黑环评-数学模型-20140311

1、3 数学模型概述数学模型概述3.1 数学模型的定义和分类3.2 数学模型的建立3.2.1建立数学模型的过程3.2.2 对模型的基本要求3.2.3 数学模型的验证和误差分析3.3 Excel 在建立数学模型的应用3.3.1 污水处理的线性回归分析3.3.2 结构分析和曲线拟合3.3.3 用Excel进行参数估计 3 数学模型概述 3.1 数学模型的定义和分类 图3-1 列出了抽象模型和具体模型的一些例子。模型 图图3.1 模型的形式 抽象模型 具体模型 数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序 相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模

2、拟模型:电模拟模型 满足模型条件的数学表达式和算法叫做满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型数学模型. .其它定义：其它定义：1）数学模型（数学模型（Mathematical Model），是根据对研究），是根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、其内部因素数量关系的数学公式、逻辑逻辑准则和具体算准则和具体算法。用以描述和研究法。用以描述和研究客观现象客观现象的运动规律。的运动规律。 2）数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概

3、括地或近似地表述出的一存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。来的某种系统的纯关系结构。 3）从广义理解，数学模型包括数学中的各种从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念概念，各，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题

4、或特定的具体事物系统的数学关那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。量间内的关系的数学表达。 数学模型在环境影响评价中的应用数学模型在环境影响评价中的应用环境影响评价中的数学模型是应用数学语言和方法环境影响评价中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。方程。它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，

5、通过它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过实验或现场监测取得了大量的有关信息和数据，进而实验或现场监测取得了大量的有关信息和数据，进而对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变量及其参数间的关系。量及其参数间的关系。表表3-13-1 数学模型的分类划分依据模型类型变量与时间关系稳态模型 动态模型变量间关系线性模型 非线性模型变量性质确定性模型 随机性模型参量

6、性质集中参数模型 分布参数模型对模型机理的对模型机理的把握程度把握程度白箱模型、灰箱模型以及白箱模型、灰箱模型以及黑箱模型黑箱模型3.2数学模型的建立3.2.1 3.2.1 建立数学模型的过程 一个模型要真实反映客观实际，必须经过实践-抽象-实践的多次反复。数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤2.2.模型的结构选择模型的结构选择(1)白箱模型 根据对系统的结构和性质的了解根据对系统的结构和性质的了解, ,以客观事物变以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎

7、起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。法。 机理模型具有唯一性。建立机理模型最主要的方机理模型具有唯一性。建立机理模型最主要的方法是质量平衡法法是质量平衡法, ,在预知污染物质反应的方式和速度在预知污染物质反应的方式和速度时时, ,用来预测物质流的方向和通量。虽然使用演绎法用来预测物质流的方向和通量。虽然使用演绎法建立白箱模型并不需要经过图建立白箱模型并不需要经过图3.23.2所列的建立数学模所列的建立数学模型步骤，但事实上完全的白箱模型是很少遇到，很型步骤，但事实上完全的白箱模型是很少遇到，很难获得的。难获得的。 即半机理模型。在应用质量平衡法建立环境数即半机理模型。在应用质量平衡

8、法建立环境数学模型的过程中学模型的过程中, ,几乎每个模型都包含一个或多个几乎每个模型都包含一个或多个待定参数待定参数, ,这些待定参数一般无法由过程机理来确这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常采用经验系数来定量说明。经验系数的定。通常采用经验系数来定量说明。经验系数的确定则要借助于以往的观测数据或实验结果。确定则要借助于以往的观测数据或实验结果。 (2)灰箱模型 (3)黑箱模型w 即输入即输入-输出模型。需要大量的输入输出模型。需要大量的输入,输出数据输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累积累,也可由专门实验获得。根据对系统输入也可由专

