2017年高考浙江数学试题及答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)第I卷(选择题共40分)10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(1)【2017年浙江，1,4分】已知Px|1(A)(2,1)(B)(1,0)(C)【答案】A【解析】取P,Q所有元素，得PUQ(2,1)，故选A.【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力.(2)【2017年浙江，2,4分】椭圆x-匕1的离心率是(94(A)亚(B)贝(C)33【答案】B【解析】e旦宜圣，故选B.33【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.(3)【2017年浙江，3,4分】某几何体的三视图

2、如图所示(单位:M)是()(A)成1(B)z3(。1【答案】A三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3,故该几何体的体积为V13(-121)-3222【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，题目.1,故选A.解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,axb在区间0,1上的最大值是 M,最小值是m，则 M-m()(B)与 a 有关，但与 b 无关【解析】 由几何的三视图可知， 该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成, 圆锥的底面圆的半径为1,(4)【2017年浙江，4,4分】若x,y 满足约束条件y2y30,则zx2y的取值范围是0()(A)0,6【答案】D【

3、解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(B)0,4(C)6,(D)4,【点评】本题考查线性规划的简单应用,2,1时取最小值4,无最大值，故选D.画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.x1,Q2x0,则PUQ(0,1)(D)(2,1)25-(D)539cm),则该几何体的体积(单位:3、选择题：本大题共是基础(5)【2017年浙江，5,4分】若函数fxx2(A)与 a 有关，且与 b 有关(C)与 a 无关，且与 b 无关【答案】B【解析】解法一：因为最值在f(0)b,f(1)1(D)与 a 无关，但与 b 有关a一-一.一0，即 a2，或 a0 时，函数fx在区间0,1上单倜，此时

4、Mmf1f0解法二：函数fx2xaxb的图象是开口朝上且以直线x旦为对称轴的抛物线，当2a，故 Mm的值与a有关，与 b 无关；当21,即1 时，函数fx在区间0,-上递减，在-,122上递增，且f0f1，此时M2，故 M4m 的值与a有关，与 b 无关；当0时,函数fx在区间0,-上递减，在2e,1上递增，且22，故 Mm 的值与a有关，与 b 无关.综上可得：M4m 的值与a有关,B.与 b 无关，故选【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键.(6)【2017年浙江，6,4分】已知等差数列an的公差为d,前n项和为 Sn,则“d0”是的()

5、(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件【答案】C【解析】由S4S62S510a121d25a10d反之，若 S4S62S5,则 d0,所以“SiS62S5”(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件d，可知当 d0 时，有 S4S62S50,即 S4S62S5,d0”是“S4S62&”的充要条件，故选 C.【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题.(7)【2017年浙江，7,()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】解法一：由当f的图象可知：f4分】函数yfx的导函数yf(x)的图像如图所示，贝炳数yfx的图像可能是x0时，函数f(x)单调递减，当fx0

6、时，函数f(x)单调递增，则由导函数yfxx先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除B,故选D.解法二：原函数先减再增，再减再增，且x0位于增区间内，故选D.【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题.(8)【2017年浙江，8,4分】已知随机变量1满足P11Pi,i1,2.若0P1P2则()(A)E(1)(C)E(1)【答案】A【解析】QE(1)D(1)E(2),E(2),D(D(1)1)D(2)D(2)(B)(D)E(E(1)1)E(E(D(1)D(1)

7、D(2)D(2)2)(pP2)(1PlP2)0,故选 A.【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，(9)【2017年浙江，9,4分】如图，已知正四面体P1,E(D(2)P2,E(1)E(2)QD(1)P1(1P1)，D(2)P2(1P2),空间想象分别为 AB,BC,CA 上的点，APD-PQ-R,D-QR-P的平面较为(A)(B)【答案】B【解析】 解法一： 如图所示， 建立空间直角坐标系.O0,0,0,P0,3,0,C0,6,0,uuu-uiur-PR2伯,3,0,PD0,3,6也，是中档题.D-AB

8、CBQCRQCRA,则(C)(所有棱长均相等的三棱锥)，2，分别记二面角D-PR-Q,设底面D0,0,6扼，uuurujinPQ、3,5,0,QR(D)PQRABC 的中心为 O.不妨设 OP3.则QJ3,2,0,R3,0,0,3、3,2,0,UUT一_rQD指，2,6龙.设平面 PDR 的法向量为n2咨3y,可得3y6.2z0LTr贝Ucosm,nr_一一nJ6,2寸2,1,取平面r uuunPR0rULIT，n PD0ITm0,0,1ABC 的法向量可得x,y,z,则3arcco.arccosLTrmnmn211arccos.151523同理可得:6811159568195-解法二：如图所

