第二章晶体学基础1

1、材料的结构材料的结构（17学时）学时）教学内容教学内容2.1 晶体学基础晶体学基础2.2 金属的晶体结构金属的晶体结构2.3 离子晶体离子晶体2.4 高分子材料结构高分子材料结构2.5 非晶态固体结构非晶态固体结构重点掌握重点掌握晶体的对称元素晶体的对称元素晶胞的选取原则晶胞的选取原则晶向指数、晶面指数、晶面间距晶向指数、晶面指数、晶面间距7大晶系，大晶系，14种布拉菲空间点阵的种布拉菲空间点阵的特征特征极射投影与极射投影与Wuff网网3种典型金属晶体结构的晶体学特点种典型金属晶体结构的晶体学特点晶体中原子的堆垛方式和间隙类型晶体中原子的堆垛方式和间隙类型固溶体的分类及其结构特点固溶体的分类及

2、其结构特点中间相的分类及其结构特点中间相的分类及其结构特点离子晶体的结构规则离子晶体的结构规则AB、AB2、A2B3、ABO3、 AB2O4型离型离子晶体结构特点子晶体结构特点硅酸盐晶体结构特点硅酸盐晶体结构特点聚合物晶态结构模型、晶体形态及结构聚合物晶态结构模型、晶体形态及结构特点特点非晶态固体结构及性能非晶态固体结构及性能 2.1 晶体学基础晶体学基础 晶体学是以晶体为研究对象的一门自然科学；晶体学晶体学是以晶体为研究对象的一门自然科学；晶体学的研究内容包括晶体生成学、几何晶体学、晶体结构学、的研究内容包括晶体生成学、几何晶体学、晶体结构学、晶体化学和晶体物理学等。晶体化学和晶体物理学等。

3、q固态物质按原子的聚集状态，可分为两类：晶体与固态物质按原子的聚集状态，可分为两类：晶体与非晶体。非晶体。q晶体：晶体：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体，即晶体是具有格子构造的固体。列的固体，即晶体是具有格子构造的固体。（1）晶体的概念晶体的概念1、晶体、晶体（2）晶体的基本性质）晶体的基本性质q均一性均一性，指晶体内部化学组成和物理性质（密度、比，指晶体内部化学组成和物理性质（密度、比重、热导性、膨胀性等）的等同。重、热导性、膨胀性等）的等同。q对称性对称性，指晶体内的相同部分（如外形上相同的晶面、，指晶体内的相同部分（如外形上相同的晶面、

4、晶棱、晶角，内部结构中相同的面网、行列或原子、离晶棱、晶角，内部结构中相同的面网、行列或原子、离子等）或性质，能够在不同方向或位置上有规律的重复子等）或性质，能够在不同方向或位置上有规律的重复出现的特性。出现的特性。q自范性自范性，或称自限性，指晶体能自发形成封闭的凸几，或称自限性，指晶体能自发形成封闭的凸几何多面体外形的特性。何多面体外形的特性。q最小内能最小内能，指在相同热力学条件下，晶体与同种物质，指在相同热力学条件下，晶体与同种物质的非晶体相比较，其内能最小，因而晶体的结构也最稳的非晶体相比较，其内能最小，因而晶体的结构也最稳定。定。q异向性异向性，晶体与非晶体由于原子排列不同在性能上

5、，晶体与非晶体由于原子排列不同在性能上出现较大的差异，即晶体具有各向异性，如下表出现较大的差异，即晶体具有各向异性，如下表: :表表2-12-1 单晶体的各向异性单晶体的各向异性 类别弹性模量 (MPa)抗拉强度 (MPa)延伸率 (%)最大最小最大最小最大最小Cu191000667003461285510- Fe2930001250002251588020Mg5060042900840294220202. 晶体的对称性晶体的对称性（1）对称的概念）对称的概念 对称要素是指在进行对称变换时所凭借的几何要对称要素是指在进行对称变换时所凭借的几何要素素点、线、面等。点、线、面等。晶体的对称要素可分

