(完整版)高等数学第一章函数与极限试题

1、1高等数学第一章函数与极限试题.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，MN表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数2.设函数f(x)二,则(A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.(B)x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点3.设f(x)=x,x丰0,1，则ff(x)=()1A)

2、1-xB)1x4.下列各式正确的是()A)lim(1+1)=1x0 xB)x,1lim(1+)=ex0 xC)limx,1(1-_)=-exlim(1+-)xxx=ex,x0.25.x已知lim(-ax)9,则a()。xxA.1B.；C.ln3;D.2ln3。6.极限：lim(x1)x()xx1A.1B.；C.e2;D.e27.极限：limx32=(:)xx3A.1B.；C.0;D.2.8.极限：lim-x11=()x0 xA.0B.；C1;D.2.9.2极限：limx(x2xx)=()A.0B.；C.2;D.1.210.极限:lim tanxsinx/2x=()x0sin3A.0B.；C.;

3、D.16.16填空题13.若yf(x)在点x0连续，则limf(x)xxsin5x14.lim;xx0 x一2.15.lim(12)nnn16.若函数y17.绝对值函数11.极限limxsin2x112.nmarctanxxf(x)=x,x0.3则它的间断点是f(x)xx,x0;0,x0;4其定义域是，值域是18.符号函数其定义域是1,x0；f(x)sgnx0,x0；1,x0.,值域是三个点的集合19.无穷小量是20.函数Vf(x)在点 x0 连续，要求函数 yf(x)满足的三个条件是三.计算题21.求卿。(岸x!).22.设f(ex1)=3x-2,求f(x)(其中x0);23.求 lim(3

4、-x)x224.求 lim(日)x；求a的值；13n2x求它的定义域29.判断下列函数是否为同一函数：f(x)=sin2x+cos2xg(x)=1x21f(x)ax1g(x)x12f(x).x1g(x)x1fxx12g(x)x1y=ax2s-2=atsinx2J、Mtan2x(x23x)26.已知lim(-a)xxxa9,27.计算极限lim(1n2n28_x228.fxig5x1530.已知函数f(x)=x2-1,求f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)3n25n16n24n731.limn32.33.34.lim2nnlim1(n1、n)2n3nlimn23n35.判断下列函数在指

5、定点的是否存在极限yx1，x2x,x2sinx,x1X,X336.lim1x337.38.x3x323x29-1x1xx0 x39.求当X00时，下列函数的极限40.求当X00时，下列函数的极限3,xx12x2x1y2x33xx1x2141.42.sin3x耽丁1cosxlimx043.limn2xn31n44.limn2n1nlimex10.x16147.lim1kxxx048.研究函数在指定点的连续性sinx,x0f(x)xx1,x01,x0f(x)x,x=00,x0指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。f(x)：x00，x=。60.求极限 HnjaJ.x45.lim(

6、1x)x46.limx0=049.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断，指出是哪类间断点。1f(x)-,x=1x150.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断，指出是哪类间断点。51.52.证明f(x)=x2是连续函数53.54.ln(1x)如0厂x21limlnxx1x155.试证方程2x33x2+2x-3=0在区间1,2至少有一根56.xm)tas馆辫57.试证正弦函数 y=sinx 在(-00,+00)内连续。58.函数 f(x)=xx；在点 x=0 处是否连续?x,x059.一 xsin,x0：-函数 f(x)=x是否在点 x0 连续?7答案：一.选择题1. A【分析】本题可直接推证

7、，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为F(x):f(t)dtC,且F(x)f(x).当F(x)为偶函数时，有F(x)F(x),于是F(x)(1)F(x),即f(x)f(x)，也即f(x)f(x),可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，贝U：f(t)dt为偶函数，从而F(x):f(t)dtC为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=：x2，排除(D);故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)

8、与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？2. D【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且limf(x)，所以x=0为第二类间断点；x0limf(x)0,limf(x)1,所以x=1为第一类间断点，故应选(D).x【评注】应特别注意：limL,lim匚.从而limex1,x1x1x1x1x1xlimex10.x183C4A5C6C7A8CXoo 时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”原式=iim(K1)(1)lim11.(有理化法)皿 x(x11)皿 X1129D10C9tan

