2011年高考试题(全国卷理)解析版

1、2021 年高考题全国卷 II 数学试题理科全解全析知识点检索号新课标题目及解析(1)复数z1i,Z为z的共轲复数,那么zZz1(A)2i(B)i(C)i(D)2i【思路点拨】先求出的z共轲复数,然后利用复数的运算法那么计算即可.【精讲精析】选B.z1i,zzz1(1i)(1i)(1i)1i.(2)函数y2JX(x?0)的反函数为22x.x.(A)y一(xR)(B)y(x0)44,一2一一2一.(C)y4x(xR)(D)y4x(x0)【思路点拨】先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范围,它是反函数的定义域._2【精讲精析】选 B.在函数y2/x(x0)中,y0且反解 x 得 x,所以

2、4_2y2Jx(x?0)的反函数为y(x0).4(3)卜面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是(A)ab1(B)ab1(C)a2b(D)a3b3【思路点拨】此题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出 ab,而由 ab 推不出选项的选项.【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 Pab,ab推不出 P,逐项验证可选A(4)设Sn为等差数列an的前n项和,假设a11,公差d2,Sk2Sk24,那么k(A)8(B)7(C)6(D)5科目：数学试卷名称 2021 年普通高等学校招生全国统一测试全国卷 II(理科)第2页共 12 页【思路点拨】思路一：直接利用前 n 项和公式建立关于

3、k 的方程解之即可.思路二:利用Sk2Skak2aki直接利用通项公式即可求解,运算稍简.【精讲精析】选 D.Sk2Skak2ak12a1(2k1)d2(2k1)224k5.(5)设函数f(x)cosx(0),将yf(x)的图像向右平移一个单位长度后,3所得的图像与原图像重合,那么的最小值等于1(A)(B)3(C)6(D)93【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将yf(x)的图像向右平移一个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了一是此函数周期的整数倍.332【精讲精析】选C.由题k(kZ),解得6k,令k1,即得min6.3(6)直二面角l,点A,ACl,C 为垂足,B,BD

4、l,D为垂足.假设 AB=2,AC=BD=1 贝 UD 到平面 ABC 的距离等于(A)y(B)-y(C)-y(D)1【思路点拨】此题关键是找出或做出点 D 到平面 ABC 的距离 DE 根据面面垂直的性质不难证实AC平面,进而平面平面 ABC 所以过 D 作DEBC于 E,那么DE 就是要求的距离.【精讲精析】选 C.如图,作DEBC于E,由l为直二面角,ACl得AC平面,进而ACDE,又BCDE,BCACC,于是DE平面 ABC 故 DE 为 D 到平面ABC 的距离.在RtBCD中,利用等面积法得DEBDDC1 三 26BC.33某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出

5、 4 本赠送给 4 位朋友每第4页共 12 页位朋友 1 本,那么不问的赠送方法共有(A)4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种【思路点拨】此题要注意画册相同,集邮册相同,这是重复兀素,不能简单根据排列知识来铸.所以要分类进行求解.【精讲精析】选 B.分两类：取出的 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有C44种；取出的 2 本回册,2 本集邮册,此时赠送方法有C46种.总的赠送方法有 10 种.(8)曲线 y=e2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为(A)-(B)-(C)2(D)1323【思路点拨】利用导数求出点(0,2)切线方程然后分别

6、求出与直线 y=0 与 y=x 的交点问题即可解决.、.,_2x_【精讲精析】选 A.y2e,y|ro2切线方程是：y2x2,在直角坐标系一,一一121中作出示意图,即得S-1-1.233、一一一一一5(9)设f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0WxW1 时,f(x)=2x(1x),那么f()=2(A)-1(B)-(C)-(D)-24425【思路点拨】解此题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量5转化到区间012上进行求值.【精讲精析】选 A.,一,一,一一5111先利用周期性,再利用奇偶性得：f(-)f()f(-)1.2222(10)抛物线 C：y24x的焦点为 F,直线y2x4与 C 交十

