概率统计 1-2几何概率

1、二二 几何概率几何概率引例引例: 大转盘大转盘利用等可能性的概念成功地解决了古典概型的概率利用等可能性的概念成功地解决了古典概型的概率, 不不过古典概型要求试验的样本空间是个有限集过古典概型要求试验的样本空间是个有限集. 因此因此, 对对于结果无限而又有某种等可能性的场合一般可以通过几于结果无限而又有某种等可能性的场合一般可以通过几何方法来解决何方法来解决.结论结论: 几何量之比几何量之比. P A 绿格面积绿格面积圆面积圆面积.2圆心角圆心角周角周角A在这类问题中在这类问题中, 试验的可能结果是某区域试验的可能结果是某区域 中的一个点中的一个点,落在该区域任意位置都是等可能的落在该区域任意位

2、置都是等可能的. 落在某子区域落在某子区域A的的可能性与区域的测度可能性与区域的测度Measure（长度、面积、体积等）（长度、面积、体积等）成正比而与其位置及形状无关成正比而与其位置及形状无关.设设 是可度量的（区间有长度是可度量的（区间有长度, 平面情形具有面积平面情形具有面积, 空空可能性是相同的可能性是相同的. 事件事件 是是 的一个子区域的一个子区域, 并且并且 也也AA是可以度量的是可以度量的, 则事件则事件A发生的概率为发生的概率为:间情形具有体积）间情形具有体积）, 并进一步地假定每个样本点出现的并进一步地假定每个样本点出现的 m AP Am例例1 某码头只能停靠一只船某码头只

3、能停靠一只船, 现已知某日会有两只船现已知某日会有两只船解解 设甲船到达时刻为设甲船到达时刻为 停靠停靠4小时小时, 乙船乙船,0,24 ,x x情形情形: 乙船先到乙船先到, 甲船等待甲船等待, 则则 满足满足 , x y,6,xy xy情形情形: 甲船先到甲船先到, 乙船等待乙船等待, 则则 满足满足 , x y,4,xy yx0,24到达且到达时间是在到达且到达时间是在 中任一时刻中任一时刻, 已知一船需已知一船需要停要停4小时小时, 另一只需要停另一只需要停6小时小时, 求一船需等待的概率求一船需等待的概率.,0,24 ,y y到达时刻为到达时刻为 停靠停靠6小时小时. 相应的区域如图

4、所示相应的区域如图所示: 81624816246xy4xy Dxy所以所以 若以若以 表示某船等待另一船这表示某船等待另一船这 224576,m A一事件一事件, 则则 即为图中区域即为图中区域 的面积的面积, 容易得到容易得到: m AD 2211576201822m A214,从而从而, 事件事件 发生的概率为发生的概率为A 2140.3715.576P A 例例2 将一单位长度的小棍随机折成将一单位长度的小棍随机折成3段段.求能构成三角形的概率求能构成三角形的概率.解解: 如果设截成的三段长度分别为如果设截成的三段长度分别为x, y, z. 则涉及三维则涉及三维,计算麻烦计算麻烦 .设单

5、位长度的小棍左右端点坐标分别为设单位长度的小棍左右端点坐标分别为0, 1两截点坐标分别为两截点坐标分别为 x, y由对称性不妨设由对称性不妨设 01xy则三段长度分别为则三段长度分别为, , 1x yxy由三角形两边之和大于第三边得约束如下由三角形两边之和大于第三边得约束如下 1 1 1 xyxyxyyxyyxx 解得解得: 1 2121 2yyxx比较面积得比较面积得: 14P A xy1112（ , ）1212例例3 蒲丰投针问题蒲丰投针问题平面上画着一些等距的平行线平面上画着一些等距的平行线,间距为间距为a. 向此平面任意投向此平面任意投掷一长度为掷一长度为 的针的针. 试求此针与任一平

6、行线相交试求此针与任一平行线相交的概率的概率. l la解解: 以以x表示针的中点到最近的平行线的距离表示针的中点到最近的平行线的距离 表示针与平行线的交角表示针与平行线的交角 xO2a2lx,|0,02axx ,|0,0sin22laAxx 01sin d2212llP Aaa 以频率以频率 近似代替近似代替P得得nN 可算得可算得 2lNan2lnaN历史资料历史资料, a折算为折算为1 3.1415929180834080.833331901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.137382.56001.01860Morgan3.1596253250000