6、为宏观和微观两类。宏观对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对称性。而微观对称要素与宏观对称要素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。 （2）对称要素和对称操作）对称要素和对称操作对称是指物体中相同部分之间的有规律重复；对称变化又称对称操作，是指能使对称物体各相同部分作有规律重复的变化动作。宏观对称要素宏观对称要素：q对称中心对称中心q对称面对称面q对称轴对称轴q旋转旋转-反伸轴反伸轴q旋转旋转-反映轴反映轴对称中心对称中心图图2-1 对称中心对称中心q对称中心：对称中心：是一个假想的是一个假想的点，相应的对称操作是对点，相应的对称操作是对此点的反伸，该点用此点的反伸，该点用C C 表表示。

7、示。q一个有对称中心的图形，一个有对称中心的图形，其相对应的面、棱、角都其相对应的面、棱、角都体现为反向平行。其晶面体现为反向平行。其晶面必定是两两平行而相等的。必定是两两平行而相等的。q对称面对称面:晶体通过某一平面晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面或镜面，用平面称为对称面或镜面，用P P表示。表示。q对称面垂直并平分晶面；对对称面垂直并平分晶面；对称面垂直晶棱并能通过它的称面垂直晶棱并能通过它的中点；对称面包含晶棱。中点；对称面包含晶棱。q在晶体中存在对称面，最多在晶体中存在对称面，最多可达可达9 9个。在描述对称面时，个。在描述对称面时，把对称

8、面的数目写在把对称面的数目写在P P的前面，的前面，如立方体有如立方体有9 9个对称面，写作个对称面，写作9P.9P.对称面对称面图图2-2 对称面对称面图图2-3 对称轴对称轴对称轴对称轴q对称轴对称轴:对称轴的对称操作是绕对称对称轴的对称操作是绕对称轴旋转。轴旋转。当晶体绕某一轴旋转一定角当晶体绕某一轴旋转一定角度后，能使图形的等同部分重复。旋度后，能使图形的等同部分重复。旋转一周重复的次数，称为轴次，用转一周重复的次数，称为轴次，用n n表示，重复时所旋转的最小角度称为表示，重复时所旋转的最小角度称为基转角，用基转角，用表示（表示（n=360n=360/ /)。q在旋转一周的过程中，晶体

9、能复原在旋转一周的过程中，晶体能复原n次，就称为次，就称为n次对称轴，用次对称轴，用L Ln n表示。表示。q晶体宏观对称只能存在晶体宏观对称只能存在1 1，2 2，3 3，4 4，6 6共共5 5中对称轴，不存在中对称轴，不存在5 5次及高于次及高于6 6次次的对称轴。的对称轴。q注意：该轴线定要通过晶格单元的注意：该轴线定要通过晶格单元的几何中心，且位于该几何中心与角顶几何中心，且位于该几何中心与角顶或棱边的中心或面心的连线上。或棱边的中心或面心的连线上。图图2-4 具有具有L2， L3， L4和和 L6对称轴的图形（从左至右）对称轴的图形（从左至右）1）、）、 1次对称轴，习惯符号次对称

10、轴，习惯符号L L1 1，国际符号为，国际符号为1 1，n=1, n=1, =360。2）、）、 2次对称轴，习惯符号次对称轴，习惯符号L L2 2，国际符号为，国际符号为2 2，n=2, n=2, =180。3) 、 3次对称轴，习惯符号次对称轴，习惯符号L L3 3，国际符号为，国际符号为3 3，n=3, n=3, =120。4)、 4次对称轴，习惯符号次对称轴，习惯符号L L4 4，国际符号为，国际符号为4 4，n=4, n=4, =90。 5）、）、 6次对称轴，习惯符号次对称轴，习惯符号L L6 6，国际符号为，国际符号为6 6，n=6, n=6, =60。 立方晶体中所包含的的对称

