-学年度苏教版八年级一次函数知识点整理

1、苏教版八年级上学期一次函数知识点整理最新知识点1一次函数和正比例函数的概念假设两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+bk，b为常数，kWO的形式，那么称y是x的一次函数x为自变量，特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。例如：产2x+3，y=-x+2，y=等都是一次函数，y=22x，y=-x都是正比例函数。【说明】1一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定。2一次函数y=kx+bk，b为常数，bWO中的“一次和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数。3当b=O，kWO时，

2、尸b仍是一次函数。4当b=0，k=0时，它不是一次函数。探究交流有人说：''正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别。点拨这种说法不完全正确。正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当b=0时，一次函数才能成为正比例函数。知识点2确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x的代数式表示y。知识点3函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线。知

3、识点4一次函数的图象由于一次函数产kx+bk，b为常数，kWO的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b。由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，般选取两个特殊点：直线与y轴的交点0，b，直线与x轴的交点-2，0。但也不必一定选取这两个特殊点。k画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点0，0，1，k即可。知识点5一次函数厂kx+bk，b为常数，k#0的性质<lk的正负决定直线的倾斜方向；k>0时，y的值随x值的增大而增大；k<0时，y的值随x值的增大而减小。<2k大小决定直线的倾斜程度，即k

4、越大，直线与x轴相交的锐角度数越大直线陡，Ikl越小，直线与x轴相交的锐角度数越小直线缓;3b的正、负决定直线与y轴交点的位置：当b>0时，直线与y轴交于正半轴上：当bVO时，直线与y轴交于负半轴上；当b二0时，直线经过原点，是正比例函数。4由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图1所示，当k>0，b>0时，直线经过第一、二、三象限直线不经过第四象限；如图11182所示，当k>O，b>O时，直线经过第一、三、四象限直线不经过第二象限；如图11183所示，当卜<05>0时，直线经过第一、二、四象限直线不经过第三象限；如图11-184所示，当k&

5、lt;0，b<0时，直线经过第二、三、四象限直线不经过第一象限。5由于Ik|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的。另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x+l可以看作是正比例函数y二x向上平移一个单位得到的。知识点6正比例函数y=kxkWO的性质1正比例函数y二kx的图象必经过原点；2当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；3当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。知识点7点PXy0与直线y=kx+b的图象的关系1如果点Px。，y。在直线y=kx+b的图象上，那么x。，y。的值必

6、满足解析式y=kx+b：2如果x。，y。是满足函数解析式的一对对应值，那么以X。，y。为坐标的点Pxo，y0必在函数的图象上。例如：点Pl，2满足直线y=x+l，即x=l时，y=2，那么点Pl，2在直线y=x+1的图象上;点P2，1不满足解析式y=x+l，因为当x=2时，y=3，所以点P'2，1不在直线y=x+1的图象上。知识点8确定正比例函数及一次函数表达式的条件1由于正比例函数尸kxkWO中只有一个待定系数k，故只需一个条件如一对x，y的值或一个点就可求得k的值。2由于一次函数y=kx+bkHO中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两

7、个条件通常是两个点或两对x，y的值。知识点9待定系数法先设待求函数关系式其中含有未知常数系数，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。其中未知系数也叫待定系数。例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数。知识点10用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤1设函数表达式为y=kx+b；2将点的坐标代入函数表达式，解方程组：3求出k与b的值，得到函数表达式。例如：一次函数的图象经过点2，1和-1，一3求此一次函数的关系式。解:设一次函数的关系式为y=kx+bkWO，由题意可知，l=2k+b，3=k+b，k=±，345，此函数的关系式为y;533

8、b=一。3【说明】此题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设根据题中要求的函数“设关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且kWO：第二步，代根据题目中的条件，列出方程或方程组，解这个方程或方程组，求出待定系数k，b：第三步，求把求得的k，b的值代回到''设的关系式y=kx+b中；第四步，写写出函数关系式。知识点11一次函数与一次方程组、不等式的关系解一次方程组与不等式问题一次函数问题从“数的角度从“形的角度解一元一次方程kx+b=0当一次函数y=kx+b的函数值y值等于。时求自变量X的值当直线y=kx+b上点的纵坐标为0时，求这个点的横坐标是什么？即求

9、直线与x轴的交点坐标解一元一次方程当一次函数y=kx+b的函数值y当直线y=kx+b上点的纵坐标为c时，kx+b=c值等于c时求自变量X的值求这个点的横坐标是什么？解一元一次不等式当一次函数y=kx+b的函数值y当直线y=kx+b上的点的纵坐标大于kx+b>0(nJc<0)值大于0或小于0时求自变量X的值0或小于0时，求这些点的横坐标在什么范围？即求直线与X轴的交点坐标的上方或下方的局部直线的横坐标的范围解一元一次不等式kx+b>m或<m当一次函数y=kx+b的函数值y值大于m或小于m时求自变量x的值当直线y=kx+b上的点的纵坐标大于m或小于m时，求这些点的横坐标在什

