(完整word版)用假设法解决问题(一)

1、用假设法解决问题（一）河北省平乡县大刘庄小学 李明亮先举一个简单的例子：甲班有学生 45人，乙班比甲班多3人。两班共有学生多少解此题的一般方法是，先求出乙班人数，再求学生总数。如果列式为 45X2+3就 是用了假设法一一假设乙班也是 45人，则两班共有45X2=90（人）。但乙班实际人数 比45人多3人，所以两班的实际总人数比 90人多3人。有些数学题的数量关系不明显，不容易找到解题的方法。如果我们做一些适当、合理的假设，就有可能使数量关系明显，从而找到解题的方法。这种解题方法叫做假设法。假设的方法有多种，要灵活运用。一、把“缺少”的条件假设为已知例1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若

2、干千克大米。回家后，乙要的 大米比甲、丙都少6千克，因此，甲、丙都又退给乙 6元钱。每千克大米多少元？、分析：不知道三人共买了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的 单价似乎很难。但是，我们可以假设大米的数量。假设乙要了 1千克大米，则甲、丙都要了 7千克，三人共买了 7+7+1=15 （千克） 每人平均15 + 3=5 （千克）。在粮店，他们平均出钱，每人出的都是 5千克大米的钱. 回家后，甲、丙要的大米都比平均数多 7 5=2 （千克），所以甲或丙退给乙的 6元钱 就是多要的2千克大米的价钱。乙要的大米比平均数少 5-1=4 （千克），所以甲和丙 退给他的12元钱就是少要的这4千

3、克大米的价钱。这样，就可求出大米的单价。解法 1.6 + 7 （7 + 7+1）+3=3 （元）解法 2.6 X2 + （7 +7+1）+31=3 （元）本题还可以用下面的方法解（这里只画出线段图，分析略）6 寸 JLAV.此文原题目为用假设法解应用题，初稿完成于1993年11月，1994年12月第一次修改，1997年8月第二次修改。解法 3.6 + （6 6X2 + 3） =3 （元）解法 4.6 X2+ （6X2 + 3） =3 （元）例2.小王骑车去火车站。他计划以每小时 15千米的速度行驶，这样才能正好赶上火车。可是，前一半路程他骑车的速度是每小时12千米。下一半路程他应该以多快的速度

4、骑行，才能赶上火车？分析与解答：题中只有两个速度，没有路程怎样计算？可以假设路程。假设路程是30千米，则小王按计划骑行，需要的时间是 30+15=2（小时）。前 一半路程他已经用了 30+2+12=1.25 （小时）；下一半路程他应该用的时间是 2 1.25=0.75 （小时），应该用的骑车速度是每小时 30+2+0.75=20 （千米）。30+ 2+ （30+15 30+2+12） =20（千米）答:（略）当然，把路程假设为3千米、6千米、10千米结果都是一样的。把路程假设 为“1”当作工程问题来解，也很简便。例3.甲数的3等于乙数的-,甲数比乙数大几分之几？58分析与解法1.假设甲数是25

5、,则甲数的另是25X3=15。即乙数的5也是15,乙558数是 15+5=24。 8,、1（2524） -24= 24解法2.假设乙数是1,则甲数是1X5 + 3 = 25。85 24（25-1） + 1 = 2424分析与解法3.假设甲数的9与乙数的5都等于1,则甲数是1 + 3=勺，乙数是1585 35 8 .08 5（3-8） +8 555 24例4.一次考试，某班学生的平均分数为 87分。其中90%勺学生达到了 80分，他 们的平均分数为89分。80分以下的学生的平均分数是多少？分析与解答：假设全班有40人，则达到80分的学生数是40X90%36（人），80 分以下的学生数为40-36

6、=4 （人）。全班学生总分为87X40=3480 （分）；达到80分的学生总分为89X36=3204（分）；80分以下的学生的总分为 3480 3204=276 （分），平均分是 276+ 4=69 （分）。综合算式：（87X40 89X 40X90% + （40-40X 90% =69 （分）注：如果假设全班有4人，则解法更简便。这类问题，似乎都缺少一个重要条件，但问题的答案却与这个“重要条件”无关。 所以，无论把这个“重要条件”假设为多少，都不影响计算结果，但假设的数据应便 于计算。类似问题；1 .甲乙二人走同一段路，甲所用的时间比乙短 1,甲的速度比乙快几分之几？112 .一艘轮船停靠在

