策略型博弈概述

1、第二部分非合作博弈理论 第二章第二章 策略型博弈策略型博弈第三章第三章 扩展型博弈扩展型博弈第四章第四章 贝叶斯博弈贝叶斯博弈第五章第五章 动态贝叶斯博弈动态贝叶斯博弈 主要内容主要内容第一节第一节 策略型博弈的表示策略型博弈的表示第二节第二节 重复剔除严格劣策略均衡重复剔除严格劣策略均衡第三节第三节 纳什均衡纳什均衡第四节第四节 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡第五节第五节 纳什均衡的存在性纳什均衡的存在性 第二章第二章 策略型博弈策略型博弈 同时行动，如何决策同时行动，如何决策 策略型策略型( (标准型）表述标准型）表述 适合表示静态博弈适合表示静态博弈扩展型表述扩展型表述 适合表示动态博

2、弈适合表示动态博弈 博弈有两种表述方法博弈有两种表述方法一、策略型博弈的含义一、策略型博弈的含义 完全信息静态博弈又称为策略型博弈完全信息静态博弈又称为策略型博弈。完全信息完全信息是指是指局中人对自己与其他局中人的所有与博弈有关的事前信息局中人对自己与其他局中人的所有与博弈有关的事前信息（策略空间、支付函数等）有充分的了解（策略空间、支付函数等）有充分的了解( (局中人的支付函局中人的支付函数是共同知识数是共同知识) )。静态博弈静态博弈是指在博弈中，局中人同时采取是指在博弈中，局中人同时采取行动，或者局中人的行动有先有后，但后行动者不能知道行动，或者局中人的行动有先有后，但后行动者不能知道先

3、行动者的行动选择。先行动者的行动选择。 第一节第一节 二、策略型博弈的三个要素：二、策略型博弈的三个要素： 1 1、局中人（、局中人（Players): 1, 2, , nPlayers): 1, 2, , n； 2 2、策略（、策略（Strategies): Strategies): ; ; 3 3、支付函数、支付函数 （Payoff Payoff functions)functions)表示为：表示为： 第一节第一节 niSsii,.,2 , 1, ,.,;,.,11nnuuSSG 1 1、有限博弈：、有限博弈： (1) (1) 博弈中局中人人数有限博弈中局中人人数有限; ; (2) (2

4、) 每个局中人只有有限个策略。每个局中人只有有限个策略。 2 2、零和博弈：、零和博弈： 博弈中局中人所获支付之和为零，即一方博弈中局中人所获支付之和为零，即一方所得为另一方所失。所得为另一方所失。 三三1 1、局中人、局中人：甲，乙：甲，乙2 2、策、策 略略： 坦白坦白, ,不坦白不坦白 3 3、支付函数、支付函数支付矩阵支付矩阵（双人有限博弈）（双人有限博弈） 每个位置上第一个数字表示局中人每个位置上第一个数字表示局中人1 1在对应的策略组合在对应的策略组合中得到的支付，第二个数字表示局中人中得到的支付，第二个数字表示局中人2 2的相应所获支付。的相应所获支付。 例例2.1 2.1 乙甲

5、SS 乙乙 甲甲坦白坦白不坦白不坦白坦白坦白-6 -6，-6 -6-1 -1，-8 -8不坦白不坦白-8 -8，-1 -1-2 -2，-2 -2 乙乙 甲甲石头石头剪刀剪刀布布石头石头0 0，0 01 1，-1 -1-1 -1，1 1剪刀剪刀-1 -1，1 10 0，0 01 1，-1 -1布布1 1，-1 -1-1 -1，1 10 0，1 1 田忌田忌 齐王齐王上中下上中下上下中上下中中上下中上下中下上中下上下上中下上中下中上下中上上中下上中下3 3，-3 -31 1，-1 -11 1，-1 -11 1，-1 -1-1 -1，1 11 1，-1 -1上下中上下中1 1，-1 -13 3，-3

6、 -31 1，-1 -11 1，-1 -11 1，-1 -1-1 -1，1 1中上下中上下1 1，-1 -1-1 -1，1 13 3，-3 -31 1，-1 -11 1，-1 -11 1，-1 -1中下上中下上-1 -1，1 11 1，-1 -11 1，-1 -13 3，-3 -31 1，-1 -11 1，-1 -1下上中下上中1 1，-1 -11 1，-1 -11 1，-1 -1-1 -1，1 13 3，-3 -31 1，-1 -1下中上下中上1 1，-1 -11 1，-1 -1-1 -1，1 11 1，-1 -11 1，-1 -13 3，-3 -3 局中人局中人：男，女：男，女 策策 略略

