2018高考——空间向量与立体几何(理科)

1、实用文档第14讲空间向量与立体几何知识要点.空间向量1 .空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 .同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2 .空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。文案大全OB OA AB a b； BA OA OB a b；运算律：加法交换律：abba加法结合律：（a b） ca (b c)数乘分配律：（a b） a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3 .共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向

2、量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a b。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （bw0）, a/b存在实数入，使a=X（3）三点共线：a、b、C三点共线<=> AB AC<=> OC xOA yOB (其中 x y 1)a（4）与a共线的单位向量为:a4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。r r ，一 i，一 r r , (2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x, y使xa yb。(3)四点共面：若a、b、c、p四点共面<=> A

3、P xAB yAC1) rp ,存在一个唯一的有序<=> OP xOA5 .空间向量基本定理：如果三个向量yOB zOC(其中 x y z r r ra,b,c不共面，那么对空间任一向量r r实数组x, y, z,使p xayb zC。r ! ra,b,c叫做基向量，空间任意r r rrr J r,若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底,三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A, B,C是不共面的四点，则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数 x, y, z,使 OP xOA yOB zOC。6 .空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系

4、中的坐标：在空间直角坐标系 O xyz中，对空间任一点 a ,存在唯一的有序实数组 (x, y, z),O xyz中的坐标，记作OA xi yi zk ,有序实数组(x, y,z)叫作向量a在空间直角坐标系A(x, y,z) , x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A (x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/ 平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)r r r(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,这个基底叫单位正交基底，用i,

5、j, k表示。空间中任一向量a xi(3)空间向量的直角坐标运算律：rr若 a (4,a2,a3), b-*yj zk =(x,y,z)r r(n,b2,b3)，则 a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3),t-rra b (a "也 b?© b3)， a ( &, a?，a3)(R)，r ra b 31n a2b2 a3b3， r ra/ba1n,a2b2,a34( R),r ra b31bl a2b2 a3b3 0。若 A(Xi,yi,zJ , B(X2,y2,Z2),则 AB (X2 x1，y2 yz z1)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量

6、的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若 A(x1, y1,z1), B(x2, y2,z2), ap pb,则点p坐标为xi yiy2 z1z2(,)。推导：设 P (x,y,z)则111(x %y y,z z)(x2 x,y2 y,z2 z),显然，当 p为ab 中点时,(X x2 yi y2i 2 ， 2ziz2 2P(ABC中，A (xi，yi，zi) ,B(x2, yzzJCas，丫3,4),三角形重心 p坐标为xix2x3 yiy2y3 4 z?z.z32A ABC的五心：内心p：内切圆的圆心，角平分线的交点:AB AC、AP (|=i尸=)(单位向量)ABAC外心P

7、：外接圆的圆心，中垂线的交点:|pa |pb| |pc|垂心p：高的交点：PA PB PA PC PB PC (移项，内积为o,则垂直)重心p：中线的交点，三等分点(中位线比)I :AP (AB AC)334也),中心：正三角形的所有心的合一。rr(4)模长公式：若 a (ai,a2,a3), br则|a |,、- r r(5)夹角公式：cosa b22a2a?r r a b222bib2b 3Al |b|.aaibi32b22222a2a3 . b)33b3：2272b2b3A ABC 中 AB ? AC0 <=>A为锐角 AB ? AC0 <=>A为钝角，钝角A(6

8、)两点间的距离公式：若 A(x1, y1, z1), B(x2,y2,z2),uuuuaurr222则 |AB| VAB7(X2 %)2 (y2 y1)2 & 4)2 ,或 dA,B d Xi)2(y2%)2S 4)27 .空间向量的数量积。r T(1)空间向量的夹角及其表不：已知两非零向量a,b ,在空间任取一点 O,作OA a,OB b,a,br rr Jcaob叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ；且规定0a,br rr rr rb, a ；若 a,b ,则称a与b互相垂直，记作:2(2)向量的模：设oAuuua,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作:1a |。曰心心曰

9、.曰r r1 ccc(3)向量的数量积：已知向量a,b ,则| a | | b | cosa,br r ,口叫做a,b的数量积,r r r r即 a b |a| |b| cos a,b(4)空间向量数量积的性质：r r r r a e | a | cos a, er r。a b(5)空间向量数量积运算律：rrrr(a)b(ab)rr rrr a(b c)abrra ( b)。 ar ra c (分配律)。rJ-r2ab0。 | a|rrrbba (交换律)。r r a a。不满足乘法结合率：(a b)c a(b c).空间向量与立体几何1 .线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量

10、与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2 .线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直2-1线面垂直线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直3 .线线夹角(共面与异面)0°,90°两线的方向向量coscos n1,n23-1线面夹角0°,90°：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角ap与面的法向量n的夹角，若为.sin cos AP, n3-2面面夹角（二面角）0°,180°：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1,n2的»If夹角；法向量同进

