大学物理第10章1

1、第十章第十章 机械振动和电磁振荡机械振动和电磁振荡 物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。 机械振动：机械振动：描述物体状态的物理量在某一数值附近往复变化。描述物体状态的物理量在某一数值附近往复变化。l 振动（定义）振动（定义）: 电磁振荡：电磁振荡：电流、电压、电荷量、电场强度或磁场强度在某电流、电压、电荷量、电场强度或磁场强度在某一值附近往复变化。一值附近往复变化。 简谐振动简谐振动( (谐振动谐振动) ):最简单、最基本的振动。最简单、最基本的振动。l简谐振动：简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移物体运动时，离开平衡位置的位移( (或或角位移

2、角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。一、简谐振动的特征一、简谐振动的特征kmoxXfgmNgmtFT受力特征：受力特征：kxf kmoxXfgmN动力学方程特征：动力学方程特征：由牛顿第二定律，有：由牛顿第二定律，有：22ddtxmkx 令：令：2 mk则有：则有：0dd222 xtx 注意注意： 仅由系统本身决定，与振动情况无关。仅由系统本身决定，与振动情况无关。 (1) (1)弹簧振子弹簧振子1、动力学特征、动力学特征（2 2）简谐振动的动力学定义）简谐振动的动力学定义若物理量若物理量x，满足，满足 且且由系统性质决定，则称由系统性质决定，则称x

3、 作简谐振动。作简谐振动。1）确定研究对象，分析受力。）确定研究对象，分析受力。2）找出平衡位置，写出）找出平衡位置，写出回复力回复力（或（或回复力矩回复力矩）的表达式。）的表达式。3）写出）写出动力学方程动力学方程（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定 律）由此，判断是否作简谐振动，并得出律）由此，判断是否作简谐振动，并得出。0dd222 xtx 判断简谐振动的步骤判断简谐振动的步骤思考题思考题:1、拍皮球是球的运动是否是简谐振动、拍皮球是球的运动是否是简谐振动?2、小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动、小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动?（1 1

4、）运动学方程（振动表达式）运动学方程（振动表达式）由：由：0dd222xtx可解得：可解得：)cos(tAx或：或：)sin(tAx简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。t0 x)cos(tAxAA 振幅振幅（离开平衡位置的最大距离）离开平衡位置的最大距离） 角频率角频率( (单位时间相位改变单位时间相位改变) )t + 相位相位( ( 描述运动状态的量描述运动状态的量) )（2 2）简谐振动的速度和加速度）简谐振动的速度和加速度由：由：)cos(tAxdsin()dcos(/ 2)xvAttAt 22dcos()dcos()vaAttAt 说明：说明： 1) v

5、、a 与与 x 的的 相同。相同。2)AaAv2maxmax,（3 3）由初始条件确定振幅和初相位）由初始条件确定振幅和初相位初始条件：初始条件：00,0vvxxt 时时，）1cos00 Ax 00-sin2vA）得：得：22)2)1 220202 vxA 22020 vxA 得得：2 2) )/ /1 1) )000/xvtg )(arg000 xvtg )cos(0 tAx)sin(dd0 tAtxv2）仅由）仅由 中之一不能决定，中之一不能决定， 需由其中两个方可求出。需由其中两个方可求出。000cos,sin, tg0注意：注意： 1）0 尚需满足尚需满足1）和）和 2）所决定的状态。

6、）所决定的状态。22020vxA)xv(tgarg000例例1已知某质点振动的初位置已知某质点振动的初位置 。 0002Axv且cos()xAt33or cos()3xAt1cos200v 3 )sin(tAv例例2已知某质点初速度求初相位。已知某质点初速度求初相位。00102vA且x)sin(tAvAAv21sin0656or56 00 x cos()xAt5cos()6xAt1cos2例例3、一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，其角频率轴作简谐振动，其角频率 ，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移其初始位移 x07.5 cm，初始速度，初

