）当）当 =90时，滑块时，滑块B的速的速度及连杆度及连杆

19、AB的角速度为多少？的角速度为多少？Av该瞬时，连杆该瞬时，连杆AB的的在无穷远处，在无穷远处， 。 0AB该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作平移时的一样平移时的一样图形在该瞬时的运动称为图形在该瞬时的运动称为瞬时平移瞬时平移。MMv 瞬时性：瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有 加速度。加速度。速度瞬心的特点速度瞬心的特点平面运动的速度分析平面运动的速度分析 唯一性唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心；某一瞬时只有一个速度瞬心； 瞬时转动特性：瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕平面图形在

20、某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。注意瞬时平移与平移的区别：注意瞬时平移与平移的区别：瞬时平移各点的速度相同，瞬时平移各点的速度相同， 但是加速度不同。但是加速度不同。例矿石轧碎机的活动夹板AB长600mm ，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。解: 1、杆DE作平面运动，瞬心为 C1 。srad2968. 011ECOEECvEGEsm066. 11GCvGEGmm359115s

21、in01OGGC800mm500mmsin15929.4mmOG 113369mmECOCOE600mm,100mm,10rad s,500mm:ABABOEBGGD已知：。求。2、杆BG作平面运动，瞬心 为C。GBGvGCcos60BBGGGBCvBCvGCvsrad888. 060cosABvABvGBAB取A为基点，B为动点，将平动坐标系固结于A点，则B点的相对运动为圆周运动，牵连运动为平动nBAtBABArAeBaaaaa;aa;aa 由由牵连运动平动牵连运动平动时加速度合成定理时加速度合成定理reaaaanBAtBAABaaaa基点法基点法 (加速度合成法加速度合成法) 求平面图形内

22、各点的加速度求平面图形内各点的加速度已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , （某一瞬时）。求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。Aa其中：，方向AB，指向与 一致；，方向沿AB，指向A点。 ABatBA2ABanBA即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度。这种求解加速度的方法称为的方法称为基点法基点法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。nBAtBAABaaaa求平面图形内各点的

23、加速度求平面图形内各点的加速度大小 ？ 2 方向 ？ 故应先求出 nPOtPOOPaaaaRvO/ （）解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，RadtdvRdtdOO1（） 例例1 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度及加速度 ,求车轮与轨道接触点P的加速度OvOa分析 由此看出，由此看出，速度瞬心速度瞬心P的加速度并不等于零的加速度并不等于零，即它不是加速度，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加的加速度指向轮心速度指向轮心RvRvRRa aRaOOnPOOPO222)(,nPOPaa （ 与 等值反向）

24、 即OatPOa)(/2RvaOPnPOtPOOPaaaa以O为基点，有做出加速度矢量图做出加速度矢量图 例例 曲柄滑块机构，曲柄滑块机构，OAr，ABl，曲柄以匀角速度曲柄以匀角速度0绕绕O轴转动。求：图示瞬时，滑块轴转动。求：图示瞬时，滑块B的加速度的加速度aB和连杆和连杆AB的角加的角加速度速度 AB 。90o30oOBA90o30oOBA3tan3000lrlvABAB解： 应用速度分析的多种方法可求得连杆应用速度分析的多种方法可求得连杆AB 的角速度的角速度AB ，此处视为已知。此处视为已知。连杆连杆AB作平面运动。作平面运动。1. 速度分析速度分析90o30oOBA2 加速度分析加

25、速度分析A点的加速度点的加速度:20raA选点选点A为基点，则滑块为基点，则滑块B的加速度的加速度其中，其中，, 2nRaaAA, tABBAABa连杆的角加速度连杆的角加速度 AB 尚属未知。暂时假尚属未知。暂时假定定 AB 沿逆钟向，故沿逆钟向，故 如图所示。如图所示。tBAantBABAABaaaa2nABBAABa各加速度如图所示。各加速度如图所示。 滑块滑块B 的加速度的加速度aB的方向的方向为水平并假定向左，大小待求。为水平并假定向左，大小待求。90o30oOBA30AB2. 加速度分析加速度分析ntBABAABaaaa其中，其中，, 2nRaaAA, tABBAABa2nABBA

26、ABa分别沿分别沿BA和和AB的方向投影上式，得的方向投影上式，得, 30cosnBABaat30sinBAABaaa由此求得滑块由此求得滑块B的加速度的加速度连杆连杆AB的角加速度的角加速度20273230coslaanABB20t)27333(laBAAB202738（逆时针）（逆时针） 例例 如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀以匀角速度角速度绕绕O轴转动，轴转动，OD=AD=BD=l，求当求当 时，规时，规尺尺AB的角加速度和的角加速度和A点的加速度。点的加速度。 60yOBAxDyOBAxD 曲柄曲柄OD 绕绕O轴转动，规尺轴转动，规尺AB作平面运

27、动。作平面运动。AB上的上的 D点加速度点加速度 ，laD2ntADADDAaaaa设规尺设规尺 AB 的角速度为的角速度为AB ，可由基点法或瞬心法求得，可由基点法或瞬心法求得AB解：其中其中 的大小的大小 ， 方向沿方向沿AB 。 atAD 大小未知，垂直于大小未知，垂直于AD，其方向暂设，其方向暂设如图。因为如图。因为A点作直线运动，可设点作直线运动，可设aA的方向如的方向如图所示。图所示。ADaABAD2nnADa取取AB上的上的D点为基点，点为基点，A点的加速度点的加速度nADatADalADaABAD22n则则yOBAxDnADatADa将上式在将上式在y 轴上投影，得轴上投影，得由上式解得由上式解得yxn)2cos(cosADDAaaasincos sin0ntADADDaaalllaaaADDA222n60cos6