正方形中三垂直结构

1、 正方形专题一-正方形中的三垂直结构一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等都是45边之间的关系：任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下根本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。（1） 以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形 三垂直模型2以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：拓展：双三垂直相关结论：1.假设ADC和CBE为等腰直角三角形，F为A

2、B上一动点，假设DFEF那么DF=EF. 2.假设ADC和CBE为等腰直角三角形，F为AB上一动点，假设DF=EF那么DFEF. 3.假设ADC为等腰直角三角形，DF=EF，DFEF那么CBE为等腰直角三角形例1如图，在正方形ABCD中1假设点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；2假设P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQMN成立吗？为什么？ 例2如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AMMN于M，CNMN于N，BRMN于R1求证：ADMDCN：2求证：MN=AM+CN；3试猜想BR

3、与MN的数量关系，并证明你的猜想 例3如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1l2l3，假设l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，那么正方形ABCD的面积等于 例4.如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点Ba,b在第四象限且满足1求点B的坐标；2，E,F为OC,OA上的动点，连接BE，CF交于M点，满足OEF=45，是否存在点E,F，使得BECF？假设存在，求出E,F的坐标；假设不存在，请说明理由；3F在线段OA上，连BF，作OMBF于M，ANBF于N，当F在线段OA上运动时不与O、A重合，的值是否

4、变化假设变化，求出变化的范围；假设不变，求其值例5如图，直线AB交x轴正半轴于点Aa，0，交y 轴正半轴于点B0， b，且a 、b满足 + |4b|=0 1求A、B两点的坐标； 2D为OA的中点，连接BD，过点O作OEBD于F，交AB于E，求证BDO=EDA； 3如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtPBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？假设不变，求其值；假设变化，求线段OQ的取值范围.ABODEFyxABOMPQxy例题6、1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE。2、正方形AB

5、CD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N。1求证：MDMN；2假设将上述条件中的“M是AB的中点改为“M是AB上任意一点，其余条件不变，那么结论“MDMN还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 例7、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q1如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；2如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想例8.如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，DAE的平

6、分线交CD于F，BGAF于G，交AE于H1如图1，DEA=60，求证：AH=DF；2如图2，E是线段CD上不与C、D重合任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；3如图3，E是线段DC延长线上一点，假设F是ADE中与DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系画图，直接写出结论，不需证明例9.操作，将一把含45的直三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为。1当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；2

7、当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为，求与之间的函数关系式。3当点P在线段AC上滑行时，PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值；如果不可能，请说明理由题目中的图形形状大小都相同，供操作用。 课堂练习1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE。2、正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N。1求证：MDMN；2假设将上述条件中的“M是AB的中点改为“M是AB上任意一点，其余条件不变，那么结论“MDMN还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PEBC于E，PFDC于F。求证：1APEF；2APEF。 4、.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBE1求证：AF=BE；2如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？并说明理由 5、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AGEB于G，AG交BD于点F，那么OEOF，对上述命题，假设点E在AC的延长线上，AGEB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长