高考冲刺之转化与化归的思想

1、高考冲刺之转化与化归的思想【高考风采】解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 高考对本讲的考查为：（1）

2、常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。【知识升华】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1转化与化归应遵循的原则（1）

3、熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解. 2转化与化归的基本类型 （1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则

4、. （2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量. （3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地反映函数或方程中的变量之间的关系. （4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等. （5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等. （6）实际问题与数学模型的转化. 3常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方

5、程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径. （4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化. （5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. （6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题. （7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论. （8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题. （9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化的途径进行转化. （10）等价问题法：把原问题转

6、化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的. （11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法. （12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.4利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：【典型例题】类型一、函数、方程与不等式之间的转化与化归【例1】设函数f(x)x3(1a)x24ax24a，其中常数a1.(1)讨论

7、f(x)的单调性；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围【思路点拨】(1)求f(x)0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.【解析】(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)由已知a1，2a2，令f(x)0，解得x2a或x2，当x(，2)和x(2a，)时，f(x)单调递增，当x(2,2a)时，f(x)单调递减综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)由(1)知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值f(2a)(2a)3(1a)(2a)24a&#

8、183;2a24aa34a224aa(a6)(a3)，f(0)24a.由题设知即解得1a6.故a的取值范围是(1,6)【总结升华】函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围举一反三：【变式】函数的定义域为 【答案】【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：。【例2】已知数列满足则的最小值为_.【答案】【思路点拨】利用递推数列的通项公式构造函数，利用导数判断函数单调性求解。【解析】an=(an-an-

9、1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，所以，的最小值为.【总结升华】数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。类型二、常量与变量的转化问题【例3】已知二次方程ax2+2(2a1)

10、x+4a7=0中的a为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数根.【思路点拨】本题可以将原方程变为关于a的式子，根据a为正整数，得出x的取值，再代回去，求出a的值.【解析】原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，x=2不是原方程的解，又a为正整数，解得3x1，又x是整数且x2，x=3，1，0，1，把它们分别代入原方程得，故当a=1或a=5时，原方程至少有一个整数根.【总结升华】解决本题易按求根公式，讨论方程至少有一个整数根的条件，而无法进行下去.将变量与参数变更关系，视a为主元，转换思考的角度，使解法变得简易.举一反三：【变式1】已知a>0且a1，若关于x的方程loga(x-3)-lo

11、ga(x+2)-loga(x-1)=1有实根，求实数a的取值范围.【解析】要使原方程有意义，需，解得x>3. 原方程化为：. x-3=a(x-1)(x+2)在区间(3, +)上有解，. 问题转化为求右端在(3, +)上的值域， 即将a看作x的函数a(x). 由 ， x>3, x-3>0，. 当且仅当，即时取等号. . 又x>3时，a>0, , 故a的取值范围是.【变式2】设，若t2，2时，y0恒成立，求x的取值范围.【答案】类型三、等价转化【例4】已知函数的值域为1，4，求实数a、b的值.【思路点拨】设，将所给函数看作关于x的方程.则由题意可知当y1，4时，关于x

12、的方程有实数解.【解析】的定义域为R，故可等价转化为yx2ax+yb=0.令=a24y(yb)0，即4y24bya20，则由题意可知，不等式4y24bya20的解集为1，4.也就是1，4是关于y的方程4y24bya2=0的两根.，a=±4，b=3.所以所求实数a=±4，b=3.【总结升华】本题是利用函数、不等式与方程的关系一步一步地等价转化使问题得以解决，常见的转化类型有高次向低次的转化，多元向一元的转化，分式向整式的转化，无理向有理的转化，空间向平面的转化等.举一反三：【变式1】已知奇函数在定义域（1，1）上是减函数，且，求实数的取值范围.【答案】【变式2】若的图象在（0

13、，1）内与x轴恰好有一个交点，则a的取值范围为_.【解析】的图象是直线，在（0，1）内与x轴恰有一个交点，则，则a3（当a=0时不合题意）.【例5】（1）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 对 【思路点拨】将不等式进行等价变形，转化为整式不等式求解。【答案】A；【解析】原不等式等价于或，即或，所以不等式的解为，选A.（2）设集合, , 若 则实数m的取值范围是_；【解析】当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间； ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 。.又因为。【总结升华】本题是较为典型的