7、：男：看足球，看芭蕾：男：看足球，看芭蕾 女：看足球，看芭蕾女：看足球，看芭蕾 支付矩阵支付矩阵：见下一页：见下一页 例例2.4 性别大战（性别大战（battle of the sexes) 女女 男男足球足球芭蕾芭蕾足球足球3 3，2 21 1，1 1芭蕾芭蕾-1 -1，-1 -12 2，3 3 性别大战的支付矩阵性别大战的支付矩阵一、基本思想：一、基本思想： 如果一个局中人在任何情况下从某种策略中得到的支付如果一个局中人在任何情况下从某种策略中得到的支付均小于从另一种策略中得到的支付，那么显然对他而言，前均小于从另一种策略中得到的支付，那么显然对他而言，前一种策略劣于后一种策略。一种策略劣

8、于后一种策略。 从个人利益出发，被剔除的策略不会被局中人采用。从从个人利益出发，被剔除的策略不会被局中人采用。从而可以利用剔除严格劣策略的概念来简化博弈局势，可能会而可以利用剔除严格劣策略的概念来简化博弈局势，可能会得到博弈的解。得到博弈的解。第二节第二节 重复剔除严格劣策略均衡重复剔除严格劣策略均衡 , ,如果存在如果存在 ，对于所有的，对于所有的都有都有 且其中至少有一个为严格不等式且其中至少有一个为严格不等式 ，则称，则称 是第是第i i个个局中人的一个局中人的一个严格劣策略严格劣策略。 二、严格劣策略的定义二、严格劣策略的定义iiSs iiSs ),.,.(),.,.(111111ni

9、iiniiiSSSSSsssss),(),(iiiiiissussu is 1 1、根据、根据理性的局中人不会选择严格劣策略理性的局中人不会选择严格劣策略这一原则，可这一原则，可以通过重复剔除严格劣策略的方法对博弈进行求解。以通过重复剔除严格劣策略的方法对博弈进行求解。 2 2、其方法是其方法是：对每个局中人寻找严格劣策略，由于它不：对每个局中人寻找严格劣策略，由于它不会被局中人选择实施，所以找到一种后就可以将其从博弈会被局中人选择实施，所以找到一种后就可以将其从博弈局势中剔除，从而得到一种新的缩减后的博弈局势，对这局势中剔除，从而得到一种新的缩减后的博弈局势，对这种新局势重复上述过程，直到无

10、法找到新的严格劣策略为种新局势重复上述过程，直到无法找到新的严格劣策略为止止。 三、重复剔除严格劣策略三、重复剔除严格劣策略 对局中人甲而言，无论局中人乙采取何种策略，采用对局中人甲而言，无论局中人乙采取何种策略，采用“不坦白不坦白”策略得到的支付都小于采用策略得到的支付都小于采用“坦白坦白”策略。策略。局中人甲的局中人甲的“不坦白不坦白”策略严格劣于策略严格劣于“坦白坦白”策略策略. . “ “不坦白不坦白”策略都是一种严格劣策略，从而可以剔除。策略都是一种严格劣策略，从而可以剔除。博弈中局中人各自从自身利益出发的理性选择（博弈均博弈中局中人各自从自身利益出发的理性选择（博弈均衡解）就是衡解

11、）就是（坦白，坦白）（坦白，坦白）。 四四 乙乙 甲甲坦白坦白不坦白不坦白坦白坦白-6 -6，-6 -6-1 -1，-8 -8不坦白不坦白-8 -8，-1 -1-2 -2，-2 -2甲：甲：“不坦白不坦白”相对于相对于“坦白坦白”是严格劣策略是严格劣策略 乙乙 甲甲坦白坦白不坦白不坦白坦白坦白-6 -6，-6 -6-1 -1，-8 -8乙：乙：“不坦白不坦白”相对于相对于“坦白坦白”是严格劣策略是严格劣策略 乙乙 甲甲坦白坦白坦白坦白-6 -6，-6 -6 例例2.52.5 利用重复剔除严格劣策略求解利用重复剔除严格劣策略求解 乙乙 甲甲左左中中右右上上1 1，0 01 1，2 20 0，1

