上海高中数学习题、公式及方法文集

1、第1课时 椭圆1. 椭圆上有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则 为 ( ) A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定 答案: C解析: 设直线方程为 ,解出,写出2. 过椭圆的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( ) A. B. C. D. 答案: A 3. 过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为 （ ） A B. C. D. 答案: D解析: 同(2)4. 过原点的直线与曲线C:相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A B C D. 答案: D解析: 用弦长公式5. 椭圆上离顶点A(0,)最远点

2、为(0,成立的充要条件为( )A B C D.答案: C解析: 构造二次函数.6. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是 ( ) A (1, +) B C D 答案: D解析: 焦三角形AFO,如图: 为锐角. 转化为三角函数问题.7.椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是 解析: 焦半径公式.8. 圆心在轴的正半轴上,过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 9. 如果满足则的最大值为 解析: 三角代换.10.已知曲线按向量平移后得到曲线C. 求曲线C的方程;过点D(0, 2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间,设,求实数的取值范围.解: 由已

3、知设点P(满足,点P的对应点Q( 则 . 当直线的斜率不存在时,此时; 当直线的斜率存在时,设:代入椭圆方程得: 得设,则 , 又 则 . .又由 ,得,即即,又综上:第2课时 双曲线1. 已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为 ( ) A. B. 8 C. D. 随的大小变化 答案: A2. 过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样的直线存在 ( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条答案: D3. 直线与曲线的交点个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个. 答案: D 4. P为双曲线上一点,为一个焦点,

4、以为直径的圆与圆的位置关系为 ( )A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 无公共点或相交.答案: C 5. 设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足, 则的面积为 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 答案: A6 设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时, 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. D. 2答案: A7.设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为 8、 双曲线两条渐进线方程为,一条准线方程为,则双曲线方程为 9. 已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴且与圆相交于A(4, -1),若此圆在点A的切线与双曲线的一条渐

5、进线平行,则双曲线的方程为 10. 直线和双曲线的左支交于不同两点,则的取值范围是 解析: 用判别式和韦达定理 11. 是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足, 则 12. M为双曲线上异于顶点的任一点,双曲线的焦点为,设,求的值.第3课时 抛物线1. 过点(0, 2)与抛物线只有一个公共点的直线有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条. 答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点. 2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为 ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为 ( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 设圆心A(0

6、,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题.3. 抛物线 的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是 ( ) (A) (B) (C) (D) 答案: D 解析: 可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短. 4. 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则 ( ) A. 4 B. 2 C. D. 答案: A 解析: 所截线段长恰为通径5. (2000全国高考)过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于 ( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,6. 设抛物线的轴和它的准线交

7、于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q 两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 不确定 答案: C 解析: 向量解法: 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出7. 已知抛物线上一定点和两动点P、Q ,当P点在抛物线上运动时,则点Q的横坐标的取值范围是 ( ) A. B. C. -3, -1 D. 答案: D 解析: 均值不等式8. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 如图, 因为A、F、B三点共线所以 9. 一动点到轴距离比到点(2, 0)的距离小2

8、,则此动点的轨迹方程为 解析: 用抛物线定义. 10. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 解析: 考虑两种可能. 11. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为 米 解析: 坐标法 12. 以椭圆的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则 解析: 略 13. 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线必过的定点坐标为 解析: 设直线方程为 ,解出A点坐标,再写出B点坐标;写出直线方程.14. 抛物线的焦点弦AB,求的值.解:由 得 15.设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点 B、C在

9、轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形.解析: 设, , 由得 -又代入式得-由得 代入式得:由得或, 又由式知关于是减函数且, 且所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): (且) 16. 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) 求抛物线方程;求面积的最大值.解析: 设, AB中点 由得 又 得所以 依题意, 抛物线方程为 由及, 令得 又由和得: 第4课时 轨迹与轨迹方程1. 与圆x2+y2-4y=0外切, 又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ). A. y2=8x B. y2=8x

10、 (x>0) 和 y=0 C. x2=8y (y>0) D. x2=8y (y>0) 和 x=0 (y<0) 答案: D 解析: 设所求圆的圆心为, 已知圆圆心, 半径为2, 则或点在轴负半轴. 2. 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离比它到直线x=8的距离大1, 则动点M的轨迹方程为 ( ). A. y2=16(x-5) B. x2=16(y-5) C. x2=-16(y-5) D. y2=-16(x-5) 答案: D 解析: 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离等于它到直线x=9的距离. 所以动点M的轨迹是以点F(1,0)为焦点, 直线x=9为准线的的抛物线.