11、元素和数量最多；立方晶体中所包含的的对称元素和数量最多；2 2个面中个面中心线存在一个心线存在一个L L4 4，共，共6 6个面，有个面，有3 3个个L L4 4；两个角顶联线是；两个角顶联线是一个一个L L3 3，共有，共有8 8个角顶，存在个角顶，存在4 4个个L L3 3；两条棱中点联线是；两条棱中点联线是一个一个L L2 2，共有，共有1212条棱，存在条棱，存在6 6个个L L2 2；垂直晶面和通过晶棱；垂直晶面和通过晶棱中点并彼此相互垂直的中点并彼此相互垂直的3 3个对称面，一对晶棱垂直斜切个对称面，一对晶棱垂直斜切晶面的晶面的6 6个对称面，共个对称面，共9 9个对称面。立方体中

12、心是一个对个对称面。立方体中心是一个对称中心。所以立方体几何对称性可以组合成：称中心。所以立方体几何对称性可以组合成： 3 3 L L4 44 4 L L3 36 6 L L2 29PC9PC 旋转旋转-反伸轴反伸轴q旋转旋转-反伸轴反伸轴:若晶体绕某一轴旋转一定角度若晶体绕某一轴旋转一定角度(360/n)，再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此轴称为旋转反伸轴，用轴称为旋转反伸轴，用L Li in n表示表示 。图图2-5 具有具有L Li i4 4的四面体（的四面体（A A）及其对称操作过程（）及其对称操作过程（B,CB,C）图图2-6

13、 旋转旋转-反伸轴反伸轴A-Li1B-Li2C-Li3D-Li4E-Li6q旋转旋转-反映轴反映轴：若晶体绕某一轴旋转一定角度若晶体绕某一轴旋转一定角度(360/n)，再通过某一平面作镜像反映而能复原，此轴称为再通过某一平面作镜像反映而能复原，此轴称为回转回转-反映轴反映轴，用，用L Ls sn n表示表示 。旋转旋转-反映轴反映轴图图2-7 回转回转-反映轴的对称操作反映轴的对称操作微观对称元素微观对称元素：q平移轴平移轴q滑移面滑移面q螺旋轴螺旋轴 平移轴：平移轴：平移轴是一条直线，图形沿该直线移动一定距离，使图形的相等部分重复。 能使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。q滑移面滑移

14、面，混合的对称要素，一个假想的平面和平行此平，混合的对称要素，一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向。对称操作过程是先面的某一直线方向。对称操作过程是先对此平面反映后，对此平面反映后，再沿平行于此平面的某个方向上平移一定距离；也再沿平行于此平面的某个方向上平移一定距离；也可以先平移，后反映，同样能够重复。可以先平移，后反映，同样能够重复。q滑移面按滑移的方向和距离可以分为滑移面按滑移的方向和距离可以分为a a、b b、c c、n n、d 5d 5种情况。（课本第种情况。（课本第3535页图页图2-172-17） 滑移面滑移面a a、b b、c c表示其滑移方向分别平行于晶体表示其滑移方向分别

15、平行于晶体a a、b b、c c轴，滑移的距离是结点距离的一半（轴，滑移的距离是结点距离的一半（T/2).T/2). n n和和d d滑移面是沿着对角线方向滑移，滑移面是沿着对角线方向滑移，n n的滑移距离分的滑移距离分别有别有1/21/2（a+b)a+b)、1/2(b+c)1/2(b+c)、1/2(a+c)1/2(a+c)、1/21/2（a+b+c)(a+b+c)(四四方格子和立方格子）、方格子和立方格子）、1/2(2a+b)1/2(2a+b)、1/21/2（2a+b+c)(2a+b+c)(六方六方格子）。格子）。d d的滑移距为的滑移距为1/41/4（a+b)a+b)、1/4(b+c)1/