12、1下下0 0，3 30 0，1 12 2，0 0乙：乙：“右右”相对于相对于“中中”是严格劣策略是严格劣策略 乙乙 甲甲左左中中右右上上1 1，0 01 1，2 20 0，1 1下下0 0，3 30 0，1 12 2，0 0甲：甲：“下下”相对于相对于“上上”是严格劣策略是严格劣策略 乙乙 甲甲左左中中上上1 1，0 01 1，2 2下下0 0，3 30 0，1 1乙：乙：“左左”相对于相对于“中中”是严格劣策略是严格劣策略 乙乙 甲甲左左中中上上1 1，0 01 1，2 2 重复剔除重复剔除严格劣策略均衡是严格劣策略均衡是( (上上, ,中中) ) 乙乙 甲甲中中上上1 1，2 21 1、每

13、一步剔除需要局中人间相互了解的更进一步假定，、每一步剔除需要局中人间相互了解的更进一步假定，如果我们把这一过程应用到任意多步，需要假定如果我们把这一过程应用到任意多步，需要假定“局中人局中人是理性的是理性的”是共同知识。是共同知识。2 2、这一方法对博弈结果的预测经常是不准确的、这一方法对博弈结果的预测经常是不准确的. . 五、重复剔除严格劣策略有两个缺陷五、重复剔除严格劣策略有两个缺陷 乙乙 甲甲石头石头剪刀剪刀布布石头石头0 0，0 01 1，-1 -1-1 -1，1 1剪刀剪刀-1 -1，1 10 0，0 01 1，-1 -1布布1 1，-1 -1-1 -1，1 10 0，0 0 利用重

14、复剔除严格劣策略无法求解利用重复剔除严格劣策略无法求解 例例2.62.6 利用重复剔除严格劣策略无法求解利用重复剔除严格劣策略无法求解 乙乙 甲甲左左中中右右上上0 0，4 44 4，0 05 5，3 3中中4 4，0 00 0，4 45 5，3 3下下3 3，5 53 3，5 56 6，6 6F大多数的博弈局势中使用剔除严格劣策略的大多数的博弈局势中使用剔除严格劣策略的方法能够对博弈局势进行简化，但可能得不方法能够对博弈局势进行简化，但可能得不到博弈的均衡解。到博弈的均衡解。F需要引入非合作博弈理论中的核心概念需要引入非合作博弈理论中的核心概念 纳什均衡纳什均衡 ( (Nash Equili

15、briumNash Equilibrium) )。 六、注意六、注意一、纳什均衡的思想一、纳什均衡的思想 “双赢双赢” ” 或或 “ “多赢多赢” ” 第三节第三节 纳什均衡纳什均衡它是关于博弈结局的一致性预测它是关于博弈结局的一致性预测 如果所有局中人预测一个特定的纳什均衡会出如果所有局中人预测一个特定的纳什均衡会出现，那么这种均衡就会出现。现，那么这种均衡就会出现。 只有纳什均衡才能使每个局中人均认可这种结只有纳什均衡才能使每个局中人均认可这种结局，而且他们均知道其他局中人也认可这种结局。局，而且他们均知道其他局中人也认可这种结局。 二、纳什均衡的意义二、纳什均衡的意义 1 1、博弈的纳什

16、均衡博弈的纳什均衡是这样一种最优策略组合，是这样一种最优策略组合，是一种你好、我好大家都好的理性结局，其中每一是一种你好、我好大家都好的理性结局，其中每一个局中人均不能也不想单方面改变自己的策略而增个局中人均不能也不想单方面改变自己的策略而增加收益，每个局中人选择的策略是对其他局中人所加收益，每个局中人选择的策略是对其他局中人所选策略的最佳反应。选策略的最佳反应。 三、纳什均衡的定义三、纳什均衡的定义 2 2、数学定义：、数学定义： 在策略型博弈在策略型博弈 中，如果对于每个局中中，如果对于每个局中人人i i，存在，存在 ，都有，都有 或或 则称策略组合则称策略组合 是此博弈是此博弈G G的一

