19-20第5章55552简单的三角恒等变换

1、5.5.2简单的三角恒等变换自主预习摇新制学习目标核心素养1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式.体会其中的三角1.通过公式的推导，包换的基本思想方法，以及进行简单的应用.（重点）养逻辑推理素养.2.J解二角包等变换的特点、变换技巧，学握二角包等变2.借助二角包等变换换的基本思想方法，能利用二角包等变换对二角函数式化的简单应用，提升数简、求值以及三角包等式的证明和一些简单的应用.（难学运算素养.点、易错点）半角公式a,(1) sin=土cos2=土tan=土/1cosa,2/l+cosaV21cosa1+cosa_a_sin22co安a_asin

2、如2tan2一厂a厂1+cosacoscos2cos2sinaa_a_asinsin2sintan2_a_acos2cos2sin1cosasina匚j初试身手口.一.a,一一一1.已知180a360,则cos2的值等丁()C.1800360,9020,sin如1；。，=籍5.3.一3叫一已知2M蛙4兀，且sinM5,cosM0,贝Utan2的值等丁3由sin0=3,cos00得cos0=4,55999-_0.tan2=-_0.tan2=-_0.tan2=sin2=2sin2cos2=sin0cos2cos221+cos035.(2) =3.1+l-5J合作探究提素养化简求值问题类削1/一、一

3、90一【例1】(1)设5兀(K6兀，cos2=a,则s等丁()寸1+a寸1aBrD.1a21sina已知兀尹，化简:1+sina*寸1+COSa1COSa寸1+COSa+yl-COSa9AA1-COS2思路点拨(1)先确定4的范围，再由Sin?4=2得算式求值.(2) 1+cos0=2cos会，1cosa=2Sin22t,去根号,确定2的范围，化简.，八-。厂|5兀c0厂D.5k06,-2,3兀!，4(2)解原式=(2)解原式=乂co=a,1-a.aa2sin+cos2jaa2sin+cos2jaa2sin+cos2jaa2sincos2J以匚COS22以匚COS22以匚COS22_aSina

4、厂acoSi+y2Sin2兀a3兀.a一22彳，-cos20,/a_a、2sin+coS2!/a_a、2sin+coS2!项项、2SincoS!项项项项sin+co为sin2co为=-J2+2=-岳。琴T规律方法、AA.，-/1. 化简问题中的“三变”(1) 变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等于段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.(2) 变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.(3) 变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升籍、降籍、配方、开方等.2. 利用半角公式求值的思路(1) 看角：看已知角与待求角的2倍关

5、系.(2) 明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备.(3) 选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tang=皿也=1，,涉21+cosasina1COSaon1+COSa及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2=2，cos-=2计算.(4) 下结论：结合(2)求值.*.a,一-一提醒：已知COSa的值可求2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号题跟踪训练.3一。91.已知cos0=5,且侦牌27。，求tan2.1800270,即0是第三象限角,解法一：.180*270二902135,即丸第二象限角,二tan*0,法二:sino=一。1-co；=-J-25=5,.3)t91cos01、5/2si

6、n0-5三角包等式的证明类型272COSa1【例2】求证：=-sin2.a.1,a4tan：a2tan2思路点拨法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明;法二：COS2a不变，直接用二倍角正切公式变形证明法一：用正弦、余弦公式.2,.、.cosa左边=aacossin2asin2COSa2COSa2aacososincoscossin22cossin22cossin22co*；sin2aasinco与COSaCOSaCOSa_a_asincoscosa2&_acostan12tan2左边=二=2co=cosatan.以21tan2a=?cososina=1sin2劣=右边,.原式成立.坝律的挞三角

7、包等式证明的常用方法(1讥因索果法：证明的形式一般化繁为简;(2旗右归一法：证明左右两边都等丁同一个式子;(3折凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异,简言之，即化异求同;(4此较法：设法证明“左边一右边=0”或“左边/右边=1”；(5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.I跟踪训练2.求证:2sinxcosx(sinx+cosx1)(sinxcosx+1)sinx.证明左边=xx2x2sincoS2+2sin?Jxcosxxx2x2sin2cos22sin=4sin22=4sin222sinx