7、码头，计划12小时把货卸完。实际卸货的速度提高了 1。实际5几小时可以卸完？3 .植树节这大，同学们去种树，平均每人应该种2棵。如果只让男同学去种，平均每人应该种3棵。如果只让女同学去种，平均每人应该种几棵？二、把一般条件假设为特殊条件例5.一个正方形的面积是20平方分米。在这个正方形内画一个最大的圆，求这 个圆的面积。分析：求圆的面积，一般要先求出圆的半径。在本题中，如果知道了正方形的边 长，就可求出圆的半径，但题中只给了正方形的面积。根据正方形的面积求边长，要 用开方。对于小学生来说，只有正方形的面积是 4、9、16、25时，才有可能推想 出它的边长。用小学知识能不能解这道题呢？解法1.假

8、设这个正方形的面积是25平方分米，则它的边长是5分米。所以，假 设的这个正方形内的最大的圆的直径是 5分米，面积是22（5） X 3.14=19.625 （平万分米）2而原正方形面积是假设的这个正方形面积的 20 ,所求的圆的面积也应该是假设的 25这个圆面积的理。 2519.625 X 20=15.7 （平方分米）253解法2.假设正方形的边长是20分米，则它里面最大的圆的直径也是20分米，面积是（2°）2*3.14=314 （平方分米）。把面积20平方分米的正方形假设为边长 20分 2米，面积就扩大了 20倍，它里面最大的圆的面积也就扩大了 20倍。所以，所求的圆 的面积是314

9、+ 20=15.7 （平方分米）注：此题不用假设法也可以解。如图，把正方形平均分成小正方形，每个小正方形的面积都是 20+ 4=5 （平方分米），即r2=5.所以圆的面积是S=tt r 2=3.14 X 5=15.7 （平方分米）类似习题：1 .把一个面积是6.28平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。求这个正方 形纸片的面积。2 .一个正方体的体积是9立方分米，另一个正方体的棱长是它的 2倍。求另一个 正方体的体积。三、把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛”有些问题，给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量，我们称之为分率 （倍数）带“铃铛”。可以假设法（当然，也可以用用画图的方法

10、）把数量进行调 整，使分率（倍数）不带“铃铛”。例6.工人师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的 1多4个，第二天加工3了全部零件的1少1个，还剩16个每加工。这批零件共多少个？2分析与解答：假设第一天正好完成了全部零件的1 ,那么剩下的（没加工的）零3件就会多4个；假设第二天正好完成了全部零件的 1,那么剩下的就会少1个。于2是，原题的条件就变成了 “第一天加工了全部零件的 1 ,第二天加工了全部零件的311,还剩（16+44 1）个没加工。（16+4 1） + （ 1 1 1） =114 （个） 32答:（略）例7.甲、乙、丙.丁四个数的和是 202,乙数比甲数多1,丙数比甲数的2倍少2

11、, 丁数比甲数的一半多1.求这四个数。2分析与解：假设乙数等于甲数，内数正好是甲数的 2倍，丁数正好是甲数的一半，则四个数的和将是（2021+2 1）。由此可求出甲数，进而求出另外三数。2甲数（202 1+2 1） + （ 1 + 1+2+1） =4522乙数 45+1=46内数 45 X 22=88一一11丁数 45 + （1 + 1 + 2+1） +1=2322例8.学校买来三种新书共100本，其中文艺书是科技书的3倍，画册比科技书的一半少8本。这三种书各买来多少本？解（分析略）：（100+8） + （3+1+ 1） =24 （本）（科技书）224X3=72 （本）（文艺书）24+2 8=

12、4 （本）（画册）解法 2 （分析略）：（100+8） + （2+1 + 2X3） =4 （本）（画册）（4+8） X 2=24（本）（文艺书）24X 3=72 （本）（文艺书）例9.水果店有535千克橘子，第一天卖出8筐又17千克，第二天卖出5筐又11 千克，还剩195千克。每筐橘子的重量相等。第一天卖出多少千克？解（分析略）：每筐橘子有多重？（535 1951711）+ （8 + 5） =24 （千克）第一天卖出多少千克？24X8+17=209 （千克）类似习题:1 .师徒二人加工一批零件。徒弟加工了 92个，超额15炕成了自己的任务。他 的任务比师傅任务的3多32个。师傅加工零件的任务是