17、个的一个纳什均衡纳什均衡。iiSs iiiiiiiiSsssussu),(),(),.,(1nss,.,;,.,11nnuuSSG nissusiiiSsiii,.,2 , 1, ),(maxarg 三、纳什均衡的定义三、纳什均衡的定义1 1、双人有限博弈：双划线法、双人有限博弈：双划线法 首先对局中人首先对局中人2 2的每一个策略，局中人的每一个策略，局中人1 1寻找支付最大寻找支付最大的策略，在其对应支付下划线；的策略，在其对应支付下划线； 然后对局中人然后对局中人1 1进行相应的步骤；进行相应的步骤； 最后，凡是两个局中人支付下均被划线的结局就是纳最后，凡是两个局中人支付下均被划线的结局

18、就是纳什均衡。什均衡。 四、纳什均衡的求法四、纳什均衡的求法用双划线法可以求出纳什均衡用双划线法可以求出纳什均衡： （坦白，坦白），（坦白，坦白），（-6 -6，-6 -6）意义：揭示个人理性与集体理性之间的矛盾意义：揭示个人理性与集体理性之间的矛盾。 例例2.12.1 乙乙 甲甲坦白坦白不坦白不坦白坦白坦白-6 -6，-6 -6-1 -1，-8 -8不坦白不坦白-8 -8，-1 -1-2 -2，-2 -2 乙乙 甲甲坦白坦白不坦白不坦白坦白坦白-6 -6，-6 -6-1 -1，-8 -8不坦白不坦白-8 -8，-1 -1-2 -2，-2 -2 乙乙 甲甲坦白坦白不坦白不坦白坦白坦白-6 -6

19、，-6 -6-1 -1，-8 -8不坦白不坦白-8 -8，-1 -1-2 -2，-2 -2 局中人：大猪，小猪局中人：大猪，小猪 策策 略：大猪：按，等待略：大猪：按，等待 小猪：按，等待小猪：按，等待 支付矩阵：见下一页支付矩阵：见下一页 纳什均衡：纳什均衡：（按，等待）（按，等待） 例例2.72.7 智猪博弈（智猪博弈（boxed pigs)boxed pigs) 小猪小猪 大猪大猪按按等待等待按按5 5，1 14 4，4 4等待等待9 9，-1 -10 0，0 0 例例2.72.7 智猪博弈的支付矩阵智猪博弈的支付矩阵 小猪小猪 大猪大猪按按等待等待按按5 5，1 14 4，4 4等待等

20、待9 9，-1 -10 0，0 0 小猪小猪 大猪大猪按按等待等待按按5 5，1 14 4，4 4等待等待9 9，-1 -10 0，0 0 女女 男男足球足球芭蕾芭蕾足球足球3 3，2 21 1，1 1芭蕾芭蕾-1 -1，-1 -12 2，3 3 例例2.42.4 性别大战博弈的支付矩阵性别大战博弈的支付矩阵 女女 男男足球足球芭蕾芭蕾足球足球3 3，2 21 1，1 1芭蕾芭蕾-1 -1，-1 -12 2，3 3 女女 男男足球足球芭蕾芭蕾足球足球3 3，2 21 1，1 1芭蕾芭蕾-1 -1，-1 -12 2，3 3 局中人局中人：甲，乙：甲，乙 策策 略略：甲：放左手，放右手：甲：放左手

21、，放右手 乙：猜左手，猜右手乙：猜左手，猜右手 支付矩阵支付矩阵：见下一页：见下一页 没有纳什均衡没有纳什均衡 例例2.82.8 猜左右手游戏猜左右手游戏 乙乙 甲甲猜左手猜左手猜右手猜右手放左手放左手-1 -1，1 11 1，-1 -1放右手放右手1 1，-1 -1-1 -1，1 1 乙乙 甲甲猜左手猜左手猜右手猜右手放左手放左手-1 -1，1 11 1，-1 -1放右手放右手1 1，-1 -1-1 -1，1 1 乙乙 甲甲猜左手猜左手猜右手猜右手放左手放左手-1 -1，1 11 1，-1 -1放右手放右手1 1，-1 -1-1 -1，1 12 2、连续性博弈纳什均衡的求法、连续性博弈纳什均