7、.81850WolfnN针线比年份实验者贝特朗奇论贝特朗奇论:在单位圆内随机取一条弦在单位圆内随机取一条弦, 问其长度超过该圆内接等边问其长度超过该圆内接等边三角形边长的概率是多少三角形边长的概率是多少?解法解法1 以此端点做一个等边三角形以此端点做一个等边三角形.显然显然, 只有穿过此三角形内的弦才符合要求只有穿过此三角形内的弦才符合要求. 而符合而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3.并且并且, 不论固定的那个端点在圆上的哪个不论固定的那个端点在圆上的哪个位置位置, 情况都是一样的情况都是一样的. 所以结果为所以结果为1/3.A由于弦交圆于两点由于弦交

8、圆于两点. 我们先固定弦的一个端点我们先固定弦的一个端点 . A解法解法2 由于弦长只和圆心到它的距离有关由于弦长只和圆心到它的距离有关. 所以固定圆内一条所以固定圆内一条半径半径. 当且仅当圆心到它的距离小于当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件才满足条件.并且并且, 不论固定的是哪条半径不论固定的是哪条半径, 情况都是一样的情况都是一样的. 所以所以结果为结果为1/2.OA弦被其中点唯一确定弦被其中点唯一确定. 当且仅当其中点在半径为当且仅当其中点在半径为1/2的圆的圆解法解法3 内时才满足条件内时才满足条件. 此小圆面积为大圆的此小圆面积为大圆的1/4. 所以结果所以结果为为1/4.

9、三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果, 所以所以我们称其为我们称其为paradox. 其实其实, 这些结果都是对的这些结果都是对的. 因为它们采用了不同的等可能性假定因为它们采用了不同的等可能性假定. 上均匀分布上均匀分布.解法一假定弦的端点在圆上均匀分布解法一假定弦的端点在圆上均匀分布.解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径解法三假定弦的中点在圆内均匀分布解法三假定弦的中点在圆内均匀分布.1.3 频率与概率频率与概率 设设 是随机试验是随机试验, 是样本空间是样本空间, 是事件是事件, 设在设在

10、N 次试次试验中验中, 事件事件 出现的次数为出现的次数为n 次次,则称则称n为频数为频数 .AEAnN称为事件称为事件 在在 次试验中出现的频率次试验中出现的频率, 记为记为 即即AN ,NfA定义定义: .NnfAN 历史上历史上, 有很多学者为了考察某些问题的概率而做了有很多学者为了考察某些问题的概率而做了试验者试验者试验次数试验次数正面出现次数正面出现次数频率频率蒲丰蒲丰404020480.5069K.皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊皮尔逊24000120120.5005大量的试验大量的试验, 以观察一些问题的实质以观察一些问题的实质. 例如在抛硬币试例如在抛硬币试

11、验中验中, 有这样三组数据有这样三组数据: 通过这一组数据可以看到通过这一组数据可以看到:当试验的次数越大当试验的次数越大, 则事件则事件N在在 次试验中出现的频率越接近某一个常数次试验中出现的频率越接近某一个常数, 它反映了它反映了事件在大量重复试验中出现的频率具有一种稳定性事件在大量重复试验中出现的频率具有一种稳定性. 由于事件发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的由于事件发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系关系, 加之频率又有稳定性加之频率又有稳定性, 故而可通过频率来定义故而可通过频率来定义概率概率. 这就是这就是:概率的统计定义概率的统计定义:实际应用中实际应用中, 往往就

12、简单地把频率当概率用往往就简单地把频率当概率用. N发生的频率随着发生的频率随着 的增大将稳定到某个常数的增大将稳定到某个常数, 就称该常就称该常( ).P A数为事件发生的概率数为事件发生的概率, 记为记为,AA对于任何一个事件对于任何一个事件 若事件若事件 在在 次重复试验中所次重复试验中所N例例1 在抛硬币试验中，以在抛硬币试验中，以 表示出现正面朝上这一事件表示出现正面朝上这一事件,A 1.2P A A则由上面的统计数据得到事件则由上面的统计数据得到事件 发生的概率为发生的概率为 例例2 为了设计某路口向左拐弯的汽车侯车道为了设计某路口向左拐弯的汽车侯车道. 在每天交在每天交1频率频率