9、x(1cosx)(2x)3x-lx2lim23x08x3注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则xx(2x)30.二.填空题11.12.13.14.15.16.x1,2错误！原式1023.24.e225.1626.ln3;27.328.解：由x+2A0解得x-2由x1乒0解得x乒1由52x0解得xV2.5函数的定义域为x|2.5x-2 且 x 乒 1或表示为(2.5,1)U(1,-2)17.()0,)18.(,)(1,0,119.在某一极限过程中，以 0 为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量20.函数 yf(x)在点 x0 有

10、定义；2xrX0 时极限xx(X)存在；JJimf(x)f(x0)3极限值与函数值相等，即x0三.计算题21.【分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则【详解】1x1xx21exxx21exlim(-)limlim2x01exxx0 x(1ex)x0 x2=limxx2xe2e=limx02x22.f(x)=3lnx+1x01129.、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的12字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义域不相同不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同30.解：f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x,f(f(x)=f(x2-1)=(x2-1)2-

11、1=x4-2x2f(f(3)+2)=f(32-1+2)=f(10)=9931.解：nlim_2-,3n5n126n4nlimn_2-,3n5n12n26n4n72nlimn5n4n12n72nlimnlim6n135lim-n_n1n4limn32.解：limn33.解:limnlimn34.解:limn2n3n2n3n35.解:因为所以limn7limn1-2n1-2nlimnn(n1)22nn)limn(、 一n1limnlimnlimn2n2n2n)(、n1n1；n.n)1、nn1n(-)n3印32,limy1,limnnn1limnnlim(2)nn、3lim(2)nn3limyx2函

12、数在指定点的极限不存在olimyx2lim1nlim1nlim1nlimyx213因为limysin00,limy30limyX0所以 函数在指定点的极限lim0limx3x3jx3limx3x9lim1x3limxlim3x3x3limx3x3x3lim一X3xlimALJlim(1x1)(1x1)x0 xx0 x(1x1)limxlimxlimx0limx0 x(1x1)xin31x12x33xlim2xlim1xx211lim一xx.1limxx2x23XX12limxxlim1xsin3xlimx13xT-3x1X.1lim7xx3limxlimx12x12x13x13x1limxx.

13、1limxxsin3xlim03x1cosxlimX0 xlim(1n1)nnlim(1n1)3nlimn1!imXx1-3Xlimx2sin2lim0lim0 xsin_2xlimn3637383940.41.42.43.44.1445.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.limxlimx耽11kxlim1xlimx1kxk1kkx1eklimf(x)xx0f(x。)limf(x)x0函数在xf(0)f(0)sinxlimx0 x10处连续。间断，函数在x=1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点间断，函数在x=0处左右极限不存在，第二类间断点间断，limf(x)0但

14、f(0)=1,两者不相等，第一类间断点x0证明：xe(oo,oo)因为limf(x)limx2(limx)2xx0 xx0 xx0所以limf(x)f(x)xx0因此，函数 f(x)=x2是连续函数。一22x0,f(x0)=XO证明:1:.ln(1x)xlimlimln(1x)xx0 xx0lnlim(11x)lne1limx1lnxlimx1lnx20 x1x1x1设f(x)=2x3x+2x3,则f(x)在1,2上连续，f(1)=2V0,f(2)根据零点定理，必存在一点Ee(1,2)使f(则 x=E 就是方程的根。=50E)=0,15,算、x1x2,原式 iimtanx(1cosx)limV

15、-1xb(2x)3xb8x31657.证 x(-8,+oo)，任给 x 一个增量x,对应的有函数 y 的增量y=sin(x+Ax)-sinx=2sin-cos(x 瑚).0y2sin号2顿x,由夹逼准则知， yr0(Zx0),再由 x 的任意性知正弦函数 y=sinx 在其定义域(-,+m)上处处连续，即它是连续函数。58.解注意 f(x)是分段函数，且点 x0 两侧 f 表达式不一致。解法 1f(0-0)=lim(x)0,x0f(0+0)=Jimx0,limf(x)0.又 f(0)=0,-函数 f(x)=x 在点 x=0 处连续(图 119)。解法 2limf(x)lim(x)0f(0),-函数在点 x0