16、4(b+c)、1/4(a+b+c)(1/4(a+b+c)(四方格子和立方格子）。四方格子和立方格子）。滑移面滑移面图图2-8 滑移面的立体图解滑移面的立体图解螺旋轴螺旋轴q螺旋轴螺旋轴，回转轴和平行于轴的平移所构成。对称变化是绕，回转轴和平行于轴的平移所构成。对称变化是绕此轴旋转一定角度，并平移一定距离，使构造中相同的结点此轴旋转一定角度，并平移一定距离，使构造中相同的结点重合。重合。图图2-9 二次、三次和四次螺旋轴二次、三次和四次螺旋轴图图2-10 六次螺旋轴六次螺旋轴 2次螺旋轴：次螺旋轴：只有一种螺旋轴，用21表示，2代表轴次，平移距=轴次右下角的数字/轴次=1/2 T, 基转角=18

17、0。 3次螺旋轴：次螺旋轴：存在两种形式，右旋3次螺旋轴(31)和左旋3次螺旋轴(32)。右旋3次螺旋轴(31)，3代表轴次，平移距为1/3 T, 基转角为120；左旋3次螺旋轴(32)，逆时针右旋时，平移距为2/3T, 若顺时针左旋时，平移距仍为1/3T。 4次螺旋轴：次螺旋轴：存在三种形式，右旋4次螺旋轴（41），中性4次螺旋轴（42），左旋4次螺旋轴（43），基转角为90。 41、 42、 43 逆时针旋转时，平移距分别为1/4T, 1/2T, 3/4T。若43顺时针左旋向上时，平移距为1/4T. 6次螺旋轴：次螺旋轴：存在61，62，63，64，65 5种形式，其中61、62为右旋6次

18、螺旋轴， 63为中性6次螺旋轴， 64，65 为左旋6次螺旋轴。（3）对称要素的组合及对称型）对称要素的组合及对称型 点群点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定理可导出在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定理可导出晶体外形中只能有晶体外形中只能有32种对称点群。种对称点群。 3. 空间点阵和晶胞空间点阵和晶胞图图2-11 NaCl中一维对称图案中一维对称图案(A)以及以及Na+的直线的直线排列排列(B)和抽象为直线点阵和抽象为直线点阵(C)(1) 空间点阵空间点阵空间格子（空间点阵）：空间格子（空间点阵）：

19、 （P25P25，fig2-2fig2-2）由晶体结构中由晶体结构中找到的在三维空间周期性排列一系列等同点称为空间点阵。找到的在三维空间周期性排列一系列等同点称为空间点阵。空间点阵中的几何点或等同点称为结点或阵点；空间点阵空间点阵中的几何点或等同点称为结点或阵点；空间点阵中，在同一直线上的结点构成一个行列，行列中两个相邻中，在同一直线上的结点构成一个行列，行列中两个相邻结点间的距离称为结点间距；任意两个行列可以确定一个结点间的距离称为结点间距；任意两个行列可以确定一个网面，三个不共面的行列可以确定一个空间格子网面，三个不共面的行列可以确定一个空间格子( (联结三维联结三维空间内的结点构成空间格

20、子）。空间内的结点构成空间格子）。空间格子是由一系列平行空间格子是由一系列平行六面体所构成的；结点分布在平行六面体的角顶上，平行六面体所构成的；结点分布在平行六面体的角顶上，平行六面体的六面体的3 3个棱长恰好是个棱长恰好是3 3个相应行列的结点间距。个相应行列的结点间距。 空间格子中的结点只是几何点，并非质点。而晶胞则是由空间格子中的结点只是几何点，并非质点。而晶胞则是由实在的具体质点组成的。实在的具体质点组成的。q具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元组成单元.把组成晶体构造的最小体积单位称为把组成晶体构造的最小体积单位称为