11、 3. 已知, A、B分别在y轴和x轴上运动, O为原点, 则动点P的轨迹方程是 ( ). A. B. C. D. 答案: A 解析: 由知: P点是AB的三等分点(靠近B), 设P(x,y), 则, 又, 由距离公式即得.4. A、B、C是不共线的三点, O是空间中任意一点, 向量, 则动点P的轨迹一定经过ABC的( ). A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 答案: C 解析: 向量与边中线的向量是平行向量, , 则点P在边中线上. 5. 已知两定点F1(-1,0) 、F2(1,0), 且是与的等差中项,则动点P的轨迹是( ). A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段

12、 答案: D 解析: 作图可知点P的轨迹为线段. 6. 已知点P(x,y)对应的复数z满足, 则点Q(x+y,xy)的轨迹是 ( ). A. 圆 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆 D. 双曲线的一部分 答案: B 解析: 设, 则, , 轨迹为抛物线的一部分. 7. 已知ABC的两个顶点A、B分别是椭圆 的左、右焦点, 三个内角A、B、C满足, 则顶点C的轨迹方程是( ). A. B. (x<0) C. (x.<-2 ) D. 答案: C 解析: , 点C 的轨迹是以A、B为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C与A、B不共线. 8. 抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1的焦点的轨

13、迹是 ( ). A. 抛物线 B. 直线 C. 圆 D. 线段 答案: B 解析: 设焦点坐标为M(x,y), 顶点, . 9. 点P在以F1、F2为焦点的椭圆上运动, 则PF1F2的重心G的轨迹方程是 . 答案: 解析:设, 代入即得, 再注意三角形三顶点不共线. 10. 过椭圆内一点M(2,0) 引椭圆的动弦AB, 则弦AB的中点N的轨迹方程是 . 答案: 解析: 设N(x,y), 动弦AB方程为, 与联立, 消去y得: , 消参即得.11. 直线l1: x-2y+3=0, l2: 2x-y-3=0, 动圆C与l1、l2都相交, 并且l1、l2被圆截得的线段长分别是20和16, 则圆心C的

14、轨迹方程是 . 答案: 解析: 设C(x,y), 点C到距离分别为, , 化简即得.12. 点P是曲线f(x , y)=0上的动点, 定点Q(1,1), ,则点M的轨迹方程是 . 答案: 解析: 设则:, 代入f(x , y)=0即得.13. 已知圆的方程为x2+y2=4, 动抛物线过点A(-1,0), B(1,0), 且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程是 . 答案: 解析: 设抛物线焦点为F, 过A、B、O作准线的垂线, 则, 由抛物线定义得: , , 故F点的轨迹是以A、B为焦点, 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)14. 设为坐标原点, 为直线上动点, , , 求点的轨迹方程

15、. 解: 设, 则由 得: , 即 , 由得: , 将代入得: , 且.所求点的轨迹方程为: .15. 半径为R的圆过原点O, 圆与x轴的另一个交点为A, 构造平行四边形OABC, 其中BC为圆在x轴上方的一条切线, C为切点, 当圆心运动时, 求B点的轨迹方程. 解: 设圆心为M(x0, y0), B(x,y), 则 又 BC为圆的切线, 得: , , 16. 如图, 已知线段在直线上移动, 为原点. , 动点满足. () 求动点的轨迹方程;() 当时, 动点的轨迹与直线交于两点(点在点的下方), 且, 求直线的方程. 解: () 由得: , 则为的外心, 设, 作, 则为中点, . 在中,

16、 , 又 , 因此点的轨迹方程为: () 当时, 动点的轨迹方程为: 设直线的方程为: , 直线的方程与联立, 得: , , 由, 得: , 代入得: ,因点在点的下方, 知: 不合题意, 舍去. 故所求直线的方程为: .第5课时 直线与圆锥曲线（1）1若倾角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点，则线段的长为（ ）（A） （B）（C）（D）（目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法）【答案】（B）【解析】由条件，过焦点的直线为代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得2直线与实轴在轴上的双曲线的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）

17、（目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置）【答案】（D）【解析】将直线代入双曲线求得，则有同理亦得，又对实轴在轴上的双曲线有，故。3过点可作条直线与双曲线有且只有一个公共点。（目的：掌握直线与双曲线交点的特殊性-与其渐近线的关系）【答案】4条【解析】设过点的直线为代入双曲线，求出有一个解的的值。或讨论与渐进线的斜率的关系。5已知抛物线的过焦点的弦为，且，又，则（目的：利用定义理解抛物线的焦点弦的特殊性质）【答案】2【解析】利用抛物线的定义，焦点弦，所以6椭圆长轴上的一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是。（目的：椭圆的对称性在解题中的运用）【答案】【解

18、析】设内接于椭圆的等腰直角三角形为，则，直线 求得，7已知抛物线与直线（1） 求证：抛物线与直线相交；（2） 求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围；（3） 当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值。（目的：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题）【解析】（1）由直线与抛物线总相交。（2）其顶点为，且顶点在直线 的下方，即。（2）设直线与抛物线的交点为，则当8 已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（I）求双曲线的方程；(II)动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。 （目的：借