13、多少个？42 .车站仓库里原有煤若干吨。第一次运出的比存煤的一半少350吨，第二次运出现有煤的一半有50吨，结果还剩500吨。仓库里原有煤多少吨？3 .小明有人民币若干元。买书用去其中的一半又 5角，买文具用去剩下的一半又5角，买本又用去第二次剩下的一半又 5角，最后还剩5角。小明原有多少元？四、虚构、改编情节例10. 一个班有48人。班主任在班会上问：谁做完语文作业？请举手。有 37人举手。又问：谁做完数学作业？请举手。有 42人举手。最后问：谁语文、数学作业 都没做完？没有人举手。你想想看：这个班语文、数学作业都做完的有多少人？微点评军境瞰浅呼微分析与解法1.全班做完语文数学作业的分别有

14、37人和42人，没有两种作业都没做完的。假设全班学生都正好做完了一种作业，那么全班应该有79人（37+42=79）。但实际上全班只有48人，假设的人数比实际人数多 31人（7948=31）。为什么会多出31人？是因为这31人都举了两次手。37+42 48=31 （人）分析与解法2.已知有37人做完了语文作业。假设全班 48人都做完了数学作业, 那么做完语文作业的37人就是两种作业都做完的人数。但是，实际做完数学作业的 只有42人，比假设的48人少6人。所以，两种作业都做完的也应该比 37人少6人37 （4837） =31 （人）分析与解法3.有37人做完了语文作业。假设全班 48人都正好做完了

15、一种作业， 没有人做完两种作业，则做完数学作业的应该是11人（4837=11） o但实际做完数学作业的有42人，比假设的11人多31人（4211=31）。这31人既做完了数学作 业，又做完了语文作业。42 （4837） =31 （人）分析4.假设班主任不是让学生举手，而是让做完作业的学生交作业本一一把语 文、数学作业本各摆一行，并且同一学生的两个作业本的两个作业本上下对齐摆放 （如下图）。国庙四井二J响11*|二也这样，只要数一数作业本数，就可以知道做完作业的人数。但是，两种作业的总 本数比全班人数多，因为两种作业都做完的学生都交了两个本。如果再让全班每个学 生都拿回去一个本（共拿回去 48本

16、），就只剩下两种作业都做完的人的作业本了 （两种作业都做完的人，每人剩一本摆在那里）。这样就可得到解法1。从上图中也可以得到解法2、解法3,还可以得到解法4。解法 4. 48 （4837） （4837） =31 （人）注：上面的四种解法都可以用其他思考方法得到。例11.一人骑摩托车从A城去B城。若以每小时30千米的速度行驶，他将迟到2 小时；若以每小时48千米的速度行驶，他将早到1小时。AB两城相距多少千米？要 准时到达，每小时该行多少千米？分析1.从A城出发，以每小时30千米的速度行驶，要迟到2小时，即到既定时 刻离B城还有60千米的品&程（30X 2=60）;以每小时48千米的速度

17、行驶，将早到1 小时。假设他以每小时48千米的速度行驶到B城后没有停下，而是又向前行了 1小 时，到既定时刻才停下。用相同的时间，用两种速度行驶的路程相差 108千米（60+48=108）。由此可求 出行驶的时间，进而就可求出两地距离和应有的速度。解法1 .从出发到既定时刻是几小时？（30X 2 + 48X 1） +（48 30）=6（小时）AB两城相距多少千米？30X （6 + 2） =240 （千米）或 48X （61） =240 （千米）要准时到达，每小时该行多少千米？240+ 6=40 （千米）7分析2.假设有两个人分别以每小时30千米和每小时48千米的速度，同时从A 城出发驶向B城。

