第三章三大守恒定律

1、第三章三大守恒定律陈 丽 娟理学院Tel：: ljchen一.冲量 质点的动量定理外力作用的时间累积效果vvd (mv )F =对一质点而言：dtFdt = d (mv)(1)t2òFdt = mv2 - mv1(2)两边：t1§1冲量 质点和质点系的动量定理tò=2其中令IFdt称为力的冲量.t1:牛顿秒说明： 1)2)矢量，与力大小、方向有关；与时间间隔有关。I = mv2 - mv1òt2 Fdt = mv - mvt121令 P = mv称为质点的动量，则:动量定理：在一段时间内质点动量的增量，等于该时间内质点所受合外力的冲量。tò2F

2、dtp - ptF =平均冲力：21,1t2 - t1t2 - t1I = P2 - P1结论：物体动量变化一定的情况用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。海绵垫子可以延长运动员下落时与其接触的时间，这样就减小了地面对人的冲击力。应用中常用分量式：F = Fxi + Fyj + Fz k设一质点受冲力® t2时间 t1状态由：v1 = v1xiv2= v2 xi+ v1y+ v2 yj + v1z kj + v2 zkt2òI =Fdt = mv2 - mv1t1t2- mv1xI1t2òI y =Fydt = mv2 y- mv1yt1t2ò

3、Iz =Fzdt = mv2 z- mv1zt1说明：哪一方向的冲量只改变哪一方向的动量。例：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：对地平均冲力？解：篮球到达地面的速率v =2gh =2 ´9.8 ´ 2 = 6.3m / sF - mg = 2mvDtF = mg + 2mvDt= 0.58 ´ 9.8 + 2 ´ 0.58 ´ 6.3 = 3.86 ´102 N0.019的垒球以v1 = 20m/s例：质量 m=0.3kg的速度沿水平方向飞来，被棒打击后，又以v2 =3

4、0m/s的速度沿q = 30°仰角飞出，若球与棒的接触时间约为0.01s，求棒击打垒球的平均冲力。y解：以垒球为研究对象受到棒对球的冲力 F和重力W（可忽略）vv2qxvOv1rFDtrmv2v1 = 20i (m/s)ajqxrmv1v = 30(-cos300i + sin 300 j )(m/s)2F = mv2 - mv1= -1380i + 450 j (N)Dttana = Fya » 1620Fx质量m = 1kg的质点从O点开始沿半径R = 2m的例圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动= 2 s这段方程为s = 0.5p t2 。试求从t2t =2

5、 s到1时间内质点所受合外力的冲量。vmv112= s = 2q解：s = 1211R= s22s= 1 22 = 2Oq= 222Rv = ds = tmvv1dt2 m×s-1v = 2 m×s-1v =12mvv1kg ×m×s-1kg ×m×s-1mv =2q1vmv2mv2 = 2D(mv)I = mvvv2 - mvv1 = D(m )vDmv =(v )+ (mv)22+ 42 =6 kg ×m×s-1=22vm126 = 7.69 kg ×m ×s-1=Itanq = mv22q

6、 = 54°44¢=mv12二.F1F质点系的动量定理m1F13F31m3F12F23受外力：FFF12321m2受内力：F12F23对质点“1”F21F32F31FF13F232Fvvvdv3(m v ) = F + F dt11112+ F13vvvdv(m v ) = F dt222+ F21 + F23对质点“2”vvvdv对质点“3”(m v ) = F dt333+ F32 + F31vvvdvF1Fm(m v ) = F dt111+ F 2+ F131FF1312vvvdv(m v ) = F dt222+ F21+ F32+ F23+ F3121FFmvv

7、v2331dv2F32(m3v3 ) = F3Fmdt23F以上三式相加：3vvvdvvv(m v + m v + m v ) = F + F + F dt112233123设有N个质点，则：d (m v + m v +m v ) = F + F + F1 122nn12ndtvvvP = m1v1 + m2v2+Lmnvn令:vvvdP =F1 + F2+LFndt(F1 + F2t2+Fn )dt = dPP2òò两边：(F + F +F )dt =dP12ntP11即:nå Ii = P2 - P1i=1质点系动量定理：系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的

