11分类加法计数事理与分步乘法计数事理

1、人教A版选修23精讲细练1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识精由i.计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种郴的方法.那么完成这件事共有m+n种、同的方法.完成一件事需要物个步骤，做第1步有m种、同的方法，做第2步有n种小同的方法，那么完成这件事共有m*n种、同的方法.区别一完成一件事有两类不同方案，关键词“分类”完成一件事需要两个步骤，关键词“分步”区别二每类方案都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，

2、缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都兀成了，才能兀成这件事区别三各类方案之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的2.计数原理选取对丁两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰.二、典例细练【题型一】：分类加法计数原理的简单应用例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法?【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1类，从上层取一本数学书有13种不同的

3、方法；第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法；第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法.其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42.【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏.变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表：班级男生数女生数总数高三(1)302050高三(2)303060高三(3)352055(1) 从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第1类，从1班任选一名学生，有50种不同

4、选法；第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法；第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N=50+60+55=165(种)(2)由题设知共有三类：第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法；由分类加法计数原理知，不同的选法共有N=30+30+20=80(种).【题型二】：分步乘法计数原理的简单应用例题2:已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2),P(a,b)(a,bM)表示平面上的点，问：(1) 点P可表示平面上多少个不同的点？(2)

5、点P可表示平面上多少个第二象限内的点？【解析】：(1)确定平面上的点P(a,b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值,也有6种不同方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6花=36.(2)确定平面上第二象限内的点P,可分两步完成：第一步确定a的值，由丁a<0,所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由丁b>0,所以有2种不同方法.由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3X2=6.【点评】利用分步乘法计数原理解决问题应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都

6、完成才算完成这件事.变式训练1:(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.13A.13B.2C.3D.4【解析】：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有32=9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有甲、乙两人参加同一个小组的情况有甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种).故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P=3=1.93变式训练2:现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由)65)65选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(B.B.A. 56D

7、.D.6>5>4>3>2_5>6>5>4X3>2C.2【解析】：每位同学都有5种选择，则6名同学共有56种不同的选法，故选A.【题型三】：两个计数原理的综合使用例题3:现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.(1)若从中选一人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2) 若每年级各选一名负责人，共有多少种不同的选法？(3) 若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？【解析】(1)从高一选一人作总负责人有50种选法；从高二选一人作总负责人有42种选法；从高三选一人作总负责人有30种选法.由分类加法

8、计数原理，可知共有50+42+30=122种选法.(2) 从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有42种选法；从高三选一人作负责人有30种选法.由分步乘法计数原理，可知共有50X42X30=63000种选法.(3) 高一和高二各选一人作中心发言人，有50X42=2100种选法；高二和高三各选一人作中心发言人有42X30=1260种选法；高一和高三各选一人作中心发言人有50X30=1500种选法.故共有2100+1260+1500=4860种选法.【点评】用两个计数原理解决具体问题时，首先要分活是分类”还是分步”，其次要活楚分类”或分步”的具体标准，在分类”时要做到不重不漏”，在分步

9、”时要正确设计分步”的程序，注意步与步之间的连续性.变式训练：7名同学中，有5名会下象棋，有4名会下围棋.现从这7人中选2人分别参加象棋和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【解析】:围棋围棋围棋依题意，既会象棋乂会围棋的多面手”有5+4-7=2人.方法一：第一类，先从会下象棋但不会下围棋的3人中选1人，再从会下围棋的4人中选1人，共有3>4=12(种)选法.第二类，先从既会下象棋乂会下围棋的2人中选1人，再从会下围棋的剩余3人中选1人下围棋，有22=6(种)选法，由分类加法计数原理得N=12+6=18(种).方法二：第一类，多面手”不参加，从只会下象棋的3人中选1人，从只会下围棋的2人中选