7、 A,B 两点-.那么cosAFB=(A)(B)-(C)-(D)-5555【思路点拨】方程联立求出 A、B 两点后转化为解三角形问题.【精讲精析】选 D.y4x联立,消 y 得x25x40,解得x1,x4.y2x4不妨设 A 在 x 轴上方,于是 A,B 的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求AB3gA5,BF2利用余弦定理_22_2AFBFAB4cosAFB-2AFBF5(11)平面a截一球面得圆M过圆心 M 且与a成600二面角的平面3截该球面得圆 N.假设该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4,那么圆 N 的面积为(A)7(B)9(C)11(D)13【思路点拨】做出如下图的图示,问

8、题即可解决.【精讲精析】选 B.作示意图如,由圆 M 的面积为4MA2,OMJOA2MA2273,RtOMN中,OMN30；.故MNOMcos30：3,S32(A)2(B).3(c).2(D)1【思路点拨】此题根据题目要求构造出如右图所示的几何图形,然后分析观察不难得到当线段【精讲精析】选 A.如图,构造ABa,ADbKc,BAD120,BCD60,所以 A、B、C、D 四点共圆,分析可知当线段 AC 为直径时,AC 为直径时,|c|最大.第6页共 12 页(13)(1-JX)20的二项展开式中,x 的系数与 x9的系数之差为：.【思路点拨】解此题一个掌握展开式的通项公式,另一个要注意C；cn

9、r.【精讲精析】0.由Tr1C2o(JX)20得x的系数为C20,x9的系数为c28,而182C20C20.(14)aC(一,),sina=-5,贝 U Utan2a=25【思路点拨】此题涉及到向角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一途注意角的范围,再求出正切值,最后利用正切函数的倍角公式即可求解.【精讲精析】3.由 a(,),sina=-得3252品工sin1cos,tan,5cos2.02tan4tan221tan2322(15)FJF2分别为双曲线 C:-y-=1 的左、右焦点,点 ACC,点 M 的坐标为927(2,0),AM 为/RARA 技的平分线.那么|AFAF2|=【思路点拨

10、】此题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解.【精讲精析】6.由角平分线定理得：四更巨|-,|AF1|IAF2I2a6,故|AF2|6.|AF1|MR|2(16)己知点 E、F 分别在止方体 ABCDARCOABCDARCO 的棱 BBBB、CGCG 上,且 BEBE=2EB,CFEB,CF2FC,FC,那么面 AEFTAEFT 面 ABABG G所成的二面角的正切值等于.【思路点拨】此题应先找出两平面的交线,进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长 EF 必与 BC 相交,交点为 P,那么 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线.【精讲精析】一.延长 EF 交 BC 的延长线于

11、巳那么 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线,因3为CAP90匕所以FGA为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角.第8页共 12 页2tanFCAFCJ3,2CA42317本小题总分值 10 分注意：在试题卷上彳答无效ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知A0=90,a+c=J2.b,求C.【思路点拨】 解决此题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系,然后再结合A-0=90,得到sinAcosC.即可求解.【精讲精析】选 D.由AC90；,得 A 为钝角且sinAcosC,利用正弦定理,acJ2b可变形为sinAsinCJ2sinB,即有sinA

12、sinCcosCsinCs/2sinC45ysinB,又 A、B、C 是ABC的内角,故C45：B或C45：B180：舍去所以ABC90：CC45C180.18本小题总分值 12 分注意：句式题臂上彳周无期根据以往统计资料,某地车主购置甲种保险的概率为0.5,购置乙种保险但不购置甲种保险的概率为 0.3,设各车主购置保险相互独立I求该地 1 位车主至少购置甲、乙两种保险中的 l 种的概率；nX 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购置的车主数.求 X 的期望.【思路点拨】解此题应首先主出该车主购置乙种保险的概率为 p,利用乙种保险但不购置甲种保险的概率为 0.3,即可求出 p=0.