8、增量。注意：只有质点系的外力才能改变质点系的总动量。nå Ii = P2 - P1i=1注意Ø 区分外力和内力Ø 内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量.例一装沙车以速率v= 3m/s从沙斗下通过，每秒钟落入车厢的沙为Dm = 500kg，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力？(设车与轨道的摩擦不计)解设t时刻已落入车厢沙子的质量与沙车的质量之和为m，dt时间内即将落入的沙子质量为dm。以m和dm为研究系统mv + dm × 0 = mvmv + dm ×v = (m + dm)vdp = (m + dm)v - mv

9、= dm ×vt时刻水平总动量为t + dt时刻的动量为动量的增量为根据动量定理Fdt = dp= dm ×vF = dm v= 500´ 3 N= 1.5´103 NdtdmvmFx一.动量守恒定律å F外故有= 0证明： dvvv(m v + m v +L+ m v ) = 0dt1122nnnåmivi = c(å F外 = 0)i=1表述：若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量保持不变。§2动量守恒定律思考1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；2. 合外力沿某一方向为零；3. 只适用于惯性系；4. 比

10、牛顿定律更普遍的最基本的定律。å pia= const .i例：水平光滑的铁轨上有一小车，车长L，质量为M，车端站有一量为m。人和车原来都静止不动，现设该人从一端走到另一端，问人和车各移动的距离为多少？已知：L, M , m, m = 0求：X、xvm人地Mv车地LXO解：1）人、车为研究对象2） 分析力：水平方向受力为零3） 以地球为参照系建立坐标OXxXv人地v车地Lm4）依动量守恒列方程MXO+ Mv= 0mv(1)人地车地= v人地 - v车地v人车(2)x= m + M vXv人地人车M整个过程中，人在车上行走了距离L。故要找到L与人的速度的关系。= m + M vv人地人

11、车M设人从一端走到另一端需用时间t，两边。dt = M + mtvtvòòdt人车人地M00 L = M + m xML = x + Xm X = L - x =LM + m x =MLM + m二.火箭飞行原理我国长征系列火箭升空例 火箭是一种自带空飞行器，它依靠和助燃剂的太燃烧喷出的气体所产生的反冲推力向前推进。设不计地球引力和空气阻力。求火箭所能达到的最大速度。解设各量如图。图中dm > 0，且v、v + dv两个速度均为相对于地面参考系的速度。u称为火箭的喷气速度，气体相对于火箭的速度。(M - dm)(v + dv) + dm(v + dv - u) = M

12、v,dM = -dmMdv = -udM ,v = v + u ln Mi ,燃烧完毕后火箭的质量为 M若全部iMfv = v + uln mi则火箭最后能够达到的速度为fimfv + dvvM - dmM(dm)umimv = v ln为质量比ifrmmff多级火箭：设各级火箭的质量比分别为N1，N2，N3 ，v1 = vr ln N1v2 = v1 + vr ln N2v3 = v2 + vr ln N3+ ln N3 ) = vr ln(N1 × N2 × N3 )一级火箭速率：火箭速率： 三级火箭速率：v3 = vr (ln N1 + ln N2v = 2.5

13、80;103m ×s-1设，N = N = N = 3r1233-13-1v3 = 2.5´10 m×s´ 3´ ln3 = 8.2 ´10 m× s得& 应用动量定理和动量守恒定律解题步骤(1) 选取研究对象。(2) 分析受力。是否满足合外力为零，或是否沿某一方向合外力投影的代数和为零，或是否合外力远小于内力？若满足这类条件，就应用动量守恒定律求解，否则就应用动量定理求解。(3) 确定过程。需要考虑一定的时间间隔或一个过程。(4) 列方程求解。要选取适当的坐标系，一般要列出动量定理或动量守恒定律方程的分量式。b一.