10、1人，共有3X2=6（种）选法.第二类，多面手”中有一人参加象棋有2种选法，再从只会下围棋的2人中选1人，共有2X2=4（种）选法.第三类，多面手”中有一人参加围棋有2种选法，再从只会下象棋的3人中选1人共有2彳=6（种）选法.第四类，多面手”都参加，有2种选法，故N=6+4+6+2=18（种）.【题型四】：经典问题（1）涂色问题例题4（1）图例题4（2）图例题4（1）:如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便丁区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有5种不同的颜色可选，则有中不同的着色方案.操场宿'舍区餐厅教学区【解析】：操场可从5种颜色中任选1种着色；餐

11、厅可从剩下的4种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理，共有5>4彳2=180种着色方案.例题4（2）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【解析】：第一类：1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成，第一步，先涂1号区域和4号区域，有5种涂法，第二步，再涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号

12、区域同色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有5X4>4=80种涂法；第二类:1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，第一步，先涂1号区域，有5种涂法，第二步，再涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有3种涂法;第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法.由分步乘法计数原理知，有5>4整彳=180种涂法.依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80+180=260.【点评】反思：涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法：(1)按区域的不同，

13、以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色为主分类讨论，适用丁区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题.变式训练1:用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？B【解析】解法一：A可从5种颜色中任选1种着色；B可从剩下的4种颜色中任选1种着色；C和A、B颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色；D和B、C的颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理，共有5>42整=480种着色方案解法二：先分为两类：第

14、一类，当D与A不同色，则可分为四步完成.第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，第四步涂D有2种涂法，由分步乘法计数原理，共有5X4X3X2=120种方法.第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，由分步乘法计数原理共有5X4X3=60(种)，所以共有120+60=180种不同的方案.变式训练2:用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【解析】：给各区域标记号A、B、C、D、E,则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，

15、D区域有2种，但E区域的涂色依赖丁B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种.因此应先分类后分步.第一类，B、D涂同色时，有4X3X2X1X2=48种，第二类，当B、D不同色时，有4X3X2X1X1=24种，故共有48+24=72种不同的涂色方法.变式训练3:如图，一环形花坛被分成A,B,C,D四个区域，现有4种不同的花可供选种,要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同种法的种数为().A.96B.84C.60D.48【解析】方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，

16、D地有2种，即不同种法总数为N=4X3X(1X3+2X2)=84种.方法二：若种4种花有4X3X2X1=24种；若种3种花，贝UA和C或B和D相同，有2X4X3X2=48种；若种2种花，贝UA和C相同且B和D相同，有4X3=12种共有N=24+48+12=84种.变式训练4:将1,2,3填入3X3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如a同AE【解析】：假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3,此时，其他剩余的空格都只有一种填法，乂第一行有3>2X1=6种填法.故不同填写方法共有6X2=12种.变式训练5:如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种

17、植同一种作物，则不同的种法共有（）A.400种B.460种480种D.496种DA【解析】：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A种相同作物1种，D、A不同作物3种，.不同种法有6X5X4X（1+3）=480种.故选C.变式训练6:有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田（有公共边）不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？【解析】方法一：第一步，种植A试验田有4种方法；第二步，种植B试验田有3种方法；第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1X3=3种种植方法.若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试

18、验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2X2=4种种植方法.由分类加法计数原理知，有3+4=7种方法.第四步，由分步乘法计数原理有N=4X3X7=84种不同的种植方法.方法二：（1）若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4X3X3=36种种植方法.（2）若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法,D有3种种植方法,B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4X3X2X2=48种种植方法.综上所述，由分类加法计数原理，共有N=36+48=84种种植方法.【题型五】：经典问题（2）组数问题例题5:用0,1

19、,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【解析】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N=5X4X3X2=120个.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4这4个数字中选一个数字作千位数字，共4种不同的选取方法，第二步从1,2,3

20、,4中剩余的三个数字和0共4个数字选一个数字作白位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N=4X4X3X2=96个.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1、3中任取一个有两种方法，第二步定首位，把1、2、3、4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排白位3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有2X3X3X2=36个.变式训练1:从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有