09-10学年第一学期《高等代数》期末考试卷

1、特别说明：答案写在答题纸上一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1) 设a1,a2 ,.,am,b1, b2 ,., bm 是 n 维线性空间的两个向量组。若存在两组不全为零的数k1, k2 ,., km 和l1, l2 ,., lm ，使得(k1 + l1)a1 + (k2 + l2 )a2 + . + (km + lm )am + (k1 - l1)b1 + (k2 - l2 )b2 +. + (km - lm )bm =0，则 。A) a1 + b1,a2 + b2 ,.,am + bm ,a1 - b1,a2 - b2 ,.,am - bm 线性无关； B) a1 +

2、b1,a2 + b2 ,.,am + bm ,a1 - b1,a2 - b2 ,.,am - bm 线性相关； C) a1,a2 ,.,am 和b1, b2 ,., bm 均线性无关；D) a1,a2 ,.,am 和b1, b2 ,., bm 均线性相关。2)设a1,a2 ,.,an , b ,g 是数域K 上线性空间 V 中的向量，r(a1,a2 ,.,an , b ) = r(a1,a2 ,.,an ) = r且r(a1,a2 ,.,an ,g ) = r +1，则对任意k Î K ， r(a1,a2 ,.,an , b ,g + k b ) = 。A) r ；B)r +1 ；C

3、) r + 2 ；D) 无法确定。3)要使a1 = (1, 0, 2)¢,a2 = (0,1, -1)¢ 都是线性方程组 AX = 0 的解，只要系数矩阵 A = 。A) (-2 1 1) ；B)æ 20ç 01-1ö1÷ ；èøæ -102 öæ 11-1öC) ç÷ ；D) ç 4-2-2 ÷ 。09-10 学年第一学期厦门大学高等代数期末试卷è 01-1øç÷èø

4、1; 011÷4) 下列关于线性方程组的叙述中，正确的有 个。 若 A 是 n 阶方阵，则线性方程组 AX = b 有唯一解的充要条件是 A* X = g 有唯一解；æ A¢öæ 0 öb ¢1 若 A 是 n 阶方阵，且线性方程组 AX = b 有解，则ç÷ X = ç ÷ 无解；èøè ø 若 A 是m ´ n 阶矩阵，且线性方程组 AX = b 的解不唯一，则m < n ； 若 A 是m ´ n 阶矩阵，且r( A

5、) = m ，则线性方程组 AX = b 必有解。A) 1；B) 2；C) 3；D) 4。5) 在以下的变换T 中，有 个是线性变换。 设a ¹ 0 为线性空间 V 中某固定向量， Tx = x + a （对任意 x ÎV）； 在线性空间 Kx 中， Tf (x) = f (x +1) （对任意 f (x) Î Kx ）； 设 A, B 为 n 阶固定方阵， TX = AXB （对任意 X Î Kn´n ）； 设 A 为 n 阶固定方阵， TX = AX - XA （对任意 X Î Kn´n ）。A) 1；B) 2；C) 3

6、；D) 4。6) 下列关于子空间的叙述中，正确的有 个。 设V 是线性空间， U 是V 的子空间，则存在唯一的V 的子空间U¢ ，使得V=U Å U¢ ； 设x1,x2 ,.,xn 是V 的一组基， U 是V 的子空间。若对任意1 £ i £ n ， xi Ï U ，则U=0 ； 设U1, U2 是V 的子空间，且dimU1 + dim U2 = dim V ，则V=U1 + U2 ； 设U1, U2 是V 的子空间，若U1 U U2 是V 的子空间，则必有U1 Í U2 或U1 Ê U2 。A) 1；B) 2；C

7、) 3；D) 4。7) 下列叙述中，不正确的是 。A) 若j 是V 到U 上的线性映射，则j 在V 和U 的任意不同基下的表示矩阵必相抵；B) 若j 是V 到U 上的线性映射，则j 在V 和U 的任意不同基下的表示矩阵必相似；C) 若j 是V 上的线性变换，则j 在V 的任意不同基下的表示矩阵必相抵；D) 设j 是V 上的线性变换，则j 在V 的任意不同基下的表示矩阵必相似。8) 设j 上V 上线性变换，x1,x2 ,.,xn 是V 的一组基，且由每个xi 生成的子空间 L(xi ) 都是j 的不变子空间，则j 在x1,x2 ,.,xn 下的表示矩阵 。A) 必可逆；B) 必为对角阵；C) 必

8、为上三角阵，但未必是对角阵；D) 必为下三角阵，但未必是对角阵。二、 填空题（32 分. 共 8 题,每题 4 分）1) 设向量组 I 的秩为r1 ，向量组 II 的秩为r2 。若向量组 I 的每个向量都可由向量组 II 线性表示，则r1与r2 的关系是 。ç 31 ÷2) 设 A = æ 10 ö ， W = B | BA = AB, B Î R 2´2 ，则 是W 的一组基。èø3) 设向量a , b ,g 线性无关，则当l, m 满足 时， lb - a , mg - b ,a - g 也线性无关。124)

9、设n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A* 非零，且x ,x 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个不同解，则相伴齐次线性方程组 AX = 0 的解空间维数是 。5) 设 A = (a1,a2 ,a3,a4 ) ，其中a2 ,a3,a4 线性无关，且a1 = 2a2 - a3 ， b = a1 + a2 + a3 + a4 ，则线性方程组 AX = b 的通解是 。6) 设x1,x2 ,.,xn ，h1,h2 ,.,hn是V 的两组基，且从x1,x2 ,.,xn 到h1,h2 ,.,hn的过渡矩阵是P 。若j 是V 的线性变换，恰有j(hi ) = xi ，i = 1, 2,., n ，则j 在x1

10、,x2 ,.,xn 下的表示矩阵是 。7) 设x1,x2 ,x3 ，h1,h2分别是V 和U 的一组基，j 是V 到U 的线性映射，满足j(x1) = h1 + 2h2 ，j(x2 ) = h2 ，j(x3 ) = h1 + 2h2 ，则Imj = ， Kerj = 。æ cosq-sinq ö2´1 8) 设0 < q < p ， A = ç sinqcosq÷ ，由 X a AX 定义了R上的线性变换j ，则j 的不变子èø空间是 。ì x1 - x2 = a1ïx - x = a

11、9; 232三、(10 分) 证明线性方程组íx3 - x4 = a3 有解的充要条件是a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0 ，并在有解ïx - x = aï 454时，求其所有解。ïî x5 - x1 = a5æ A1 ön´1四、(8 分) 设 A 是数域K 上n 阶可逆矩阵，将 A 分块为 A = ç A÷ 。证明： K是齐次线性方程组 A1X = 0 和 A2 X = 0 的两个解空间V1 和V2 的直和。è 2 ø五、(8 分) 设j 是n 维线性空间V 的上的线性变换，满足dim Kerj = r ，1 < r < n 。证明：（1） V 中存在n - r 个向量a1,a2 ,.,an-r ，使得j(a1),j(a2 ),.,j(an-r ) 线性无关；（2）存在V 上非恒等线性变换y ，使得yj = j 。六、(10 分) 设 A 是n ´ m 阶实矩阵，其中m < n 。证明：（