14、恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。举一反三：【变式】已知函数，满足，求的最大值、最小值及取得最大值和最小值时对应a，c的值.【答案】，此时；，此时类型四、正面与反面的转化问题【例6】已知非空集合A=x|x2Amx+2m+6=0，xR，若AR，求实数m的取值范围（R表示负实数集，R+表示正实数集）.【思路点拨】本题可以根据AR的反面AR=时的取值范围进行求解.【解析】设全集U=m|=16m28m240=m|m1或.方程x24mx+2m+6=0的两根均非

15、负的充要条件是，可得.AR=时，实数m的取值范围为；AR时，实数m的取值范围为m|m1.【总结升华】正面难以解决的问题，可采用补集的思想，转化为反面问题来解决.一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反而考虑，比如题目中出现“至多”，“至少”等字眼时.举一反三：【变式】试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.【解析】问题可以转化为：为使曲线y=x2有两个对称于直线y=m(x-3)的点，求m的取值范围.易得，因此原问题的解是.【例7】等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行

16、3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（）因为=, 所以=-=-=-,所以=-=-。【总结升华】一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。举一反三：【变式】已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p

17、2-p+1，若区间-1，1内至少存在一个实数c，使f(c)>0, 则实数p的取值范围是（ ）. A、 B、 C、 D、【解析】问题转化为先求在-1，1内没有一个实数C使f(c)>0，即对任意x-1,1，f(x)0的P的取值范围.由二次函数f(x)在-1，1的图形易知：f(1)0且f(-1)0, 解得：或P3.满足已知条件的P的取值范围为.【变式3】已知三条抛物线：，中至少有一条与x轴相交，求实a的取值范围.【答案】或.类型五、换元转化问题【例8】已知aR，求函数的最小值【思路点拨】，而与有联系，可设，则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题【解析】设，则，而，于是yf(t)

18、a2a(sinxcosx)sinxcosxa2at(t21)t2ata2(ta)2a2.原问题转化为求二次函数f(t)(ta)2a2在上的最值问题(1)当a，ta时，f(t)mina2；(2)当a>时，f(t)在，上单调递减，f(t)minf()a2a；(3)当a<时，f(x)在，上单调递增，f(t)minf()a2+a【总结升华】代数问题三角化，往往可充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的问题得以简化，从而获得解答一般地，当条件能转化成如下形式时，就可以考虑三角代换：(1)若a2b21，可设acos，bsin；(2)若a2b21，可设arcos，brsin(0r1)；(3)对于

19、，|x|1，由|cos|1或|sin|1知，可设xcos或xsin.举一反三：【变式】函数f(x)4·log24x在区间上的最大值等于()A24B16 C25 D24【答案】故选C.【解析】设log2xt，则t3,2，故函数f(x)可转化为yg(t)4(t3)(t2)4t24t244(t)225，因为t3,2，所以当t时，函数g(t)取得最大值为25.故选C.【例9】求函数的最大值.【思路点拨】令t=sin x，将函数转化为关于t的二次函数，再求二次函数在区间1，1上的最大值.【解析】.设sin x=t，则1t1，令.如图所示，当a0时，有. 同理，当a0时，有.所以，当a0时函数的

20、最大值为34a.当a0时函数的最大值为3+4a.【总结升华】通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意：换元后所得t的函数的定义域为1，1；应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间1，1的位置，才能确定其最值.举一反三：【变式1】已知x2+y2=1，则z=x2y的取值范围是_.【解析】令x=cos，y=sin，则，.【变式2】已知aR，求函数y=(asin x)(acos x)的最小值.【解析】设t=sin x+cos x，则，故.而，于是，.原问题化归为求二次函数在上的最值问题.当时，若t=a，；当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，.【变式3】已知

21、，tR.（1）当t=1时，解不等式；（2）如果x0，1时，恒成立，求参数t的取值范围. 【答案】（1） （2）t1类型六、命题的转化【例10】关于x的方程x33x2a=0只有一个实数根，求a的取值范围.【思路点拨】本题是一个高次方程的问题，无法用判别式去判定根的个数，故可以转化命题，转化为曲线y=x33x2与直线y=a有一个交点，求实数a的取值范围.【解析】由x33x2a=0得a=x33x2，令，令，得x=0或x=2.当x（，0）时，；当x（0，2）时，；当x（2，+）时，.所以在（，0）和（2，+）上是增函数，在（0，2）上为减函数.又，.如图所示，画出的草图.结合图象，直线y=a与曲线y=