19、用中点弦的特性，及三角形的重心的知识讨论双曲线上关于直线对称的两点的存在性）【解析】（I）设所求的双曲线方程为且双曲线经过点，所以所求所求的双曲线方程为。(II)由条件的坐标分别为，点坐标为假设存在直线使平分线段设的坐标分别为 得又即的方程为 由 消去整理得所求直线不存在。9一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于两点，求直线与双曲线的方程（目的：利用向量的观点和方程的思想，求直线与圆锥曲线的方程及有关性质）【解析】由双曲线方程为设直线则又因为则有： 由（1），（2）得代入（3）得所以，所求的直线与双曲线方程分别是第6课时 直线与圆锥曲线（2）1过点的直线与双曲线的右支交于两点，则直线的斜率的

20、取值范围是 （ ）（A）（B）（C）（D）（目的：掌握判断直线与双曲线位置关系的基本方法）【答案】（B）【解析】直接法：由题意，点是双曲线的右焦点，过的直线平行于渐进线时，此时与双曲线只有一个交点，若使交点同在右支，则。2已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点，则直线的方程是 （ ） （A）（B）（C）（D）（目的：能够利用直线与圆锥曲线的特殊位置关系求出相关量）【答案】（D）【解析】由题设，设直线方程为则：代入方程检验即可。3过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（ ）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条（目的：掌握判断直线与抛物线位置关系的方法）【答案

21、】（B）【解析】当直线垂直于轴时满足条件，当直线不垂直于轴时，设直线方程为满足条件的直线有两条。4已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为正三角形，求该正三角形的边长。（A）（B）（C）（D）无法确定（目的：理解抛物线的对称性在解题中的运用）【答案】（C）【解析】利用抛物线的对称性求解。【答案】（D）【解析】设点按向量平移后的点为，则，设平移后的切线方程为，代入（1）得5抛物线上不存在关于直线对称的两点，求的范围（目的：学会运用间接、假设的方法解决存在性问题）【答案】【解析】若时，不存在。若时，设有这样的两点，则 上，且消恒成立，故满足条件。6 已知中心在原点的椭圆经过点，则该椭圆的半长轴长的

22、取值范围是。（目的：学会运用函数的观点解决几何问题）【答案】【解析】不妨设椭圆方程为，椭圆经过点，则又根据图有再由7如图点，点在轴上运动，点在轴上，为动点，且（）求点的轨迹的方程；（）过点的直线（不与轴垂直）与曲线交于两点，设点， 与的夹角为，求证：（目的：能够将向量形式所表达的图形的几何性质转化为解析式，并学会运用向量的方法解决问题）【解析】（）设即为的中点， 为所求的曲线方程。（）设的方程为，由 消去得设则，8已知双曲线的两条渐进线过坐标原点，且与以点为圆心，为半径的圆相且，双曲线的一个顶点与点关于直线对称，设直线过点，斜率为。（）求双曲线的方程；（）当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到

23、直线的距离为，求斜率的值和相应的点的坐标。（目的：理解双曲线的渐进线、对称性及等轴双曲线的特征，并运用他们之间的关系解决问题）【解析】（）设双曲线的渐进线方程是与圆相切，渐进线方程为，又双曲线的一个顶点关于的对称点为双曲线的方程为。（）直线 设在上方与平行且相距的直线的直线方程是由的方程是代入，解得（）当时方程只有一组解，符合题意。此时（）当时，由与有且只有一个公共点，得综上所述：9已知抛物线：和抛物线：是否存在直线，使直线与抛物线从下到上顺次交于点且这些点的纵坐标组成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说出理由【解析】解：（1）假设存在直线符合题意，解当时，有同理，解当时，有若组成

24、等差数列，则无解。（1） 假设直线的斜率不存在，设想方程），代入代入若组成等差数列，则，解得存在直线满足题意。第7课时 圆锥曲线的几何性质1已知点是抛物线上的动点，焦点为，点的坐标是，则的最小值是（ ）（A） （B）（C）（D）（目的：熟练掌握抛物线的定义在解题中的灵活应用。【答案】（C）【解析】由抛物线的定义，三点共线时最小2（2003年全国高考.文）双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，则双曲线的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）（目的：理解焦点三角形中各边之间的关系）【答案】（B）【解析】由条件，利用余弦定理求解。3已知是抛物线上的任意两点，是焦点，是准线，若三点共线，那么以弦为直径的