7、始速度 v0= 75cm/s；(2)其初始位移其初始位移 x0 7.5 cm，初速度，初速度v0= -75cm/s 。srad10 1 1、振幅、振幅: : 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定由初始条件确定2020)(vxAt0 xT)cos(tAxA 2 2、周期和频率、周期和频率 周期：周期：物体作一次完全振动所经历的时间。物体作一次完全振动所经历的时间。频率：频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。单位时间内物体所作完全振动的次数。00cos()cos ()xAtATt2T12T角频率角频率: : 物体在物体在 秒内所作的完全振动的次数

8、。秒内所作的完全振动的次数。222T02cosxAtT0cos(2)xAtkmT22mkT211mk频率频率 周期周期 T角频率角频率 lgglT22lgT2113 3、相位和初相、相位和初相 ：相位相位决定简谐运动状态的物理量决定简谐运动状态的物理量0t ：初相位初相位t t =0=0时的相位时的相位0相位概念用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。相位概念用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。)cos(1011tAx)cos(2022tAx例如：两个同频率的谐振动例如：两个同频率的谐振动: :A/2xto二者的相位差二者的相位差: :20102010()()tt2010t 2010t

9、 20cosA10cosAxto b) b)当当 时时, ,称两个振动为称两个振动为反相反相(21)kxto a) 当当 时时, 称两个振动为称两个振动为同相同相2 k 讨论：讨论：1020 d) d)当当 时时, ,第二个振动第二个振动落后落后第一个振动第一个振动 0 xtoxto c) c)当当 时时, ,第二个振动第二个振动超前超前第一个振动第一个振动 01020l简谐振动的位移、速度和加速度简谐振动的位移、速度和加速度: :)cos(0tAxm0cos( 2)vvt0cos()maat/2例例4、一质量为一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为振幅为

10、12cm，在距平衡位置，在距平衡位置6cm处，速度为处，速度为24cm/s，求：，求：(1)周期周期T； (2)速度为速度为12cm/s时的位时的位移。移。旋转矢量旋转矢量 的端的端点在点在x 轴上的投轴上的投影点影点P的运动的运动?A)cos(0tAx 投影点投影点P P 的运动为的运动为简谐振动。简谐振动。x00tAP旋转矢量旋转矢量 的端点在的端点在x x 轴上的投影点轴上的投影点P P 的位移：的位移：AO逆时针转动逆时针转动2T周期：周期：旋转矢量旋转矢量 的模即为简谐振动的的模即为简谐振动的振幅振幅。A旋转矢量旋转矢量 的角速度的角速度 即为振动的即为振动的角频率角频率。A旋转矢量

11、旋转矢量 与与x x轴轴的夹角的夹角( ( t t+ + 0 0),),为简为简谐振动的谐振动的相位相位。At t =0=0时，时， 与与x x轴轴的夹角的夹角 0 0 即为简谐振动的即为简谐振动的初相位初相位。A旋转矢量旋转矢量 旋转一周旋转一周, ,P P点完成一次完全振动点完成一次完全振动AxPO00tA例例10-1 一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12 m,周期周期T=2s。当当t=0时时,物体的位移物体的位移x=0.06 m,且向且向x轴正向运动。求轴正向运动。求:(1)简简谐振动表达式谐振动表达式;(2)t =T/4时物体的位置、速度和加速度时物体的位

12、置、速度和加速度;(3)物体从物体从x =-0.06 m向向x轴负方向轴负方向运动，第一次回到平衡位置运动，第一次回到平衡位置所需时间。所需时间。解解: :(1)(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动方程写为谐振动方程写为初始条件初始条件: : t =0s, x0=0.06m: :)cos(0tAx其中其中A=0.12m, T=2s, 12 sT00.12cos0.0603 0 12cos(t 3) mx.-=初始条件初始条件 00sin0vA 0 3 (2) (2) 1d0.12sin( 3) m sdxvtt 22d0.12 cos( 3) m sdvatt t=T/4=0.5s:2220.12 cos( 0.5)m s1.03m s3a110.12 sin( 0.5)m s0.18m s3v0.12cos( 0.5)m0.104m3x (3) x=-0.06m,该时刻设为该时刻设为t1该时刻速度为负该时刻速度为负s11t设物体在设物体在t t2 2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是32s83. 12t11cos()32t 124,333t 2332t3231t从从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间：处第一次回到平衡位置的时间：210.83sttt 两质点作同方向、同频率