14、 功（力的空间积累）jidriF1. 元功dAi = Fi dri cosfiia元功dAi = Fi × dri2. 有限路径上变力对物体做功b= ò dA= ò Fi × driaAabi§4功 动能和动能定理直角坐标系分量式：F = F i + F j + F kxyzdr = dxi + dyj + dzk(F dx + F dy + F dz )bòA =xyza( L)自然坐标系分量式：F = Fnn + Fttbds = dstFt dsbòòA =F × ds =aabA = ò

15、a( L) F × dr例:已知F = F0 ( xi + yj )N ,质点在水平面内沿半径为R的圆周运动,求质点由O ® A(R, R)的过程中, F所作的功.y解：dA = F0xdx + F0 ydy· ARRòòA =+1FxdxF0 ydy000ox1=F R2 +F R20022= F R203. 合力的功F = F1 + F2其合力的功： A = òL F × dr+L+ Fn= òL (F1 + F2+ Fn ) × dr= òL F1 × dr +òL F

16、2 × dr+ òL Fn× dr= A1 + A2 + An4.功率1）平均功率（P ）DA在 Dt 时间内力作功 DAP = Dt2）瞬时功率（P ）FvP = lim DA = dAqDtdtDt®0vF × drdAQdA = F × dr=Pdtdt P = F × v = Fv cosq例:设作用在质量为2kg的物体上的合力F = 6t N。如果物体由静止出发沿直线运动，在头2 s内这力做了多少功？a = F = 6t = 3ta = dv解：Qmò2dtdv = adt = 3t dttv = 3 t

17、 2vò两边：v =d3tdt200dx = vdt = 3 t 2dtv = dx2= 36 Jdt39422òòA =F × dx =6t ×=24t dtt200例：质量为m的物体从静止开始，在竖直平面内沿着四分之一的圆周从A滑到B（如图）。在B处 AO速度的大小是v，已知圆的半径为R，用作功定义求物体从A到B摩擦力所作的功。解：以物体为研究对象在物体由A到B的过程中， 任取一位置进行受力分析根据牛顿第二定律沿切向有RvqdqN= m dvfmg sinqmg cosq - f = matdtdsmg cosqmgf = mg cosq

18、- m dvdt摩擦力f 与元位移ds沿同一直线方向相反f是变力bbòòA =F × dr =Ft ds物体经过位移元ds摩擦力所作元功aadA = - fds = -(mg cosq - m dv )dsdt由A到B过程摩擦力所作的功A = ò dA = ò(-mg cosq )ds + ò(m dv)dsqdtdqp2Nfmg sinqvòò-mg cosq Rdq +=mvdvdsmg cosqmg00= -mgR + 1 mv22二.动能和动能定理bdvA = ò m dt × drad

19、v × dr = dr × dv = v × dv = 1 dv2dtA =dtmdv2 =2b111ò 2mv2 -mv2ba22a动能定理:A = Ekb - Eka在一段位移中，合外力对质点作的功等于质点动能的增量。bA = òa( L) F × dr对质点系例：，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。 迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能达到 1019 eV，是其静止能量的1010倍。质点系的动能定理：对质点系作的总功等于质点系总动能的增量。A外 + A内 = Ekb - Eka例：已知m =1kg，在

20、F作用下沿x轴运动，x = 3t - 4t 2在0 4秒内，求F冲量大小及F对质点作功。解：要求冲量得先求力。由于+ t3(SI ).v = 3 -8t + 3t2 m/s，a = -8 + 6tm/s2F = -8 + 6t则(N)44òòI =Fdt =(-8 + 6t)dt =16(N.S)00由于v4 = 19m/s, v0= 3m/s,则m=(v - v2 ) = 1762A也可根据定义求(J)40244A = òòòFdx =(-8 + 6t)(3 - 8t + 3t )dt=2Fvdt176(J)L00题型 已知：F = F (t