9、门实验获得。根据对系统输入输出数据的观测输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。验模型的方法又叫归纳法。w 经验模型经验模型，可被多种不同类型，可被多种不同类型的函数描述。因此由归纳法建立起的经验模的函数描述。因此由归纳法建立起的经验模型在使用时必须注意其导出过程中的取值范型在使用时必须注意其导出过程中的取值范围围,不可任意进行扩展。不可任意进行扩展。例3-1 在x4，由归纳法建立的两函数为：试绘制其函数图形，并分析其扩展性。解：绘制的函数图形如图所示。在x5 的情况下，两函数的取值相差很远，说明它们不具有扩展性。 )1 (4 . 486. 0

10、xey2433. 0733. 2xxy0123450246)1 ( 4 . 486. 0 xey2433. 0733. 2xxy3.3.估计模型的参数估计模型的参数4.4.模型的检验和修正模型的检验和修正)( )(1),(yjxjYXnYXCOV) 1()(22nnXXnVAR XXn1yxxyYXCOVR.),(定义式 函数说明(2-1)AVEDEV 一组数据点到其平均值的绝对偏差的平均值 (2-2)CORREL 两组数据集合的相关系数 (2-3)COVAR 每对偏差乘积的平均值 (2-4)DEVSQ 返回偏差平方和 (2-5)STDEV 估计样本的标准偏差 (2-6)VAR 估计样本的方差

11、yxxyYXCOVR.),(2)(XXDEVSQ)1()(22nnXXnSTDEV 相关系数相关系数 R，反映了两个数据集合之间的线，反映了两个数据集合之间的线性相关程度。在模型的验证和误差分析中模型性相关程度。在模型的验证和误差分析中模型计算值和观测值就可以看成是这样的两个数据计算值和观测值就可以看成是这样的两个数据集合。如果集合。如果X(X1, X2, X3) 和和 Y( Y1, Y 2, Y3) 分别表示一组观测值和计算值，相关系数计算分别表示一组观测值和计算值，相关系数计算: 22)()()( )(1.),(yjxjyjxjyxYXYXnYXCOVR（3-7）iiiiXYXe（3-8）

12、显著性检验方法之一：显著性检验方法之一：1）按下式求得）按下式求得t值：值：2）令）令n=n-2,查查t表值；表值；3）若）若tt0.01(n)，R有非常显著性意义；有非常显著性意义； 若若tt0.01(n)，R无显著性意义；无显著性意义； 221ntRR表表3-4 某污水处理厂某污水处理厂3、4月份的日常监测台帐月份的日常监测台帐 序号 3月份记录(mg/L) 4月份记录(mg/L)入水COD出水COD入水出水计算值出水COD1678123695138.481522631118654132.861563942216777149.7119041022173856160.532025940184

13、824156.1520269481501054187.662267802197885164.511968992156932170.9420891010197833157.3815810728128885164.5116511800136933171.0813812826154788151.2211913691156973176.561521454398715141.22134157711861028184.116216690175871162.5913817743108807153.8212018712102900166.5615819584134771148.8912320841118755

14、146.713921870182855160.4127221120186682136.6912123654144757146.9717524695152743145.05138表3-5 出水COD对应入水COD回归统计结果Multiple R0.630237Intercept43.25682X Variable 10.136996标准误差26.22009观测值24 图3-6 4月份出入水COD观测值与估算值比较050100150200250050010001500计算值进水CODmg/L出水CODmg/Lbmxybxcy ln55221.xcxcxcbybcxy bxceynAAAFntttt11.名称名称 趋势线计算方程趋势线计算方程 备备 注注线性(2-11)m 代表斜率 b 代表截距对数(2-12)c 和 b 代表常数，函数 ln 代表自然对数多项式(2-13)可选择多项式阶数，b 和Ci 代表常数乘幂(2-14)其中 c 的 b 为常数指数(2-15)c 和 b 为常数，e 代表自然对数的底数移 动 平均(2-16)n是“周期”选项, 设置移动平均使用数据点数目，用来消除数据的波动图图3-7 Excel 图表菜单下，添加趋势线命令对话框时间(h)