9、示，连接OD,OQ,OR,过点 O 发布作垂线:OGQR，垂足分别为 E,F,G,E.同理可得:cosOE2h2由已知可得：OEOGOF.【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、属于难题.OEDR,OFDQ,nttSODROE.则cosSPDRPE二LOGPG.OG2h2为锐角.aV丫V6,故选B.正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力,OFPFcosPE,PF,PG.设 OPhOFc,OF2h2coscos,cosOG(10)【2017年浙江，10,4分】如图，已知平面四边形uurLUTLUTLULT记I1=OAOB,12=OBOC,(C)IAC 与 BD 交于点 Q(A

10、)I1I2I3【答案】C【解析】ABBC,AB(B)I11312ABCD,ABUULTUULTI3=OCOD,31112BC,AB=BC=AD=2,CD=3,则()(D)I2I2I33,uuOAAC2时AOBCODuuuuuruuiruuuuurOBOCOD,OBOC0，即 I390BCAD2,CD由图象知 OAOC,OBOD,0【点评】 本题主要考查平面向量数量积的应用， 根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.第口卷(非选择题共110分)III2，故选C.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.理论上能把兀的其结果领先世界一(11)【2017年浙江，

11、11,4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率兀，值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 SJ,SJ【答案】翌2【解析】如图所示，单位圆的半径为1,则其内接正六边形 ABCDEF 中，AOB 是边长为1的正三角形,所以正六边形ABCDEF面积为&=6111sin60o还.22【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题.(12)【2017年浙江，【答案】5;212,6分】已知 abR,(abi)234i(i 是虚数单位)则a2【解析】 由题意可得22-,a

12、b2abi34i,则2ab2【点评】 本题考查了复数的运算法则、 复数的相等、(13)【2017年浙江，13,6分】已知多项式a2b23g 曰，解得ab2方程的解法，考查了推理能力与计算能力,12x1x2：,则a2b25,ab2.4ax3a2x2a3x属于基础题.1a4xa5,贝Ua4as.【答案】16;4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：x0 可得a513224.【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题.rrmmC3xC2x,分别取0,m1,m0可得a,41216，令【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知

13、识，注意解题方法的积累，属于中档题.(16)【2017年浙江，16,4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有中不同的选法.(用数字作答)【答案】660【解析】解法一：由题意可得：“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为：C；C4C3种方法，其中“服务队中没有女生”的选法有C4C4C3种方法，则满足题意的选法有：C；C4C3C4C4C3660种.解法二：第一类，先选1女3男，有C63C2140种，这4人选2人作为队长和副队有A12种，故有 4012480 种，第二类，先选2女2男，

14、有C62C2215种，这4人选2人作为队长和副队有A：12种，故有 1512180 种，根据分类计数原理共有 480180660 种，故答案为：660.【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题.,.一，4一(14)【2017年浙江，14,6分】已知 ABC,ABAC4,BC2.连结 CD，贝UBDC 的面积是;cos【答案】J5；102【解析】取 BC 中点E,DC 中点 FcosDBC1541.,sinDBC411614BDCAEBC,BFSkBCDCDBD点 D 为 AB 延长线上一点,ABE 中，cosABCBCsinDBCBDBEAB2,又cosDBC12sin2DBF

15、sin综上可得，BCD 面积为竺,2cosBDC10DBF44cosBDCsinDBF210T【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题.(15)【2017年浙江，15,6分】已知向量 a,b 满足 a1,b值是.【答案】4;25rr【解析】解法一：设向量 a 和 b 的夹角为，由余弦定理有rrab1222212cos令y.54cos则y22,则abab的最小值是最大J54cos，rb12则ab2II22212cosrr.ab754cos16,20,据此可得:.54cosrr.rrabab.54cosmaxrrrrabab54cos202.5,min,则 0rrrrabab的

16、最小值为4,最大值为2炳依4,即1022516cos2解法二记 AOBrrab其图象为一段圆弧 MN，如图，令 zx 时z最小为 zmin13314,当直线何知识易知 zmax即为原点到切线的距离的所以zmax2而2.5.综上所述，.54cosrb.54cos,2y10 x,y1,y，贝Uyxz,则直线 yxz 过 M、Nyxz 与圆弧 MN 相切时z最大，由平面几72 倍，也就是圆弧 MN 所在圆的半径的再倍,的最小值为 4,最大值为 2J5.，如图，由余弦定理可得:.54cosyJ54cos，贝Ux2rrrrabab(17)【2017年浙江，17,4分】已知R,函数fxx-aa在区间1,4