21、), r = r(t), 应用动能定理A = 1 mv2 - 1 mv22122求从t1到t2力F作的功。例：质量为m = 10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，t = 0时，速度为零。设物体在F = 4 + 2t 2 (N )的作用下运动，经历了3s，求力F对质点作的功。F = ma解：设物体在3s末的速度为v¢,a = dv= F= 4 + 2t2dtm104 + 2t 2dv =分离变量dtA = 1 mv¢2=´10´ 32- 1 mv22- 0 = 45(J )1024 +22t¢v3òò1dv =()dt21000得

22、：v¢ = 3(m / s)例：一个质量15g的，以200米/秒的速度射入一固定的木板内f = 求-如阻力与射入木板的深度成正比，即射入木板的深度。b = 5.0 ´103 N / cm解1）：以m为研究对象，建立坐标系ox设射入深度为 llA = ò Fx dx = ò -b xdxvfm0XO0lx= - 1 bl 2l2- 1 bl212=0 -由动能定理： A = E- E20mvk 2k1212= 02Q Emv ;Emv2k10= 3.46´10-2 mk 2l =ob例一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端 , 绳的

23、上端固定在天花板上 .起初把绳子放在与竖直线成 30° 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 .竖直线成10° 角时小球的速率 .试求绳与d A = Ft ×d s= -mgl sinq dq解qA = -mgl òq0sinq dq = mgl(cosq - cosq0 )A = 1 mv2 -m1由动能定理2v022v =2gl(cosq - cosq0 )= 1.53m×s-1q0qdqlFTvd sGq& 应用动能定理求解力学问题的一般步骤(1) 确定研究对象；质点或质点系。(2) 分析研究对象受力情况和各力的作功情况；质点系必须区

24、分外力和内力。选定研究过程；要确定初、末状态，及其对应的动能。(4) 列方程；根据动能定理列出方程，并列出必要的辅助性方程。(5) 解方程，求出结果。并对结果进行必要的讨论。四.两 体 碰 撞（对心碰撞）两个或两个以上的物体在运动中发生极其短暂的相互作用，使物体的运动状态发生显著变化，这一过程称为碰撞。+ m2 v20= m1v1 + m2 v2m1v10动量守恒完全弹性碰撞非弹性碰撞完全非弹性碰撞v10v20v1v2m1m2m1m2mm11m2Ox碰撞前vv碰撞v碰撞v后完全弹性碰撞（五个小球质量全同）1完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的动能没有损失。12111+=m v+2222m vm vm

25、 v1102201122222+ m2 v20= m1v1 + m2 v2m1v10= (m1 - m2 )v10 + 2m2 v20= (m2 - m1 )v20 + 2m1v10v;v12m + mm + m1212(1)如果m1= m2 ，则v1 = v20 ，v2 = v10，即两物体在碰撞时速度发生了交换。(2) 如果v20 =0 , 且 m2 >> m1, 则v1 = - v10, v2 = 0v10v20v1v2m1m2m1m2m1m2碰撞前碰撞碰撞后2完全非弹性碰撞：碰撞后系统的动能有损失，且碰撞后碰撞物体结一体，以同一速度运动。+ m2 v20v = m1v10由

26、动量守恒定律m1 + m2完全非弹性碰撞中动能的损失1212m v) - 1 (mDE = (m v+ m22)v2110220122- v)2m m (v= 1210202(m1 + m2 )v10v20vm1m2m1m2m1m2碰撞前碰撞碰撞后+ m2 v20= m1v1+ m2 v2m1v103非弹性碰撞：牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物体的分离速度 v2-v1与碰撞前两物体的接近速度 v10-v20成正比，比值由两物体的材料性质决定。v2 -v1e =e 为恢复系数-v20v10e = 0，则v2 = v1，为完全非弹性碰撞。e =1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞

27、。一般非弹性碰撞：0 < e < 1v10v20v1v2m1m2m1m2m1m2碰撞前碰撞碰撞后一.作用力与反作用力的功vvdr1f12dr2 m2f21dA = f× dr + f× drm1vr21121212v= - f21f12dA =r1vr2f21 × dr21ObA = òaf21 × dr21“一对相互作用和反作用力” 所做的功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所作的功§5 势能 功能原理 机械能守恒(2)(2)= ò f2 ×d r21 (= ò