13、6.然后ii利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.【精讲精析】设该车主购置乙种保险的概率为 p,由题意知：p10.50.3,解得p0.6.(I)设所求概率为 Pi,那么P,1(10.5)(10.6)0.8.故该地 1 位车主至少购置甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8.(II)对每位车主甲、乙两种保险都不购置的概率为(10.5)(10.6)0.2oXMB(100,0.2).EX1000.220所以 X 的期望是 20 人.(19)如图,四棱锥SABCD中,AB/CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,ABBC2,CDSD1.(I)证实：SD平面SAB;(n)求AB与平面SBC

14、所成角的大小.【思路点拨】此题第(I)问可以直接证实,也可建系证实.(II)建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清楚思维量小.【精讲精析】计算 SD=1,AD75,SA2,于是SA2SD2AD2,利用勾股定理,可知SDSA,同理,可证SDSB又SASBS,因此,SD平面SAB.(II)过 D 做Dz平面ABCD,如图建立空间直角坐标系 D-xyz,A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),可计算平面 SBC 的一个法向量是n(0,J3,2),(0,2,0)|cos2/32121721arcsin.所以 AB 与平面 SBC 所成角为第

15、10页共 12 页(II)bn(20)设数列an满足ai1.(I)求an的通项公式;(n)设 bnnbk,证实:k1Sn1.1【思路点拨】解此题突破口关键是由式子11an111乙11.得到二是等差数1an1an列,进而可求出数列an 的通项公式.(II)问求出bn的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和.-11、,【精讲精析】(I)一是公差为 11an的等差数列,11an1(n1)1n.1a1所以ann1(nnSnbk(、1形)(.21、 .3)2(21)O 为坐标原点,F 为椭圆C：x21在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且2斜率为-J2的直线l与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足o

16、AOBOP0.(I)证实：点 P 在 C 上；(n)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q 证实：AP、B、Q 四点在同一圆上.第11页共 12 页所以点P在C上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的根本思路,注意把OAoBoP0.用坐标表示后求出 P 点的坐标,然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也用 A、B 两点的横坐标表示出来.从而求出点 P 的坐标代入椭圆方程验证即可证实点 P 在 C 上.II此问题证实有两种思路：思路一：关键是证实APB,AQB互补.通过证实这两个角的正切值互补即可,再求正切值时要注意利用倒角公式.思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,所以根

17、据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心 N,然后证实 N 到四个点A、日 P、Q 的距离相等即可.【精讲精析】I设A(x,y),B(x2,y2)直线l:y,2x21联立得4X22&X12,6.2X1,X246.24X1X2,X1X22由OAOBOP0.得P(XiX2),(yi丫2)(XiX2)(yiy?)(.2X11,2X21),-12(X1X2)(、;)2(21)22(II)法一：tanAPBkPAkPB1kPAkPBV(1)y2X1(22)X2(1)22)y(1)y2(1)为:X27)第 i0 页共 i2 页所以APB,AQB互补,因此AP、B、Q 四点在同一圆上.,2 小 yx22i

18、、2i仅 AB 的中点为M那么M(,一),AB 的垂直平分线12的方程为yx一4224INPI小弯泊(11)2呼,|AB|i(、2)2区|32232222ii233|AM|,|MN|i()2()23x1x2同理3x)x23(x2xi)4(x2xi)32,2(xiX2)y2i(xix2)学xix2)X2X22i22yii(、,2xi(2)yiiXi4(x2xi)法二：由P(,i)和题设知,2,i),PQ 的垂直平分线|1的方程为由得li、I2的交点为N(tanAQB第13页共 12 页448288第 i0 页共 i2 页故|NP|NA|.|NP|NQ|,|NA|NB|所以 A、P、B、Q 四点在同一圆圆 N 上.(22)(本小题总分值 12 分)(注意：在试题卷上作答无效)、一一,2x一,一(I)设函数f(x)ln(1x)证实：当x0时,f(x)0;(n)从编号 1 到 100