三、小结 思考题

1、三、小结三、小结 思考题思考题 一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数的求法举例二、高阶导数的求法举例2/20问题：问题：变速直线运动的加速度。变速直线运动的加速度。),(tfs 设设)()(tftv 则则瞬瞬时时速速度度为为.的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta1 1、实例、实例3/20.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数若若xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 问题：问题：变速直线运动的加速度。变速直线运动的加速度。)

2、,(tfs 设设)()(tftv 则则瞬瞬时时速速度度为为.的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta2 2、定义、定义记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 1 1、实例、实例二阶导数二阶导数4/20记记作作阶阶导导数数的的阶阶导导数数的的导导数数称称为为函函数数的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为四阶导数四阶导数, , 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数. .)(;)(,称称为为

3、一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数, ,.,),(44)4()4(dxydyxf三、四阶导数三、四阶导数 n 阶导数阶导数5/20例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1 1、直接法、直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数。由高阶导数的定义逐步求高阶导数。6/20例例2 2.),

4、()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 7/20 求求n阶导数时阶导数时, ,求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后, ,不要急于合并不要急于合并, ,分析结分析结果的规律性果的规律性, ,写出写出n 阶导数阶导数.( .(数学归纳法证明数学归纳法证明) )例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1

5、()!1()1(1)( nxnynnn8/20例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得9/20例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求为为常常数数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)si

6、n()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 10/202 2、高阶导数的运算法则、高阶导数的运算法则: :则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式11/20例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(2

7、2)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex12/20 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过四则运算通过四则运算, , 变量代换变量代换等方法等方法, , 求出求出n n阶导数。阶导数。3 3、间接法、间接法常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxn

8、xee )()(1)(!)1()1( nnnxnx13/20例例7 7.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx14/20例例8 8.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn15/201 1、实例、实例一、高阶导数的定义一、高阶导数的定

9、义2 2、定义、定义二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例1 1、直接法、直接法2 2、高阶导数的运算法则、高阶导数的运算法则3 3、间接法、间接法三、小结三、小结1 1、定义及物理意义、定义及物理意义; ;2 2、运算法则、运算法则( (莱布尼兹公式莱布尼兹公式); );3 3、求导法、求导法: :直接法与间接法。直接法与间接法。思考题思考题).(),()()(,)(2xfxgaxxfxg 求求且且连连续续设设一一阶阶导导函函数数作业作业: : 第第 101-102 101-102 页页. .1.1.双号双号;3.6.9(1).;3.6.9(1).练习练习: : 第第 101-102 10

10、1-102 页页. .1.1.单号单号;2.5.7. 8(4);2.5.7. 8(4)16/20)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 17/20一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设tetysin 则则y =_.=_.2 2、 设设xytan , ,则则y = =_._.3 3、 设设xxyarctan)1(2 ，则，则y = =_._.4 4、 设设2xxey , ,则则y = =

11、_._.5 5、 设设)(2xfy , ,)(xf 存在，则存在，则y = =_. .6 6、 设设6)10()( xxf, ,则则)2(f =_.=_.7 7、 设设nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常数都是常数) )，则，则)(ny= =_. .8 8、设、设)()2)(1()(nxxxxxf , , 则则)()1(xfn = =_._.18/20二、二、求下列函数的二阶导数：求下列函数的二阶导数： 1 1、 xxxy423 ； 2 2、 xxylncos2 ； 3 3、 )1ln(2xxy . . 三、三、试从试从ydydx 1，导出：，导出： 1 1、 3

12、22)(yydyxd ； 2 2、 5233)()(3yyyydyxd . . 四、验证函数四、验证函数xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是常数）是常数） 满足关系式满足关系式02 yy . . 19/20五五、下下列列函函数数的的n n 阶阶导导数数： 1 1、xeyxcos ； 2 2、 xxy 11； 3 3、 2323 xxxy; ; 4 4、 xxxy3sin2sinsin . . 20/20一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二