第二章概率GAI

1、第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.2 2.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.5 2.5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布2.4 2.4 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量 随机试验的结果有些是与数量对应的. 11点点 22点点 66点点 44点点 55点点 33点点例如,掷一次骰子出现的点数. . 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1, iiXi点点而有些随机试验，表面上看

2、其试验结果与数而有些随机试验，表面上看其试验结果与数量没有对应关系，但我们可以将其数量化。量没有对应关系，但我们可以将其数量化。例例2.1 2.1 抛掷一枚硬币两次抛掷一枚硬币两次, ,观察出现正面观察出现正面( (记为记为H H ) )和反面和反面 ( (记为记为T T ) )的情况的情况. .,SHH HT TH TT样本空间样本空间0, , ( )1, , 2, .eTTXX eeHTTHeHH或 2 , 1 , 0,)(eXHHTHHTTT或或设随机试验设随机试验E E 的样本空间为的样本空间为S S , ,定义样本空间定义样本空间S上的上的实值单值函数实值单值函数ReXeSeX )(

3、, 表示方法：表示方法：称称 为为随机变量随机变量.)(eXX 等。等。，或或 ZYX,S1e2e3e 3X e 2X eXR 1X e 6 , 5 , 4 , 32 点点数数大大于于A例如,掷一次骰子观察出现的点数. BX出现两点2XI |( )e X eI |( )P XIP eX eI. I此时有此时有它表示事件它表示事件 2 XA第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.2 2.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例如,掷骰子朝上一面的点数、一昼夜120接到的呼叫次数等均为离散型随机变量。而某元件寿命的所有可能取值充满一个区间而某元件寿命的所有可能取值充满一个区

4、间, ,无法按一定无法按一定次序一一列举出来次序一一列举出来, ,因而它是一个非离散型随机变量因而它是一个非离散型随机变量. .分布律也可以表示为表格形式或矩阵形式 注注( (1)1)上述两条性质是分布律必须具有的性质.如果一个数列 具有以上两条性质,则它可以作为某离散型随机变量的分布律. (2) IxiiIxiiPxXPIXP)(040202002121.)()()(APAPAAPXP320121212121.)()()(AAPAAPAAAAPXP例例如图电子线路中装有两个并联继电器。假设这如图电子线路中装有两个并联继电器。假设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。两个继电器是否接通具

5、有随机性，且彼此独立。已知每个继电器接通的概率为已知每个继电器接通的概率为0.8，设，设X为线路为线路中接通的继电器的个数。求（中接通的继电器的个数。求（1）X的概率分布；的概率分布；（2）线路接通的概率。）线路接通的概率。解解: (1)X可能的取值可能的取值0,1,2设设Ai=第第i个继电器接通个继电器接通, i=1,212640808022121.)()()(APAPAAPXP.960640320211XPXPXP（2）线路接通的概率。）线路接通的概率。X的概率分布为的概率分布为12X 0 1 2Pk0.04 0.32 0.6412. 06 . 02 . 0)()()(02121 APAP

6、AAPXP48. 06 . 08 . 0)()()(42121APAPAAPXP二二. . 离散型随机变量的常用分布离散型随机变量的常用分布1012 XPXPXP264. 0)999. 0()001. 0()999. 0()001. 0(19991110001000001000 CC.,).(.20210201202020kCkXPkkk例例一种一种40瓦的灯泡，规定其使用寿命超过瓦的灯泡，规定其使用寿命超过2000小小时的为正品，否则为次品。已知有很大一批这时的为正品，否则为次品。已知有很大一批这个样的灯泡，其次品率为个样的灯泡，其次品率为0.2.现从这批灯泡中现从这批灯泡中随机的抽取随机的

7、抽取20只做寿命试验，问这只做寿命试验，问这20只灯泡中只灯泡中恰有恰有k只次品的概率。只次品的概率。解解: 抽样数相对于灯泡总数很小，看作放回抽样抽样数相对于灯泡总数很小，看作放回抽样设设X为为20只灯泡中的次品数，则只灯泡中的次品数，则X 0 1 2 3 4 5 6 P0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109X 7 8 9 10 11 20 P0.055 0.022 0.007 0.002 0.001 当当 时效果较好时效果较好.20,0.05np20000404020000)101 ()10(101 1CXPxP20001. 020000.864

8、7. 01353. 01! 021)101 (1 120200004020000eCxPekppCkknkkn!)1 (第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数那么分布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间,(x的概率的概率.设设 X 是一个是一个 随机变量，称随机变量，称)(xXPxF)(x为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作 X F(x) 或或 FX(x). xX x 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落，随