21、晶胞晶胞。能反能反映真实晶体内部质点排列的周期性和对称性；能反映晶胞映真实晶体内部质点排列的周期性和对称性；能反映晶胞是晶体内部构造的最小体积单位；能反映出晶胞上的质点。是晶体内部构造的最小体积单位；能反映出晶胞上的质点。将晶胞作三维的重复堆砌就构成了将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵空间点阵。图图2-12 NaCl结构中的二维对称图案结构中的二维对称图案(A)以及连接以及连接Na+或或Cl-的相同的几何图形的相同的几何图形(B)图图2-13 NaCl的三维结构图及其空间点阵的三维结构图及其空间点阵(2)空间点阵的划分空间点阵的划分晶胞晶胞q 晶体的外形和对称性与晶体的格子构造有关。晶体的

22、外形和对称性与晶体的格子构造有关。q 从格子构造规律可知，从格子构造规律可知，单位平行六面体单位平行六面体是空间格子中是空间格子中的最小重复单位。的最小重复单位。整个晶体结构可视为这种平行六面整个晶体结构可视为这种平行六面体在三维空间平行地、毫无间隙的重复堆砌而成体在三维空间平行地、毫无间隙的重复堆砌而成。q 对每一种晶体结构而言，其结点的分布是客观存在的，对每一种晶体结构而言，其结点的分布是客观存在的，但平行六面体的选择却是人为的。同一种格子构造，但平行六面体的选择却是人为的。同一种格子构造，其平行六面体的选择可有多种方法。其平行六面体的选择可有多种方法。图图2-14 晶体点阵及晶胞的不同取

23、法晶体点阵及晶胞的不同取法选取晶胞的原则（选取晶胞的原则（P33）：）：单位平行六面体应单位平行六面体应能能充分反映出充分反映出晶体的对称性晶体的对称性；单位平行六面体的单位平行六面体的三条相交棱边应尽量相等，或三条相交棱边应尽量相等，或相等的数目尽可能地多相等的数目尽可能地多；单位平行六面体的单位平行六面体的三棱边的夹角要尽可能地构成三棱边的夹角要尽可能地构成直角直角；单位平行六面体的单位平行六面体的体积应体积应尽可能的小尽可能的小。q晶胞参数晶胞参数：晶胞的形状和大小可以用：晶胞的形状和大小可以用6个参数来表示，个参数来表示，此即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是此即晶格特征参数，简称晶胞

24、参数。它们是3条棱边的长条棱边的长度度a、b、c和和3条棱边的夹角条棱边的夹角 、 、 ，如图如图2-16所示。所示。图图2-16 晶胞坐标及晶胞参数晶胞坐标及晶胞参数XZY abc晶胞参数（点阵参数、晶格参数）晶胞参数（点阵参数、晶格参数）4. 晶族与晶系晶族与晶系q晶族晶族：根据晶体中是否存在高次轴及其数目将晶：根据晶体中是否存在高次轴及其数目将晶体划分为体划分为3个晶族。个晶族。晶族晶族高级晶族高级晶族中级晶族中级晶族低级晶族低级晶族特点：高次轴（特点：高次轴（n2）多于一个）多于一个特点：高次轴只有一个特点：高次轴只有一个特点：无高次轴特点：无高次轴(1)晶族晶族q根据根据6个点阵参数

25、间的相互关系，可将全部空间点阵归属个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于于7种类型，即种类型，即7个晶系个晶系。按照。按照每个阵点的周围环境相同每个阵点的周围环境相同的要求，布拉菲（的要求，布拉菲（Bravais A）用数学方法推导出能够反）用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种，这种，这14种种空间点阵空间点阵也称布拉菲点阵。也称布拉菲点阵。(2)晶系晶系7大晶系和大晶系和14种布拉维（种布拉维（Bravis, A）格子（）格子（P32-table2-2）晶系晶系棱边长度及夹角关系棱边长度及夹角关系三斜三斜单斜单斜菱方