13、601231420164等候天数等候天数总和总和6543210等候车辆数等候车辆数460166020601460360260160通最繁忙的时间（上午通最繁忙的时间（上午9时）在该路口观察候车数时）在该路口观察候车数, 共观共观察了察了60天天, 得数据如下得数据如下:试求某天上午试求某天上午9时在该路口至少有时在该路口至少有5辆汽车在等候左转弯辆汽车在等候左转弯解解 设事件设事件 表示表示“至少有至少有5辆汽车在等候左转弯辆汽车在等候左转弯”这这一一A 602110.05,6020fA故可近似地认为至少有故可近似地认为至少有5辆汽车在等候左转弯的概率为辆汽车在等候左转弯的概率为 0.05.P

14、 A 的概率的概率.事件事件, 在在60次观察中次观察中, 事件发生的频率事件发生的频率1.4 概率的公理化定义概率的公理化定义 概率的统计定义具有一定的应用价值概率的统计定义具有一定的应用价值, 但在理论上有但在理论上有严重的缺陷严重的缺陷, 也不利于一般概率问题的计算也不利于一般概率问题的计算. 古典概型古典概型和几何概型的计算公式虽然解决了这两种概型中事件的和几何概型的计算公式虽然解决了这两种概型中事件的概率的计算问题概率的计算问题, 但并不是普遍适用的但并不是普遍适用的. 下面我们引入下面我们引入概率的公理化定义概率的公理化定义, 并导出基本的概率计算公式并导出基本的概率计算公式.先来

15、看古典概率和几何概率的共性先来看古典概率和几何概率的共性: 2、规范性、规范性 1;P 若若 为两两互不相容事件为两两互不相容事件, 则则12,nA AA121.nniiP AAAP A 1、非负性、非负性 0P A 3、有限可加性、有限可加性对于任一随机事件对于任一随机事件, 赋予唯一一个实数赋予唯一一个实数 P A若若 满足以下三条公理：满足以下三条公理： P A设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为公理公理3 完全可加性完全可加性(可列可加性可列可加性)公理公理1 非负性：非负性： 0P A 公理公理2 规范性：规范性： 1P 12,nA AA是一列两两互不相容的随机事件是一列两两

16、互不相容的随机事件 11iiiiPAP A则称则称 为事件为事件A的概率的概率 P A 由定义由定义, 不难得到如下性质不难得到如下性质:性质性质1 0;P 证明证明: 在公理在公理3中取中取 则则iA 111iiiiiPPAP AP 所以所以20iP 又又0P 所以所以0P 性质性质2 设设 为互不相容事件组为互不相容事件组, 则有则有 12,nA AA121.nniiP AAAP A证明证明: 在公理在公理3中取中取 则则,1iAin 111nniiii niP APP A 111niiiiiiPAPAP A性质性质3 对立事件计算公式对立事件计算公式 ,1PAP A 证明证明: 互斥互斥

17、, 由性质由性质2,A A APPAAP AP 由公理由公理2得得: ,1PAP A 且且 P AP B P BAP BP A性质性质4 若若 则则AB证明证明:BABA由性质由性质2 P BP AP BA移项即得移项即得: P AP B P BAP BP A 0P BAP BP A由非负性由非负性即得即得:性质性质5 减法公式减法公式: P BAP BP AB证明证明:,BABAB ABB由性质由性质4 P BAP BABP BP AB注注: 此公式无任何条件限制此公式无任何条件限制. 设设 为任意两个事件为任意两个事件, 则则 ,A B性质性质6 加法公式加法公式 P ABP AP BP

18、AB现推导三个随机事件的加法公式现推导三个随机事件的加法公式 P ABC证明证明:ABAABABBAB由可加性和减法公式即得由可加性和减法公式即得.再用一次加法公式以及分配律得再用一次加法公式以及分配律得 将将 看作一个事件看作一个事件, 由加法公式得由加法公式得 BC P ABCP AP BCP ABC P ABCP AP BP CP BCP ABAC再用一次加法公式并注意到再用一次加法公式并注意到ABACABC整理即得整理即得 P ABCP AP BP CP BCP ABP ACP ABC由此可用数学归纳法证明一般由此可用数学归纳法证明一般加法公式加法公式: 1111nnnniiijijkiij nij k niPAP AP AAP AA A 1121nnP A AA 例例1、 设设 求求 0.5,0.7,0.8,P AP BP AB.P AB解解 由加法公式由加法公式 .P ABP AP BP AB得得0.4,P AB 又又: ,P ABP AP AB所以所以 0.1.P ABP AP AB例例2 从从1到到9九个数字中有放回地取出九个数字中有放回地取出 个数字个数字.求取出之数的乘积能被求取出之数的乘积能被10整除的概率整除的概率 2n n 解：乘积能被解：乘积能被10整除要求有