10、么范围？解一元一次不等式kx+b>mx+n当一次函数y=kx+b的值大于mx+n的值时，对应的自变量x的范围是多少？在相同横坐标的情况下，当直线y=kx+b上的点的纵坐标大于直线产mx+n上的点的纵坐标时，求这些点的横坐标在什么范围？解二元一次方程组y=kx+by=mx+n当一次函数y=kx+b与y=mx+n的值相等时，对应的自变量x的值是多少？这个函数值是多少？当直线y=kx+b与直线y=mx+n相交时求交点坐标思想方法小结：1函数方法。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法。函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函

11、数方法可以解决许多数学问题。2数形结合法。数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用。知识规律小结1常数k，b对直线y=kx+bkHO位置的影响。当b>0时，直线与y轴的正半轴相交：当b=0时，直线经过原点：当b<0时，直线与y轴的负半轴相交。当k，b异号时，即一>o时，直线与x轴正半轴相交；k当b=0时，即一二0时，直线经过原点；k当k，b同号时，即一2co时，直线与x轴负半轴相交。K当b>O，b>0时，图象经过第一、二、三象限；当k>0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b&g

12、t;0，b<0时，图象经过第一、三、四象限；当k<O，b>0时，图象经过第一、二、四象限；当k<0，b=0时，图象经过第二、四象限；当bVO，b<0时，图象经过第二、三、四象限。2直线厂kx+bkHO与直线y二kxkWO的位置关系。直线y=kx+bk#0平行于直线y=kxkW0当b>0时，把直线y二kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b：当b<0时，把直线y二kx向下平移|bI个单位，可得直线y=kx+b。<3直线b尸k，x+E与直线为=k？x+b式匕W0，屋工0的位置关系。k*Hk。%与y二相交：k丰k、<2U>y，与y：相交于

13、y轴上同一点(0，bj或(0，b，)；也=2？Oy，与北平行；lA工b2卜=k®<1"o%与力重合也=b2典型例题例1y3与x成正比例，且x=2时，y=7。(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当x=4时，求y的值；(3)当丫:4时，求乂的值。分析由y-3与x成正比例，那么可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，那么可以写出关系式。解:(1)由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx。把x=2，y=7代入y-3=kx中彳导7-3=2k，k=2。y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3。(2)当x=4时，y=2x4+3=l1。(3)y=4B，4=2x

14、+3，/，x=y。学生做一做y与x+1成正比例，当工=5时，y=12，那么y关于x的函数关系式是。老师评一评由y与X+1成正比例，可设y与X的函数关系式为X=k(x+1)。再把x=5，y=12代人求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式。设y关于x的函数关系式为y=k(x+1)。，。当x=5时，y=12，。-。12=(5+l)k，/。k=2。1。y关于x的函数关系式为y=2x+2。【注意】y与x+工成正比例，表示y=k(x+l)，不要误认为y=kx+1。例2(2003哈尔滨)假设正比例函数y=x的图象经过点A(X1，%)和点B(x2，y:)，当x，<x二时，yy2，那么m的取值范围是()

15、A。m<0B。m>0C，m<D。m>22汾析此题考查正比例函数的图象和性质，因为当XiVX2时，y1>y2，说明y随X的增大而减小，所以l-2m<O，故正确答案为D项。2例3(2003陕西)己知宜线y=2x+1。(1)求直线与y轴交点M的坐标：<2)假设直线y=kx+b与己知直线关于y轴对称，求k，b的值。老师评T(1)令x=O，那么y=2xO+l=l，;M(0，1)。直线y=2x+1与y轴交点M的坐标为(0，1)(2)，。直线丫=kx+b与y=2x+l关于y轴对称，两直线上的点关于y轴对称。又。直线y=2x+l与x轴、y轴的交点分别为A(1，0)fB

16、(0，l)，。A(-1，0)，B(0，1)关于y轴的对称点为A'(-)，0)，B'(0，l)。直线y=kx+b必经过点A'(-；，0)，B'(0，1)。把A'(，0)B(0，1)代入y=kx十b中得20=k+b，k=-2，_。d<2。k=-2，b=l。1 =0+，=L小结当两条直线关于x轴(或y轴)对称时，那么它们图象上的点也必关于x轴(或y轴)对称。例如:对于两个一次函数，假设它们关于x轴对称，求出一个一次函数和x轴、y轴的交点，再分别求出这两个点关于x轴的对称点，利用求出的两个对称点，就可以求出另一个函数的解析式。例4己知y+2与x成正比例，且

17、x=-2时，y=0。(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)观察图象，当x取何值时，y20？(4)假设点(m，6)在该函数的图象上，求m的值；(5)设点P在y轴负半轴上，(2)中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且Szb产4，求P点的坐标。分析由y+2与x成正比例，可设y+2=kx把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点(m，6)在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出解:(l)，y+2与x成正比例，。设y+2=kx(k是常数，且kwO)。当x=-2时，y=0。，0+2=k(-2)，k=-1。二。函数