26、菱方正交正交四方四方六方六方立方立方ab c, 900ab c, = =900， 900a=b =c, = = 900ab c, = = =900a=b c, = = =900a=b=d c, = =900, =120oa=b =c, = = =900图图2-17 14种布拉维格子种布拉维格子表表 7大晶系大晶系布拉维格子布拉维格子: 1）原始格子（原始格子（P） 即简单格子，结点分布在平行六面体 的几个角顶，每个晶系都有一个原始格子。 2）底心格子底心格子 结点分布在平行六面体的角顶和一对平面的中心： C格子：格子：一对平面与c(z)轴垂直，结点位于平面的中心。 A格子：格子：一对平面与a(

27、x)轴垂直，结点位于平面的中心。 B格子：格子：一对平面与b(y)轴垂直，结点位于平面的中心。 3) 体心格子体心格子 (I) 结点分布在平行六面体的几个角顶和平行六面体的中心。 4）面心格子面心格子(F) 结点分布在平行六面体的角顶和平行六面体每个面的中心。5. 晶体定向晶体定向 晶体的几何外形是由晶面、晶棱和角顶组成的。晶体晶体的几何外形是由晶面、晶棱和角顶组成的。晶体的外形是按一定的对称分布的。的外形是按一定的对称分布的。为了确定晶面、晶棱为了确定晶面、晶棱在空间的具体取向，在晶体中按一定的规则选定一个在空间的具体取向，在晶体中按一定的规则选定一个坐标系，使坐标轴与该对称型的对称要素有一

28、定的相坐标系，使坐标轴与该对称型的对称要素有一定的相互关系，然后用一定的数学符号来表征晶面、晶棱的互关系，然后用一定的数学符号来表征晶面、晶棱的空间方位。空间方位。（1）三轴定向）三轴定向 所谓晶体定向就是在晶体中选择一个三维坐标系，所谓晶体定向就是在晶体中选择一个三维坐标系，它也包含方向的内容。具体内容就是它也包含方向的内容。具体内容就是选择坐标轴（晶选择坐标轴（晶轴）、晶轴上的单位长度轴）、晶轴上的单位长度(轴单位）及其比值（轴率）。轴单位）及其比值（轴率）。a、晶轴与轴角 一般选取 对称轴或 平行于晶 棱的直线XZY bacb、轴率和晶体常数 轴单位轴单位是指在晶轴上作为长度计量单位的线

29、段，晶轴系晶体格子构造中的行列，轴单位就是该行列上结点的间距。 x、y、z轴上的轴单位分别以a、b、c表示。 a、b、c轴单位的连比（a:b:c)称为轴率。 在晶体定向中，轴率a:b:c和轴角、合称为晶体几何常数。它是表征晶体坐标系特征的一组参数。 c、晶轴的选择晶轴的选择1、选择晶轴首先要选择对称轴和对称面法线的方向；若没有对称轴和对称面，则选择平行晶棱。2、在1基础上，应尽可能使晶轴垂直或趋于垂直，并使轴单位相等。即： =90；a=b=c.1. (2) 四轴定向 三方晶系和六方晶系主要采用四轴定向。在四轴定向中，选择L3为c轴，选择与c轴垂直的平面内互成60交角的L2或对称面的法线方向为水

30、平坐标轴：a、b、d轴。a、b、d轴互成120角。 三方晶系和六方晶系的几何常数： a=b=d c, =90 ,=1206. 晶面指数和晶向指数晶面指数和晶向指数 晶体内部构造中，由物质质点构成的平晶体内部构造中，由物质质点构成的平面称为晶面；穿过物质质点所组成的直线方面称为晶面；穿过物质质点所组成的直线方向称为晶向。向称为晶向。 在不同晶面和晶向上，质点排列的方式在不同晶面和晶向上，质点排列的方式和密度不同，表现出不同的物理、化学和力和密度不同，表现出不同的物理、化学和力学性能。学性能。 可用一组数据表征点阵结构中的晶面和可用一组数据表征点阵结构中的晶面和晶向，这组数据就称为晶面指数和晶向指