25、圆与的位置关系是（ ）（A）相交（B）相切（C）相离（D）不确定（目的：加深对椭圆的第二定义的理解，并推广到双曲线和抛物线）【答案】（B）【解析】利用抛物线的定义，将的长转化为到准线的距离即可。4 等轴双曲线的两个顶点分别为，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点，则（目的：理解用向量的方法解决有关夹角的问题有其简便之处）【答案】【解析】写出的坐标，利用向量的坐标运算求解。5 过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点，已知|AB|=10,O为坐标原点，则OAB的重心的坐标是（目的：运用抛物线焦点弦的性质求重心坐标）【答案】【解析】设则重心，因为直线过焦点，所以又，所以6（2001高考广东、河南卷

26、） 已知椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上，且轴。求证：直线经过线段的中点。（目的：结合例1，进一步探讨圆锥曲线的共性）【解析】由题设，椭圆的半焦距，由焦点，右准线方程为点的坐标为，的中点为。若垂直于轴，则中点为，即过中点。若直线不垂直于轴，由直线过点，且由轴知点不在轴上，故直线的方程为，记 ，且满足二次方程即又得故直线的斜率分别是故三点共线，所以，直线经过线段的中点7已知：若点满足。（I）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？(II）求的取值范围；(III)若求上的取值范围。（目的：运用向量、函数、不等式工具探讨圆锥曲线的轨迹和几何性质）【解析】设为点

27、的轨迹方程，该曲线是以为焦点，长轴长为4的椭圆。(II）为椭圆的右焦点，为右准线，设到右准线的距离为当时，当时，(III)令8，已知是长轴为4的椭圆上的三点，点是长轴的一个顶点，过椭圆中心 （如图），且，（I）求椭圆的方程；（）如果椭圆上的两点，使的平分线垂直于，是否总存在实数，使。请给出证明。（目的：综合运用向量、直线与圆锥曲线的位置关系、对称性等几何性质解决问题）【解析】（I）由条件，设所求的椭圆方程为 其中， 则，且 代入椭圆方程得 即椭圆方程为（）若的平分线垂直于，则倾斜角互补，设所在的直线方程为 由方程组 可得 且，代入中可得同理可得又 总存在使第8课时【综合训练】1是任意实数，则方

28、程x2y2sin4的曲线不可能是( )A椭圆B双曲线C抛物线D圆解析：当sin1，0)时，方程x2y2sin4的曲线是双曲线；sin0时，方程的曲线是两条平行直线；sin(0，1)时，方程的曲线是椭圆；sin1时，方程的曲线是圆答案：C2已知椭圆1的一条准线方程为y8，则实数t的值为( )A7或7B4或12C1或15D0解析：由题设yt±7，yt±78，t1或15答案：C3双曲线1的离心率e(1，2)，则k的取值范围是( )A(，0)B(12，0)C(3，0)D(60，12)解析：a24，b2k，c24ke(1，2)，(1，4)，k(12，0)答案：B4以1的焦点为顶点，顶

29、点为焦点的椭圆方程为( )A1B1C1D 1解析：双曲线1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±)椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±)在椭圆中a4，c，b24椭圆的方程为1答案：D5过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于( )A2aBC4aD解析：当直线平行于x轴时，由于F点的纵坐标为，因此xP，xQ，4a答案：C6过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则等于( )A4B4Cp2D以上都有可能解析：由已知ABx1x2，(x

30、1x2)2(y1y2)2(x1x2p)2，整理得4x1x22y1y2p20，又2px1y12，2px2y22，4x1x2，2y1y2p20，y1y2p2，x1x2，4答案：B7抛物线yx2到直线 2xy4距离最近的点的坐标是( )AB(1，1)CD(2，4)解析：设P(x，y)为抛物线yx2上任一点，则P到直线的距离d，x1时，d取最小值，此时P(1，1)答案：B8与1(ab0)的渐近线( )A重合B不重合，但关于x轴对称C不重合，但关于y轴对称D不重合，但关于直线yx对称解析：双曲线的渐近线方程为y±1的渐近线方程y±x、yx与yx关于直线yx对称，yx与yx关于直线yx

31、对称答案：D9动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点( )A(4，0)B(2，0)C(0，2)D(0，2)解析：直线x20为抛物线y28x的准线，由于动圆恒与直线x20相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点(2，0)答案：B10设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是( )AB1CD解析：设P(x0，y0)，则3x03cosF1PF2当x00时，cosF1PF2最小，最小值为答案：A11已知点A(0，1)是椭圆x24y24上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P

32、的坐标是_解析：点P在椭圆上，设点P的坐标为(2cos，sin)，则AP当sin时，AP最大，此时P的坐标为(±)答案：(±)12已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦如果PF2Q90°，则双曲线的离心率是_解析：由PF2QF2，PF2Q90°，知PF1F1F2即，e22e10，e1或e1(舍)答案：113已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则抛物线的方程为_解析：圆的方程可化为(x3)2y216，抛物线的准线为x，由题设可知34，p2抛物线的方程为y24x答案：y24x14点P(8，1)平分双曲线x24y24的一条弦，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x12