18、当快车提前1小时到达B城时，慢车距B城还有2+1=3小时的路程, 即快车比慢车多行了 30X3=90千米。由此可求出快车到达 B城所用的时间。解法2.每小时行驶48千米，几小时可到达？30 X （2+1） +（4830）=5（小时）AB两城相距多少千米？48X5=240 （千米）要准时到达，每小时该行多少千米？240+ （5+1） =40 （千米）解法3 （分析略）.每小时行驶30千米，几小时可到达？48 X （2+1） +（4830）=8（小时）AB两城相距多少千米？30 X 8=240 （千米）要准时到达，每小时该行多少千米？240+ （8 2） =40 （千米）例12.一项工作，甲单独做

19、40天可以完成，乙单独做60天可以完成。二人合作， 甲因病休息了几天，他们共用了 27天才完成。问：甲中途休息了几天？分析：甲乙合作，每天可完成这项工作的 +=.假设甲中途没有休息，甲40 60 24乙合作27天，可完成这项工作的 , X 27=9，超过任务的1。甲几天可以完成这项工2488作的1呢？8解：（+ ）40 60X27-1 + 工=5 （天）40答：（略）。本题的另外几种解法:（1） 27-（1 -27） -=5 （天）6040 把甲的工效设为“ 1” ：27（1 X40一 生 X 27）+ 1=5 （天）(3)把乙的工效设为“ 1” ： 27(1 X60"27) +型=

20、5 (天)40（4） （1+言）X 271X40 -1=5 （天）（5） （1+60） X 271 X 60 + 60=5 （天）4040例13.食堂有面粉和大米共168千克。一天用去了面粉的1和大米的-,一共用 43去48千克。面粉和大米原来各有多少千克？分析1.一天用去了面粉的1和大米的1 （共48千克）。假设连用3天，则大米 4311将正好用完，面粉应该还剩11 X 3=1。连用3天，共用去面粉和大米48X3=14444（千克）。还剩168144=24 （千克）。这24千克都是面粉（是原来面粉重量的 1）4解法 1. （168-48X3） + （ 11X3） =96 （千克）（面粉）41

21、68-96=72 （千克）（大米）分析2.假设连用4天，则面粉将正好用完，面粉就会缺 1X41=。连用433天,共应该用面粉和大米 48X4=192 （千克），比总数还多192168=24 （千克）。1这24千克正好是原来大米重量的1 o31解法 2. （48X4-168） + （1X41） =72 （千克）（大米）316872=96 （千克）（面粉）注：本题还有其他假设解法。例14.一个化肥厂计划14天完成一项任务。由于每天多生产 3.5吨，结果9天 就完成了任务。原计划每天生产多少吨？分析1.假设有甲乙两个厂分别按这个厂计划的效率和实际的效率进行生产。则 当按实际的效率（每天比甲厂多生产

22、3.5吨）生产9天完成任务时，乙厂比甲厂共多 生产31.5吨（3.5X9=31.5）。这时，甲厂还需再生产5天才能完成任务。由此可求 出甲厂每天生产多少吨（计划每天生产多少吨）.解法 1. 3.5 X9+ （149） =6.3 （吨）解法 2 （分析略）.3.5 X14+ （149） 3.5=6.3 （吨）例15.鸡和兔共43只，它们共有120条腿。鸡和兔各有多少只？分析与解法1. 假设把鸡和兔都砍掉2 条腿，则43 只鸡和兔就会被砍掉86 条腿(2 X 43=86),只剩下34条(12086=34)。这34条都是兔腿，因为鸡都没了腿。每只兔只剩2 条腿，所以有17 只兔。兔(120 2X43

23、) +(42)=17(只)鸡 43 17=26(只 )分析与解法2. 假设每只鸡也都有了4 条腿(都又“长”出来 2 条)，则43 只鸡和兔一共应该有172条腿(43X 4=172)。所有的鸡一共“长”出了 52条腿(172 120=52)。每只鸡都“长”出来了2 条腿，是多少只鸡“长”出来 52条腿呢？鸡 (4X43120) +(42)=26(只)兔 43 26=17(只 )分析与解法3. 假设把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿(每只鸡只剩一条腿，每只兔剩2条腿，则43只鸡和兔一共剩下60条腿( 120+ 2=60)。每只鸡和兔都有一个头。把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿后，鸡的腿数和头数同样多，而每只兔的腿数都比头数多1。现在，43只鸡和兔共