31、数。晶向，这组数据就称为晶面指数和晶向指数。 米勒指数：米勒指数：用晶面在3个坐标轴上的截距系数的倒数比来表示晶面指数。 例：一个晶面在3个坐标轴上的截距系数分别为p、q、r，其倒数比为1/p:1/q:1/r=h:k:l.去掉比例符号并以小括号括之，写成（h k l), h k l按照x,y,z轴的顺序排列，(h k l)就称为晶面指数。（1）晶面指数的确定）晶面指数的确定晶面指数的确定步骤：晶面指数的确定步骤：1）选定以x,y,z为坐标轴的坐标系，坐标原点不在待标晶面上，各轴单位分别是单位平行六面体的边长a, b, c.2) 求出待标晶面在坐标轴上的截距： pa, qb, rc.3）取截距系

32、数的倒数比1/p:1/q:1/r=h:k:l, 化为互质整数比。4) 去掉比例符号，以小括号括之，写成(h k l), 即为待标晶面的弥勒指数。需要注意的地方需要注意的地方：1）若晶面平行于某坐标轴，则晶面在该坐标轴上的指数为0；2 ）若晶面与坐标轴相交在负端，则在相应的指数上加“-”号；3）（h k l）可以表示一组相互平行的晶面；4) 晶体中有些晶面上原子的排列和分布规律是完全相同的，晶面间距也相同，而晶面在空间的位相不同，这样一组晶面称为一个晶面族，用符号h k l表示。 图图2-18 正交点阵中的一些晶面正交点阵中的一些晶面YZX (001)(010)(111)(100) 宏观晶体中，

33、为了确定晶面和晶棱在空间的具体位置，晶体学上常采用一定的数学符号来表征晶面和晶棱的空间方位。用来表征晶面空间方位的简单数字符号称为晶面符号晶面符号；用来表达晶棱在晶体上的方向的简单数字符号称为晶棱符号晶棱符号！ 晶面指数和晶向指数的表征方法与宏观晶体的晶面符号和晶棱符号的表征方法相同，只不过两者坐标的表示有所不同。(2)晶向指数的确定q晶向：晶向：点阵可在任何方向上分解为相互平行的直线组，结点等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一个晶向。q晶向指数：晶向指数：用用uvw来表示。其中来表示。其中u、v、w三个数三个数字是晶向矢量在参考坐标系字是晶向矢量在参考坐标系X、Y、Z轴上的轴上的

34、矢量分矢量分量量经等比例化简而得出。经等比例化简而得出。晶向指数的确定步骤：1）选定坐标系，以x、y、z为坐标轴，各轴单位分别为晶胞边长a、b、c.2) 通过原点做一直线，使其平行于待标定的晶向AB.3) 在直线上任取一点P,求出P点在3个坐标轴的坐标xa、yb、zc.4) xa/a:yb/b:zc/c=u:v:w, 其中u: v:w应为最小整数比，去掉比例符号，用方括号括之，写成 u v w, 即为晶向AB的晶向指数。注意注意：晶向指数有正负之分；晶向指数中的0表示晶向垂直于相应的坐标轴；晶体上等价的晶向构成晶向族，用 表示。 晶棱符号：只表示晶棱在晶体上的方向，不涉及它们的晶棱符号：只表示

35、晶棱在晶体上的方向，不涉及它们的具体位置，与晶向指数表示的方法是相同的。具体位置，与晶向指数表示的方法是相同的。 图图2-19 晶向指数的确定晶向指数的确定YZX u v wvuw六方晶系六方晶系的晶胞如图的晶胞如图2-25所示，是边长为所示，是边长为a，高为，高为c的六方棱柱体。的六方棱柱体。q四轴定向四轴定向：晶面符号一般写为：晶面符号一般写为（hkilhkil），指数的排），指数的排列顺序依次与列顺序依次与a a轴、轴、b b轴、轴、d d轴、轴、c c轴相对应，其中轴相对应，其中a a、b b、d d三轴间夹角为三轴间夹角为120120o o，c c轴与它们垂直。轴与它们垂直。它们之间