9、机点落在区间（在区间（ x1 , x2 的概率为：的概率为：P x11.1c.arctan)()()(xxdxxfxF2112.)()(411113FXP.)()(14113dxxfXP1.均匀分布均匀分布它的实际背景是：它的实际背景是： X 取值取值在区间在区间(a, b) 上，并且上，并且取值取值在在(a, b)中任意小区间内的中任意小区间内的概率与这个小区间的长度概率与这个小区间的长度成正比成正比.则则 X 具有具有(a,b)上的上的均匀分布均匀分布.)(xfab1ba( )F xaxOb1 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，车站的时

10、间，即乘客的候车时间等即乘客的候车时间等.均匀分布常见于均匀分布常见于下列情形下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某入，小数点后某一位小数引入的一位小数引入的误差误差；1530102511110152530dd30303PXPXxx即乘客候车时间少于5分钟的概率为132.指数分布指数分布指数分布具有指数分布具有无记忆性无记忆性常用于可靠性统计研究常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，随中，如元件的寿命，随机服务系统的服务时间机服务系统的服务时间等等.若若 X具有概率密度具有概率密度000)(xxexfx0则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布，

11、的指数分布，记为记为 XE( ) .( )f xxO课堂练习课堂练习若若 X表示某元件的寿命（小时），其概率密度为表示某元件的寿命（小时），其概率密度为000)(xxexfx0 求（求（1）X的分布函数的分布函数F(X)；（；（2）已知该元件已）已知该元件已使用使用s小时，再能使用小时，再能使用t小时的概率小时的概率。引例：高尔顿钉板试验引例：高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布正态分布的密度曲线。的密度曲线。3.正态分布正态分布xO)(xf22()21( )e,2xf xxR特点是特点是“两头低，中间高，左右对称两头低，中间高，左右对称”. .钟形曲

12、线钟形曲线1xO)(xfxO)(xf123122()21( )e,2xf xxR122()21( )e,2xf xxR4.标准正态分布标准正态分布1, 0Rxexx,21)(222( ,)XN xO)(xRxdtexxt,21)( 22)(1)(xx标准正态分布标准正态分布210) 0(XP),(2NX（2）XYN(0,1) （1） XN(0,1)，)(bYaP)(bXaP).()()(abbXaP).()(ab解解 合格品的概率为合格品的概率为),06. 0,05.10(2NX例例 已知某台机器生产的螺栓长度已知某台机器生产的螺栓长度X（单位：厘米）（单位：厘米）服从参数服从参数 的正态分布

13、。规定螺栓的正态分布。规定螺栓长度在长度在10.050.12内为合格品，试求螺栓为内为合格品，试求螺栓为合格品的概率。合格品的概率。06. 0,05.10).(12005101200510XP)12.005.10()12.005.10(9544.01)2(2)2()2( 练习练习 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子设男子身高身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 解解: : 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h)0.

14、01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .因为因为XN( (170, ,62),),) 1 , 0(6170NX )6170(h故故 P(X0.996170h所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使男子与厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过车门碰头机会不超过0.01.),(2NY时，时，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内. . 这在统计学

15、上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布一、问题的提出一、问题的提出42d求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，例如，已知商品销量例如，已知商品销量X 的分布，求销售收入的分布，求销售收入Y=CX的分布。（的分布。（C为价格）为价格）设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g是连是连续函数），如何由续函数），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布

16、？的分布？二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布11350.30.40.10.2YP0140.10.60.3ZP21YX135112(1)ZX401P0.30.40.10.2X1021如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，X的概率函数为的概率函数为Xnnpppxxx2121则则 Y=g(X) nnpppxgxgxg2121)()()(二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布1.分布函数法分布函数法例例 已知已知XN(0,1)， 求求Y的概率密度函数。的概率密

17、度函数。XeY 001)(,)(PyePyYPyFyXY.)(ln)(,)(lndxxyXPyePyYPyFyyXY02dyydFyfYY)()(0100000yyyyydxxdydyyfyY)(ln)()(ln)()()()()()()(yayafybybfdxxfdydybya2112)(yXPyXPyYPyFY21)(yXdxxf)21)(21()(yyfyfXY102112121其他yy其他03141yy)()()()()()()(yayafybybfdxxfdydybya( )YFy2.公式法公式法211 1ln ,1,ln,1,e( )e0,0,XYyyfyyyfyy其他.其他.

18、( )( ) , ,( )0, XYfh yh yyfy其他.例例 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解：在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx0, 02xy于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数2/)(yeyhx由前述定理得由前述定理得其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf注意取注意取绝对值绝对值其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中)(yfY其它,)(/00212yeyfyY得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布.例例 已知某台机器生产的螺栓长度已知某台机器生产的