28、f1 ×d r12 )A12对(1)(1)两质点间一对力所做的功等于其中一个质点所受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。说明：1. A对 与参考系选取无关。2. 以一个质点静止，以该质点所在位置为坐标原点建立坐标系，计算另一质点在此坐标系中运动时所受力所做的功即为一对力所做功之和。重力做功3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。例如：Nm12v2v12Nv1M光滑r¹ 0¹ 0AN 不垂直于v1NrN ¢A不垂直于v 2N ¢Q N rv, 即 N d r12v12A对 = AN + AN¢ =

29、 0二、保守力与非保守力1.重力的功与路径无关hbò=-mgdz = -mg(hA- h ) = mgh - mghabbaabha初末zahbhab·oyx2.万有引力的功与路径无关= G mMfr 2dA = f × dr = f cosa dr= f cos(180 -q ) drcosq= - fdr= - fdr =G mM drr2-G mM drrbòA =2rMra= -GmM ( 1 - 1 )= (-G mM ) - (-G mM )rarbrarb初末q drm · a draf·b·rarb3.弹簧弹

30、性力作的功与路径无关小球由a点到b点弹性力作的功v×v- kxdx= - 1 k(12xxòò=bb-AF dx2a2kxabb22xaxa如果力作功仅与运动物体的始末位置有关而与所经路径无关，则称之为保守力。初末重力、弹簧弹性力、万有引力，静电场力、力是保守力abxl0o4.摩擦力的功f = mmg摩擦力所作元功dA = -mmgds与路径有关沿路径L1运动，摩擦力所作的功AL=- mmgds = -mmgS1ò1L作功与路径有关的力称为非保守力1沿路径L2运动，摩擦力所作的功AL= ò- m摩擦力是非保守力及磁力、22力L2Lm1bfS1a

31、S2fmL22保守力和非保守力作功与路径无关或沿闭合路径作功等于零。这c类力称为保守力。设 f 为保守力，则：a ··bòacbf × ds = òadb f × dsd对于闭合路径acbd,则有ò f × ds = òacb f × ds + òbda f × ds = òacb f × ds - òadbf × ds = 0òf × ds = 0f为保守力充要条件保守力：重力、万有引力、静电力、弹性力非保守力：

32、摩擦力、磁场力三.势能定义一个只依赖于位置矢量 r的函数来描述保守力的功势能零点oEp = U (r )º ò f保 × dr势能或位能EPbb= U (ra ) -U (rb )Aab保守力作功注意1)只有存在保守力，才有势能的概念；2)势能决定于物体间的相对位置；3)选定势能零点。质点在保守力作用下，保守力所作的功等于势能增量的负值。Aab = -(Epb - Epa )例：重力势能，以地面为参考点a mg0参òò=F × dr =-mgdy = mghEPaahb例：弹性势能，以弹簧的平衡位置为参考点参ò=F 

33、5; drEPaFa-kxdx = 1 kx20ò=Oxaa2xa例：引力势能，选¥远为参考点Fv F F FFaraM地参F × dr =¥MmMm-Gdr = -Gòò=EPa2rraara四.由势能函数求保守力dU = U (r + dr ) -U (r )dU = -dA = - f保 × dr( f保 ×g )dl = -dU= - dU×gf直角坐标系中保dl= - ¶U ，f= - ¶U , f= - ¶U ,f保x¶x保y¶y保z¶

34、;z= -ÑU (r ) = - ¶U i - ¶Uj - ¶U k .f矢量：¶x¶y¶z保§5 功能原理 机械能守恒 一.功能原理A外 + A内 = EKb - EKa内力：保守内力和非保守内力+ A保内 + A非保内= EKb- EKaA外A保EPa - EPb+ A非保内= (EKb + EPb ) -(EKa+ EPa )A外+ A非保内= (EKb + EPb ) -(EKa+ EPa )A外+ Ep = E 称为系统的机械能令 Ek质点系的功能原理：外力和系统非保守内力做功的总和等于质点系的机械能的增