8、cosxco*|sin2|sinxx2xcos22cos21+cosx=一x=xx=sinx=右边-sin22sincos所以原等式成立.包等变换与三角函数图象性质的综合，类里3/【例3】已知函数f(x)=寸3cos2x普一2sinxcosx.3求f(x)的最小正周期.(2)求证：当x|-4，时，f(x)2.rr-.2兀思路点拨化为f(x斤Asin(3x+4计bt由T=f冰周期t分析f(x址4,4一上的求最小值证明不等式单调性解(1)f(x)=V3cos2x32sinxcosx=亨cos2x+|sin2xsin2x=sin2xcos2x=sin2x+3!,(2)证明：令t=2x+3,因为-4x

9、sin:6=-2，得证.三角包等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin3计bcosx+k的形式，借助辅助角公式化为y=Asin(sx+4)+k(或y=Acoqsx+4)+k口勺形式，将sx+4看作一个整体研究函数的性质.题跟踪训练3. 已知函数f(x)=V3sinx*+2sin2(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解(1).f(x)=辱in?x6j+2sin2x-制=2=2=23sin21cos|2x乎sin|2|2jx-粉-cosl22sin|2x夜甘+1=2sin2x当f(x)取得

10、最大值时，sinsinsin?x-3尸1，有2x3=2kTt+2，即x=k：t+52(kZ),5兀所求x的集合为ixx=k：t+12，kZ三角函数在实际问题中的应用类型4/-探究问题1. 用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响.2. 建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y=Asin(x+6+b的形式.思路点拨设/AOB=at建立周长1(a)T求l的最大值【例4】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？解设/AOB=a,

11、AOAB的周长为l,则AB=Rsina,OB=Rcosa,l=OA+AB+OB=R+Rsina+Rcosa=R(sina+coso)+R=Rsin计4j+R.c兀兀兀3兀。沽2,4a+4；，l的最大值为瞻R+R=(寸2+1)R,此时，a+4=如即a兀4即当a=j寸，AOAB的周长最大.母题探究1.在例4条件下，求长方形面积的最大值.解如图所示，设/AOB=访,则AB=Rsina,OA=Rcosa.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OAAB,-S=2RcosaRsin质R22sinocosa=R2sin2aTt)因此，当2a=2,即OF=这时点A,D到点O的距离为矩形ABCD的面积最大值为R2.

12、一、一2.若例4中的木料改为圆心角为三的扇形，并将此木料截成3矩形，（如图所示），试求此矩形面积的最大值.解如图，作ZPOQ的平分线分别交EF,GH丁点M,N,连接OE,设ZMOE=a,RtAMOE中，ME=Rsina,OM=Rcosa,-NH兀在RtAONH中，ON=tan,得ON=V3NH=伯Rsing则MN=OMON=R(cosaV3sin讯设矩形EFGH的面积为S,则S=2MEMN=2R2sino(cosaV3sino)=R2(sin2a+3cos2aV3)=2R2sin2a+项）一姬R2,r-L卫*兀-兀2兀由旋g6则32a+3AIJ1USHUAN1.思考辨析(1) 1+cosa()

13、sr_口a1，、存在R,使得cos2=2cosa()1(3)对丁任总R,sin2=2sina都不成立.()口a/1cosa石皿弟一象限角，则tan2=1+cosa.()提小(1)X.只有当2+2kK22+2kTtKCz),即一计4kKaV计4k”kez)时,cos2=!21.(2) V.当cosV3+1时，上式成立，但一般情况下不成立.(3) X.当a=2kttkZ)时，上式成立，但一般情况下不成立.1+cosa1cosaclaV.右a是弟一象限角，则2是弟一、三象限角，此时tan2=答案(1)XV(3)xV2.若f(x)=cosxsinx在0,a是减函数，贝Ua的最大值是(片7t&-b.2D.Tta+$所以结兀因为f(x)=sin2x=1cos2x2Cf(x)=cosxsinx=j2cosx+4.当x0,a时，x+44,合题意可知,a+jj即a奈故所求a的最大值是尹故选C.3.函数f(x)=sin所以cos9-sinAg.由(cos辞sin。2+(cos0sin。2=所