17.1-复数的概念

1、南京商业学校教案授课日期2015年 月日第周时数课型新课课题§ 17.1复数的概念教学目标知识目标：了解数集扩展的方法与过程，知道复数产生的原因 和虚数单位的意义，理解纯虚数、虚数、复数的概念，知道复数 的分类。理解共腕复数、相等复数的概念 掌握复数集内实系数 一元二次方程的解法。能力目标：能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系；会求负实 数的平方根；能利用复数及其相等的有关充要条件， 建立相应的方程，转化复数问题；会在复数集内解实 系数F二次方程。情感目标：体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的 作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。.教学重点复数及其相关概念教

2、学难点复数及其相关概念的理解教学资源课本，教学参考书，学习指导书，网络教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。学情分析（含更新、补 充、删节内容）考虑到学生对复数概念的理解有一定困难，本节课要使学生了 解数的概念的发展和扩充实数集的必要性，知道实数系引、充到复 数系的过程。板书设计§ 17.1复数的概念1 .数集的扩展例1例42 . »3 .复数例2例54 .在复数集内解实系数一元二次方程例3教后记教学程序和教学内容(包括课外作业和板书设计)师生活动21.X21X学生通过计算发 现：、复习引入看下面的数学问题：设x 1 1,求X2 ，的值。XX学生

3、计算：X2 4 (x 3 2 21。XX1 .从中可以知道，满足X 1 1的数是存在的，那么X一种怎X样的数呢？本节将学习这种新的数一复数二、讲授新课1 .数集的扩展我们回顾一下数集的扩展过程就可以知道，数集的每一次扩 展，都是为了解决实际问题或数学存在的问题，例如，方程X2 2在实数集R中有解：X 口 数的范围扩充到实数集 R以后， 还不能完全解决解方程的问题，如X2 1 0这样的方程在实数集 中仍然无解，所以，需要引进新的数，扩展实数集，使彳#x2 1 0 这类方程有解。2 .虚数引进新数i,称之为虚数单位、规定：i21 ,并且i与实数一起按照实数的运算法则进行运算。根据上述规定，对于负实

4、数a ,有& J|a| ( 1 7ag洞g这样，i就是-1的一个平方根，马是-1的另一个平方根。因 此，引进虚数单位i后，方程X2 1 0就有解x i ,从而解决了 X2 a 0(a 0这类方程求解问题。想一想：i3 ?,i4 ?,i5 ?,i6 ?一般地，虚数单位i有下面的性质： .4n4n 1- 4n 24n 3.i 1,i i ,i 1,i i学生思考并回答虚数单位i与非零实数b相乘得到的数bi不可能是任何实数， 我们把b i ( b R,b 0)这类数叫做纯虚数。把纯虚数 b i与实 数形式地进行加法运算，得到形如 a bi(a,b R,b 0)的数叫做虚 数，所有虚数构成的集

5、合叫做虚数集。例1.下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？3 4i ,20.2i , 3, i,星 i, cos300 i sin3005解：实数有 3 ;虚数有 3 4i ,2 220.2i , i , 33 i ,5cos300 i sin 30°纯虚数有 0.2i , i 3.复数学生口答(1)复数的定义：形如a bi(a,b R)的数叫做复数，通常用小 写字母z表示，即z a bi(a,b R)其中a,b分别叫做复数的实 部和虚部。全体复数构成的集合称为复数集，通常用大写字母C表示，即C= zz a bi ,a,b R实数a可以写成a 0 i,所以实数也是复数，复

6、数集包含了实 数集。(2)复数的分类：对于复数z a bi (a,b R),当b 0时， z a为实数；当b 0时，称复数z a bi为虚数；当a 0而b 0 时，称复数z bi为纯虚数。因此，复数集就是实数集和虚数集 的并集。复数的分类(下面的a, b均为实数) 实数/有理数一一循环小数 复数 ” =无理数无限不循环小数a + 虚数/纯虚数0 = 0)(b卢0)(非纯虚数(a*。)想一想：复数集、实数集和虚数集之间的关系怎样用图形表 示？(m2)(m 1) i 是(1)例2.实数m取怎样的值时，复数z 实数；(2)虚数；(3)纯虚数？解：复数(1)1 =0,即 m1 0 ,即 m2=0时，即

7、0)。虚部为m 11时，复数z是实数；1时，复数z是虚数；m 2时，复数z是纯虚数(此时(3)复数相等与共腕复数如果两个复数a bi与cdi (a,b,c,dR)的实部和虚部师生共同完成学生思考并画出 图形师生共同完成分别相等，则称这两个复数相等，即 a bi=c di a c,b d 特别地，有a bi 0 a b 0o利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题来解决。例 3.已知(x 2y) i 6x (x y) i,其中 x,y R ,求 x、y 的 值。解：根据复数相等的意义，得方程组师生共同完成x 2y 6x1 x y解得x23,y注意：任何两个实数都可以比较大小，但两个复

8、数，如果不 全是实数，就不能比较大小。例如，2i与0, 2与3,4与4 i都 不能比较大小。当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，称这两个 复数互为共腕复数，复数z的共腕复数记为Z。例如，复数z a bi的共腕复数是z a bi。3 i与3 i、 2i与2i互为共腕复数。4.在复数集内解实系数一元二次方程师生共同完成因为( 石)2 a,所以 而都是-a的平方根，即复数集 内，负数可以开平方根，由此可知，实系数一元二次方程 ax2 bx c 0( a 0在复数集内总有解。当b2 4ac 0时，有两个不相等的两实根，bb2 4acxi,2 ；2a当 b2 4ac 0时，有两个相等的实根，x1

9、x2;2a当 b2 4ac 0时，有两个共腕虚根，x1,2b、（b2 4ac）i2a师生共同完成例4.在复数集内解下列方程：(1) x2 5 0, (2) x2 x 1 0教学程序和教学内容(包括课外作业和板书设计)师生活动解：(1)由X2 5 0得x25,所以方程的解为xJ5i(2)由因为b2 4ac 1 43 0,ha1 43i1 33.所以X i22 2即方程x2 x 1 。后两个共腕虚根：X1 i ,221晅,x2 i22例5.在复数范围内分解因式：(1) x2 5(2) x2 4x 5解：(1) x2 5 = x2 ( 55 =x2 (<5i) 2 x V5i x T5i设x2 4x 5=0,则由求根公式得b V4ac b2 i.x1,22 i2a所以 x2 4x 5 = x 2 i x 2 i x 2 i x 2 i想一想：例5 (2)还可以