22、衡的求法 首先求出每个局中人对其他局中人策略组合的首先求出每个局中人对其他局中人策略组合的反应函数反应函数即在其他局中人策略组合给定时极大即在其他局中人策略组合给定时极大化自己的支付，得到的最佳反应策略表现为其他局化自己的支付，得到的最佳反应策略表现为其他局中人策略组合的函数；中人策略组合的函数； 然后将这些反应函数联立求解即得到博弈的纳然后将这些反应函数联立求解即得到博弈的纳什均衡解。什均衡解。 四、纳什均衡的求法四、纳什均衡的求法 局中人：局中人：厂商厂商1 1，厂商，厂商2 2 策策 略：略：厂商厂商1 1：选择产量：选择产量 厂商厂商2 2：选择产量：选择产量 假假 设：设：价格价格

23、支付函数支付函数 ( (利润函数利润函数) ) ： 例例2.92.9 两寡头产量竞争两寡头产量竞争CournotCournot（18381838）模型）模型1q2q)(21qqap)(),(211211cqqaqqq)(),(212212cqqaqqq CournotCournot 模型求解模型求解)(),(max2112111cqqaqqqq)(),(max2122122cqqaqqqq02) 1()(),(2*1*12*11211cqqaqcqqaqqq02) 1()(),(*11*2*212212cqqaqcqqaqqq 反应函数反应函数: : 纳什均衡：纳什均衡：)(2121cqaq)

24、(2112cqaq)(31),(31),(21cacaqq221)(91ca CournotCournot 模型求解模型求解 假设两寡头可以串谋，共同确定产量假设两寡头可以串谋，共同确定产量Q Q使总利润最大化，使总利润最大化，利润函数为：利润函数为： (Q)=Q(a-Q-c)(Q)=Q(a-Q-c) 总利润最大的产量为：总利润最大的产量为： 称为称为契约曲线契约曲线 总利润为：总利润为： 比较及含义：比较及含义： 两寡头产量串谋模型两寡头产量串谋模型)(21caQm)(2121caQQQm2)(41cam221)(92cam)(3221caqqQm Q1 厂商厂商2 2的反应曲线的反应曲线

25、纳什均衡纳什均衡 契约曲线契约曲线 厂商厂商1 1的反应曲线的反应曲线 O Q2 图图1 1 反应曲线、纳什均衡与契约曲线反应曲线、纳什均衡与契约曲线)(21ca)(21ca)(31ca)(31ca局中人局中人：厂商：厂商1 1，厂商，厂商2 2 策策 略略：厂商：厂商1 1选择价格选择价格 ；厂商；厂商2 2选择价格选择价格假假 设设: : 两寡头固定成本都为两寡头固定成本都为0 0，边际成本为常数，边际成本为常数c, c, 消费者对厂商消费者对厂商1 1和和2 2生产产品的需求量分别为：生产产品的需求量分别为： ; ; 例例2.102.10 两寡头价格竞争两寡头价格竞争BertrandBe

26、rtrand（18831883）模型）模型1p2p21211),(bppappq12212),(bppappq支付（利润）函数：支付（利润）函数： 最优化的一阶条件是最优化的一阶条件是: : BertrandBertrand（18831883）模型及求解）模型及求解)(),(121211cpbppapp)(),(212212cpbppapp02)()(1(),(2*12*1*11211cbppabppacpppp02)()(1(),(1*21*2*22212cbppabppacpppp 反应函数：反应函数： 纳什均衡价格：纳什均衡价格： bcabcapp2,2),(21)(2121cbpap)

27、(2112cbpap BertrandBertrand（18831883）模型及求解）模型及求解 在在n n个局中人的策略型博弈中，个局中人的策略型博弈中， 1 1、如果重复剔除严格劣策略剔除掉除策略组合、如果重复剔除严格劣策略剔除掉除策略组合s s以外的以外的所有策略，则这一策略组合所有策略，则这一策略组合s s为该博弈的唯一的纳什均衡。为该博弈的唯一的纳什均衡。 2 2、如果策略组合、如果策略组合s s是一个纳什均衡，那么它就不会被重是一个纳什均衡，那么它就不会被重复剔除严格劣策略所剔除。复剔除严格劣策略所剔除。 纳什均衡是比重复剔除严格劣策略更强的解概念。纳什均衡是比重复剔除严格劣策略更