18、关系式为x+2=-x，即y=-x-2。(2)列表；X0-2y-20描点、连线，图象如图11-23所示。(3)由函数图象可知，当X*2时，y>0。，当x<-2时，yO。(4)。点(m，6)在该函数的图象上，/。6=-m-2r/。m=-8。(5)函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A，B两点，A(-2，0)，B(0，-2)。"。1S，abp=1-|AP|-|OA|=4，QQ/。|BP|=-=-=4。，点P与点B的距离为4IOAI2又B点坐标为(0，-2)，且P在y轴负半轴上，。P点坐标为(0，-6)。例5一次函数y二(3-k)x-2k2+18。(1)k为何值时，它的图象经过原点

19、？(2)k为何值时，它的图象经过点(0，-2)？(3)k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？(4)k为何值时，它的图象平行于直线产-x？(5)k为何值时，y随工的增大而减小？汾析函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y轴的交点在y轴上方，说明常数项b>O;两函数图象平行，说明一次项系数相等;y随x的增大而减小，说明一次项系数小于0。解：(1)图象经过原点，那么它是正比例函数。2-2"+1&=°，。，次二_2。，当k=-3时，它的图象经过原点。3(2)该一次函数的图象经过点(0，-2)。-2=-21<2+18，且3-1<00，。人士、

20、伍。当k二士、历时，它的图象经过点(0，-2)(3)二图象与y轴的交点在x轴上方，即b>0。-2k2+18>0，。3<k<3f。当-3<k<3时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方。(4)函数图象平行于直线y=-x，。二3-k=-L。k=4。当k=4时，它的图象平行于直线x=-x。(5)。随x的增大而减小，/。3-k<O。k>3。，当k>3时，y随x的增大而减小。525例6直线y=kx+b经过点(±，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积为三，求此直线的解析式。24错解：:直线经过点(-r0):0=k+b，22设直线y=kx+b与x轴、

21、y轴的交点坐标分别为A(-2，0)，B(0，b)，K又S，abo=U，。Smbo=|OA|-|OB|=1。(->b=。422k4即！(-？)?=，2k4由得b二-k，代入中得k=-2b=5。2所求直线的解析式为y=-2x+5。分析上述解法出现了漏解的情况，由于解题时忽略了|OA|=|-？|，|OB|=|b|中的绝对值符号，因此，K也就漏掉了一个解析式。正解：，直线经过点(Lo)，。o=2k+b，22设直线y=kx十b与x轴、y轴的交点坐标分别为A(-g，0)3(0，b)，K。|OA|=|；|=R|，|OB|=|b|。KK又Saob=U。Saob=|OAIJOB|:白悯母422k4即？由得

22、b=-3k，代入中得|k|=2。2k42，ki=2，k2=-2，。bi=-5，b2=5。，所求直线的解析式为y=2x-5或y=-2x+5。例72004沈阳某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县。C，D两县运化肥到A，B两县的运费元/吨如下表所示。目地、C县D县A且3F40B县3045他、A且恸吨B1(60吨)ci(ICO吨)X100-xD且5。吨60-(100-x)运费最低时的吨，求总运费写出自变量xW元与x吨-x)+4560-D设C县运到A县的化肥为工W元与x吨的函数关系式，并的取值范围；2求最低总运费，并说

23、明总运送方案。分析利用表格来分析C，B两县的化肥情况如下表。那么总运费的函数关系式为：W=35x+4090-x+30100100-x=10x+4800。自变量x的取值范围是40WXW90。解：1由C县运往A县的你巴为x吨厕C县运往B县的化肥为100-x吨。D县运往A县的化肥为90-x吨，D县运往B县的化肥为X-40吨。由题意可知W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40)=10x+4800。自变量x的取值范围为40wxw90。，总运费W元与x吨之间的函数关系式为w=10x+480040<x<90。2vl0>0，-。W随x的增大而增大。当x=40时，Wg小

24、值=10x40+4800=5200元。运费图氐时，x=40，90-x=50吨，x40=0吨。，当总运费最低时，运送方案是:c县的100吨做巴40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨做巴全例82004黑龙江图11-30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y千米随时间x分变化的图象全程，根据图象答复以下问题。1当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？2这次比赛全程是多少千米？3当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？分析此题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能的关键是写出甲、乙两人在行驶中，路程y千米随时间x分变化的其中:乙的函数图象为正比例函数，而甲的函数图象那么是三段线段，第一数

25、，第二段和第三段是一次函数，需分别求出。解:1当15wx<33时，设yAB=kix+bi，把15，5和33，7代入，解得ki=1，bi=y，110Vab=-x+。93当y=6时，有6='x+W，/x=24。93比塞开始24分时，两人第一次相遇。2设yoD=mx，把4，6代入/彳导m=!，4当X=48时，y0D=-x48=12千米丁。这次比赛全程是12千米。43当33&X&43时，设ybc=k2X+b2，把33，7和43，12代入，1 119119解称k2=，b2=。Vbc=x。2 222y=-x"-，x=38，22得191y=y=x。412解方程组得，当比赛开始38分时，两人第二次相遇。，x=38。y轴交于1的两部2:1，故分就可以求例9(2004济南)如