11、同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.cos cos n1,n2uuu面的法向量n ;. hPQ ? nn4 .点面距离h :求点P x0, y0到平面 的距离：在平面 上取一点Q x, y ,得向量PQ .计算平 ;4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离选择题随堂演练1 . U010浙江）如图,已知正四直体D-ABC （所有棱长均相等的三棱雄），人Q,我分别为AB、C*上的点，AP=PE,桀=客=2,分别记二面角D-PR Lf C jfLd-Q； D-PQ-R, D-QR-P的平面角为g0、力则（）3. 7<a<P2.(二01八清城区

12、校级一模)已知向量；=3 f m-1) >己=(2> mf -m),且联“。则实数m 的值等于<)33TA . B - -2C r 0D . -b23 -甘露二模)已知 Z= (=3 , 2, 5) ,< 1 > 乂 >-1),且二亚=2,则 k 的值是 ()A. 6B- 5C T 4D.34,(2017阳山县校级一模)已知A (2 . -5, 1) B(2, -2, 4) , C (1, 4 1 ) ,则向量五与就 的夹角为()A . 30°B . 4S°C . 60。D，90°5. C。成安县校级模始已知三桂柱ABUABa的

13、侧桂与底面垂直,体积为'底面的边长都为5，若P为底面AiBiCi的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()6. (2017上饶县模拟)若一条直线与一个平面成72口角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于()A. 72°B . 90°C . 10SDD. ISO07. (2016秋马鞍山期末)空间四边形4BCD中，若向置藐=(凸，5, 2) ,A. 3, 3)B . < -2, -3, -3)CD=7,点Ej F分别为线段日C, AD的中点，则谆的坐标为(8. (2017南开区模拟)已知长方体ABCD-ABtCiDi中,AB=BC=4, CC

14、i=2,则亶旅BC和平面DBB iD确成角的正弦值为()A. £B，W5 理D.叵225109. <201，娄底二模)过正方体ABCD-A田KiEh的顶点A作平面*使棱AB , ADAA1所在直线与平 面a所成角都相等，则这样的平面值可以作()A. 1个B . 2个C . 3个口 . 4个10. （201?江西二模）三棱柱ABOAiBiCi的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1, AB1AC, N是BC的 中点：点P在上，目满足访，直线PN与平面ABC所成:的正切值取最大值时Z的值为（D.二填空题1 .（2017新课标HI） a, b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形

15、ABC的直角边AC所在直线 与a, b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论；当直线AB与a成60亡角时，AB与成3炉武当直线AB与a成60匚角时, AB与b成50;角；直线AH与a所成角的最小值为45%直线AB与a所成角的最小值为6QI箕中正确的是,填写所有正确若论的编号）2 .（2。17仁寿昌校级三模）已知A, B, C三点都在体积为竽的球。的表面上，若AB=4, ZACB=3 0%则球心口到平面ABC的距离为.3 .2口 I八晋中一模）设二面角*CD邛的大4为45 口，A点在平面口内JB点在CD二j且/ABC=45 口，则 AB与平面p所成角的大小为.4 . （2。17湖南一

16、模）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球Q的球面上,球。的体积为上二 上巫，则口A与平面ABCD所成的用的余型值为35 . （2017 徐汇区校级模拟）在正三棱柱 ABC A1B1C1中，各棱长都相等，M是BBi的中点，则BC与平面AC1M所成角的正弦值是 .三.解答题1. 301天津）如图，在四棱锥P-ABCD卬，AD1平面PDC, A D#BC, PD1PB, .AD=11 BC=3j 匚D=4, PD=2 .（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦情（n）求证：PD，平面PBCg（in）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.2. （2017浙江）如图，已知四棱锥P-ABCD, PAD

17、是以AD为斜边的等腱 直用三角形,BC /AD, CD1AD, PC=AD=1DC=2CB , E为PD的中点，（I）证明：CE"平面PAB拿CH）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.3. . （2017北京如图，在四榛锥P-AECD中，底面ABCD为 正方形，平面PAD，平面ABCD,点M在线段P3上，PDM平面 MAC , P A=PD=B AR=4.Cl）求证：M为PB的中点<2）求二面角B-PD-A的大小（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.4. (2017新课标口如图，四嚎锥P-ABC口中，恻面PAD为等边三角形且垂直于底面3BCD, AB=BC-AD； ZBAD-ZABC=90°, E是PD 的中点 2(I )证明：直线CE”平面PABj12)点M在棱PC上，且直线EM与底面ABCU所成角为4y ,求一面角hl-AB-D的余弦也.5. 匕016