36、的关系为：它们之间的关系为：i=（hk）。）。q晶向指数用晶向指数用uvtw 来表示，其中来表示，其中t=（uv）。）。（3）六方晶系）六方晶系图图2-20 六方晶系的晶面指数和晶向指数六方晶系的晶面指数和晶向指数a1a2a3-a1-a2-a3011000010011？0211？a1a2a310210131？图图2-21 标定晶面和晶棱符号示意图标定晶面和晶棱符号示意图 uvtw 与与UVW 的互换的互换WwVUtUVvVUu312312311）在六方晶体中，绘出以下常见）在六方晶体中，绘出以下常见晶向晶向 0121,0211,0110,0112,00012）试将上述）试将上述晶向晶向的表达由

37、四轴定向改为三轴定向的表达由四轴定向改为三轴定向 （4）晶带定律）晶带定律q所有相交于某一直线或平行于某一直线的所有晶面的所有相交于某一直线或平行于某一直线的所有晶面的组合称为晶带，此直线称为组合称为晶带，此直线称为晶带轴晶带轴。属此晶带的晶面称。属此晶带的晶面称为为晶带面晶带面。同一个晶带的晶面的晶面指数和晶面间距可。同一个晶带的晶面的晶面指数和晶面间距可能不同，但它们都与晶带轴平行。晶带轴能不同，但它们都与晶带轴平行。晶带轴u v w与该晶与该晶带的晶面（带的晶面（h k l）之间存在以下关系：）之间存在以下关系：q凡满足此关系的晶面都属于以凡满足此关系的晶面都属于以u v w为晶带轴的晶

38、带，为晶带轴的晶带，故此关系式也称作故此关系式也称作晶带定律晶带定律。 q判断一个晶面（判断一个晶面（h k l）是否属于晶带）是否属于晶带u v w 也可判断一个晶面和一个晶向是否平行。也可判断一个晶面和一个晶向是否平行。0lwkvhu图图2-22 晶体的晶带晶体的晶带(A)及其极射赤平投影及其极射赤平投影图图2-23 晶面间距晶面间距（5）晶面间距）晶面间距表表2-32-3 一些晶系晶面间距的计算公式一些晶系晶面间距的计算公式coscoscos2coscoscos2coscoscos2sinsinsin222222222222222chlabbcklahkabcbalcakcbhVdhkl

39、q晶面间距与晶面指数的关系晶面间距与晶面指数的关系：晶面间距是现代测试中一个重要的参数。晶面间距越大，晶晶面间距是现代测试中一个重要的参数。晶面间距越大，晶面上原子排列的密度越大；晶面间距越小，晶面上原子排列面上原子排列的密度越大；晶面间距越小，晶面上原子排列的密度越小。在简单点阵中，通过晶面指数（的密度越小。在简单点阵中，通过晶面指数（hkl）可以方）可以方便地计算出相互平行的一组晶面之间的距离便地计算出相互平行的一组晶面之间的距离d。 晶体投影就是按一定规则表示各晶面或晶向分布图形。按不同规则可得到不同的投影。 （1）极射赤平投影 以O点为中心，以R为半径作一球，称为投影球。通过球心作一平面Q，称为投影面。投影球与投影面相交于一个大圆，相当于地球的赤道，称为基圆。垂直于投影面的直径NS，称为投影轴。N北极（上目测点），S南极（下目测点），投影落在赤道面上，所以称为极射赤平投影。7. 晶体投影晶体投影 投影步骤： 第一步第一步晶面向球面作投