22、x33x2有一个公共点时，则a4或a0.所以关于x的方程x33x2a=0只有一个实数根时，实数a的取值范围为a4或a0.【总结升华】在解题的过程中，直接考虑思维受阻时，要学会变换解决问题的角度，转化命题的形式，使问题变得直观、简洁，进而使问题得以解决，有些问题可以考虑其反面，通过解决反面使问题得以解决，有些空间中的问题转化为平面问题则变得简洁.这就是转化与化归思想的真谛.举一反三：【变式】设0<<2，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个实根的和.【解析】将原方程转化为三角函数的图象与直线有两个不同的交点时，求a的范围及+的值.如图，在同一坐标系中，作出及y=m的图象

23、，由图可知：当或时，直线与曲线有两个交点，即原方程有两个不同实根.若，设原方程的一个根为，则另一个根为. 若，设原方程的一个根为，则另一个根为，. 且由对称性可知，这两个实根的和为或.类型七、空间线面关系的转化【例11】如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.【思路点拨】证明线面平行，常用方法是转化为证线线平行或面面平行；证明面面垂直，常常转化为线面垂直【解析】(1)在ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF平面ACD.(2)在ABD中

24、，因为ADBD，EFAD，所以EFBD.在BCD中，因为CDCB，F为BD的中点，所以CFBD.因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD平面EFC.又因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.【总结升华】在立体几何证明中，两类转化关系相当重要：线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直举一反三：OGHC1DCBA【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，沿对角线BD把BCD折起使C点移到C1点，且C1在平面ABD内的射影O恰好落在AB上。（1）求证：AC1BC1；（2）求AB与平面BC1D所成的正弦值；（3）求二面角C1BDA的正切值。【解析】（1）由

25、题意，C1O面ABD。又C1O面ABC1，面ABC1面ABD。又ADAB，面ABC1面ABD=AB，AD面ABC1，ADBC1，又BC1C1D，ADC1D=D，BC1面AC1D，BC1AC1。（还可由三垂线定理证ADBC1）（2）BC1面AC1D，BC1面BC1D， 面AC1D面BC1D， 作AHC1D，于H，则AH面BC1D。连结BH，则BH为AB在面BC1D上的射影， ABH即为AB与面BC1D所成的角。 又在RtAC1D中，C1D=，AD=3， AC1=，AH=， sinABH=。即AB与面BC1D所成角的正弦值为。（3）过O作OGBD于G，连结C1G，则C1GBD。 则C1GO为二面角

26、C1BDA的平面角。在RtAC1B中，C1O=在RtBC1D中，C1G=。OG=，tanC1GO=.即二面角C1BDA的正切值为。【点评】（1）本题证线线垂直过程中用到了线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转化的思想线线垂直 线面垂直 面面垂直（2） 通过作线面角与二面角的平面角，将空间角的问题转化为平面角处理。【巩固练习】1已知函数图象如下图则函数图象可能是2， (其中e为自然常数)的大小关系是()A. << B. << C. < < D. <<3已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABF2为

27、锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1，) C(1，1) D(1,1)4某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是ABCD5已知k<4，则函数ycos2xk(cosx1)的最小值是()A1 B1 C2k1 D2k16设a，bR，a22b26，则ab的最小值是()A2 B C3 D7一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 8对a，bR，记maxa，b，函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_9已知集合Ay|y2(a2a1)ya(a21)>

28、0，By|y26y80，若AB，则实数a的取值范围为_10外两条直线，给出四个论断： 以其中三个论断为条件，余下论断为结论，写出所有正确的命题11已知关于的方程：有且仅有一个实根，求实数的取值范围12已知数列an中，a1=1，求通项an及前n项和S。13直线x+y=1与双曲线交于M、N两点，O为坐标原点，（1）求证：；（2）若，求离心率e的取值范围.14.已知函数，x0，1.（1）求的单调区间和值域；（2）设a1，函数，x0，1，若对于任意x10，1，总存在x00，1，使得成立，求a的取值范围.15. 设函数（）当曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，

29、且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。【参考答案】1【答案】A【解析】要根据的函数图象准确地画出的图象是困难的，但我们注意到一奇一偶，所以是奇函数排除B，但在无意义，又排除C、D，应选A2【答案】A【解析】由于，故可构造函数f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)，令f(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<，故选A.3【答案】D【解析】易求A，ABF2为锐角三角形，则AF2F1<45°即<2c，e22e1<0,1<e<1，又e>1，故1<e<14【答案】D【解析】转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率 5【答案