28、强的解概念。五、纳什均衡与重复剔除严格劣策略均衡五、纳什均衡与重复剔除严格劣策略均衡 一、举例说明混合策略纳什均衡一、举例说明混合策略纳什均衡 例例2.82.8 猜左右手游戏猜左右手游戏 第四节第四节 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡 乙乙 甲甲（q q）猜左手猜左手（1-q1-q）猜右手猜右手（p p）放左手放左手-1,-1, 1 11, 1, -1 -1（1-p1-p）放右手放右手1, 1, -1 -1-1,-1, 1 1 在甲选在甲选 ，乙选，乙选 这种策略时，这种策略时，他们的期望效用分别为：他们的期望效用分别为： 混合策略与期望效用混合策略与期望效用( ,1)pp甲( ,1)qq乙,

29、)( 1)(1) 1(1)1 (1)(1) ( 1)4221Eupqpqp qpqpqpq 甲甲乙（,)1(1) ( 1)(1)( 1)(1)(1) 14221Eupqpqp qpqpqpq 乙甲乙（甲和乙的目标是甲和乙的目标是: :最优化的一阶条件是最优化的一阶条件是: : 1224),(maxqppqpEup乙甲甲 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡1224),(maxqppqpEuq乙甲乙024),(qppEu乙甲甲024),(pqpEu乙甲乙 混合策略纳什均衡为：混合策略纳什均衡为： 2121,2121),(，乙甲21p21q 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡1 1、混合策略、混合策略（

30、mixed Strategy) 局中人局中人 i i 的一个混合策略的一个混合策略 是在其纯策略空是在其纯策略空间间 上的一个概率分布，其中上的一个概率分布，其中 是是 i i 选择策选择策略略 的概率。局中人的概率。局中人 i i的混合策略空间的混合策略空间 是他的所有混合策略是他的所有混合策略构成的集合。构成的集合。 纯策略可以理解为混合策略的特例。如纯策略可以理解为混合策略的特例。如 等价于等价于 二、混合策略纳什均衡二、混合策略纳什均衡),.,(1ikii),.,(1ikiissS )(ijiijsijsi1is)0,.,0 , 1 (i 在混合策略组合在混合策略组合 下，局中人下，局

31、中人 i i的期望效用的期望效用函数为：函数为： 其中其中 2 2、期望效用函数、期望效用函数),.,()(),(11),.,(1nijjnjssiiissusEun),(ii),.,.,(111nnni 在策略型博弈在策略型博弈 中，如果对于每个中，如果对于每个局中人局中人 i i，存在，存在 ，都有，都有 或或 则称则称 是博弈是博弈G G的一个的一个混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡。iiiiiiiiiiEuEu),(),(),.,(1n,.,;,.,11nnuuSSG niEuiiiiii,.,2 , 1, ),(maxarg 3 3、混合策略纳什均衡、混合策略纳什均衡 奇数定理奇数定理

32、 (Wilson 1971) (Wilson 1971) ：几乎所有的有限博弈：几乎所有的有限博弈都有奇数个纳什均衡。都有奇数个纳什均衡。 4 4、奇数定理、奇数定理例例2.112.11 社会保障博弈社会保障博弈 局中人局中人：政府和下岗工人：政府和下岗工人 策策 略略：政：政 府：救济，不救济府：救济，不救济 下岗工人：找工作，不找工作下岗工人：找工作，不找工作 支付矩阵支付矩阵为：为： 三、应用举例三、应用举例 工人工人 政府政府找工作找工作不找不找救济救济3 3，2 2-1 -1，3 3不救济不救济-1 -1，1 10 0，0 0 女女 男男足球足球芭蕾芭蕾足球足球3 3，2 21 1，

33、1 1芭蕾芭蕾-1 -1，-1 -12 2，3 3 求出性别大战博弈的混合策略纳什均衡求出性别大战博弈的混合策略纳什均衡 定理定理1 1：（Nash,Nash, 19501950）每个有限策略型博弈至少）每个有限策略型博弈至少存在一个纳什均衡（纯策略的或混合策略的）。存在一个纳什均衡（纯策略的或混合策略的）。 第五节第五节 纳什均衡的存在性纳什均衡的存在性 BrouwerBrouwer不动点定理不动点定理：如果：如果X X是非空的有界闭凸集，是非空的有界闭凸集，f(x)f(x)是是X X到自身的连续映射，那么至少存在一个到自身的连续映射，那么至少存在一个x xX X，使得，使得 f(xf(x )=x)=x ，x x 称为不动点。称为不动点。 KakutaniKakutani不动点定理不动点定理：设设f(X)f(X)