35、量。A外 + A非保内 = Eb - Ea初机械能末机械能例：一条均匀链条，质量m，总长L，桌面与链条间磨擦系数为mk，初下垂长度为 l，开始静止。求: (1) 链条全部离开桌面时，摩擦力、重力作功；(2) 链条离开桌面时的速率。（桌子足够高）NTL - xfrL - lYTm1 gLlxm2 gX(a)开始(b) 任意时刻(c)刚离开桌面f= æ L - x ö m mg解：（1）ç÷krèLø长度由lL摩擦力做功：m mgLLæ L - x ö÷ dx = - k(L - l )Ar = -ò

36、; frdx = -ò mkmg ç2èøL2Lll重力的功：(l = m / L)- l 2 )= mg (L2 - l 2 )lgxdx = 1 lg(L2Lòl=AW2L2（2）解法一利用动能定理A = - mk mg (L - l )2r2L= mg (L2 - l 2 )AW2LA+ A = 1 mv2 - 0Wr2g é(L2 - l 2 ) - m(L - l )2 ùv =L ëûk解法二利用功能原理以链条和地球为研究对象：内力：ì重力：保守力外力：无íî摩擦

37、力：非保守力以桌面为重力势能零点E = -llg l = - mg l 2初机械能：122LE = -mg L + 1 mv2末机械能：222Ar = E2 - E1功能原理：E = -llg l = - mg l 2初机械能：122LE = -mg L + 1 mv2末机械能：222= E2 - E1Ar功能原理：g é(L2- l 2 ) - m (L - l )2 ùv =L ëûk二机械能守恒若： A外0A非保内0机械能守恒机械能守恒定律：如果质点系统内只有保守内力作功，外力及和非保守内力都不作功， 则系统的动能、势能可以转化，但系统的总机械能保

38、持不变。Eb = EaA外 + A非保内 = Eb - Ea注意功能原理及机械能守恒三要点：（1）明确所研究的系统；（2）找出始末两状态；（3）注意势能零点的选取。& 应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤(1) 选取研究对象。(2) 分析受力和守恒条件。是否满足机械能守恒条件，如不满足，则应用功能原理求解。(3) 明确过程的始、末状态。需要选定势能的零势能位置。(4) 列方程。(5) 解方程，求出结果。(6) 讨论解的物理意义。例： 一轻弹簧，劲度系数为 k ，原长至 O¢点，加m 后至 O点平衡，再给 m 一个初速v，问从开始最大伸长量 x为多少？O解：弹簧、质点和地球O&

39、#162; 为弹性和重力势能零点O¢(a)x设 o¢o = x ，则0OOO0mmvx(b)初机械能：(c)v = 0mE = 1 mv2 +12(d )状态2kx - mgx2状态11002初机械能： E = 1 mv21+kx - mgx2100212=k(x +- mg(x + x )2末机械能： Ex )2002E1 = E2kx0 = mg系统的机械能守恒，即mx = vk例计算第一、第二宇宙速度1. 第一宇宙速度已知：地球半径为R，质量为m0，质量为m。要使在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。解：设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。12v -

40、G m0m = 1 mv2- G m0m2m机械能守恒：1R + hR2mm0Rv2m m= m由万有引力定律和牛顿定律：G0(R + h)2R + h2Gm0 - Gm0解方程组，得：=v1R + hRQmg » G mm0Gm0= gRR2RR代入上式，得：=gR(2 -v)1R + hh << RgR = 7.9´103 m × s-1Qv »12. 第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1） 脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少等于零。（2） 脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。12v - G m0m = E+ E= 02m由机械能守恒定律：k¥p¥2R2Gm02v = 11.2´103 m × s-1=2gR =解得：v21R一.质点的角动量例如天文上行星太阳转，时间内扫过r ´