17、上的最大值是5,则a的取值x范围是.【答案】(,92【解析】x1,4,x4,5，分类讨论：当 a5 时，fxaxa2ax-，函数的最大值 2a45,xxx54a9,舍去；当2a4 时，fxxx-5,此时命题成立；当x5 时,fxmax4 aa5aa工4 aa5aa4aa,5aa,贝U：11 11或：11 11Illi4aa55aa5,综上可得，实数a的取值范围是max929一或a-22【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题.、解答题：本大题共(18)【2017年浙江，解得：a5题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18,1

18、4分】已知函数f(x)sin2xcos2x23sinxcosxx(1)求的值;(2)求f3fx的最小正周期及单调递增区间.fx_2sin2xcosx23sin由f x2sin2x-f6，k兀丸x.兀k兀,kZ,解：(1)(2)x的最小正周期为xcosxcos2x、.3sin2x2sin2xTt62sin4兀3令2kTt2xTt62kTt函数fx的单调递增区间为k兀二k兀己，k36【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档.(19)【2017年浙江，19,15分】如图，已知四棱锥 PABCD,PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC/AD

19、,CDAD,PCAD2DC2CB,E 为 PD 的中点.(1)证明：CE/平面 PAB;(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.解：解法一：(1)取 AD 的中点 F，连接 EF,CF,E 为 PD 的重点，二BC/AD,AD2DC2CB,F 为中点易得 CF/AB,QEC 平面 EFC,(2)连结 BF,过 F 作 FMEF/PA，在四边形 ABCD 中,平面 EFC/平面 ABP,易知四边形 BCDF 为矩形，所以所以 BC 平面 PBF，所以 BC1一BFPF1,所以MF1,又2EC/平面 PAB.PB 与 M，连结 PF,因为 PABFAD，所以 AD 平面 PBF，又 A

20、D/BC,PB,设 DCCB1,则 ADPC2,所以PBJ2,PD，所以 PFAD,BC 平面 PBF，所以 BCMF，所以 MF平面解法一(1)(2)PD 的中点，理可得CE所以点压21E 到平面 PBC 的距离为1,在4PCD 中，PC，则sin2,14CE2CD2.)略；构造平行四边形)过 P 作 PHCD,交 CD 的延长线于点 H 在 RtVPDH 中，设 DHx,则易知(RtVPCH)，解得 DH(11,PDJ2,由余弦定(2)PBC，即点 F 到平面 PBC 的距离为1,也即点 D 到平面 PBC 的距离为 J,因为 E 为1,过 H 作 BC 的平行线，取222x)222xDH

21、BC由题易得1D-,1,0，21 _32 ,4ULUU,贝UCE13、23)UUU，PB(|,0,3-,1,0.3、uuirBC(0,1,0),54故直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.1(20)【2017年浙江，20,15分】已知函数fxxv2x1exx-2(1)求fx的导函数；1(2)求fx在区间二+)上的取值范围.21x解：(1)fx1exJ2x1e2x1(2)令gxx_1，则gx1-

22、2；2x当x变化时，fx,fx的变化如下表:x12,11修5252,fx-0+0-fx/B-,9,抛物线上的24r设平面 PBC 的法向重为n(x,y,z)uurPBrn3x2uurBC0.-,r，令 x1,则 t焰，故 n(1,0,J3),设直线 CE 与平面 PBC 所成的角为sin=|cosuuurCE,n|=|5-3.3|442513-一_2.164161_2_22.281又f-12f-e12,f151K，10,f-e2，贝Ufx在区间一心 n,+11上的最大值为-e222222,2综上，fx在区间1,1l上的取值范围是0,-e2.2,2考查化简整理的运算能力,Ix1x2x1e1x12

23、x1、-12xe.2x1gx0，则gx在 x1 处取得最小值，既最小值为0,又ex0,则fx在区间1,2上的最小值为0.【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值,属于中档题.正确求导是解题的关键,(21)【2017年浙江，21,15分】如图，已知抛物线(1)(2)1Px,y-x2求直线 AP 斜率的取值范围;求 APB 作直线 AP 的垂线,垂足为解：(1)由题易得(2)由(1)知PPQ 的最大值.2Px,xuuu3一-，所以PA221x_41x211x,-24x-，故KAP22x1,1,故直线 AP 斜率的取值范围为,设直线 AP 的斜率为 k，则AP:ykxBP:yUUIT故PQ32kk294k3联立直线 AP、故PA|PQuiuPAUULTPQ所以PA|PQk4k3k2k1_k31kk1_kk,令f24x2x2k224kUUT2PA1