数值分析：8-1-8-2

1、第八章第八章 常微分方程数值解常微分方程数值解 8.1 引言引言(基本求解公式基本求解公式)在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解我们见过以下常微分方程：0)(),(yaybxayxfy )(,)(),(0ayyaybxayyxfy-(1)-(2) nybyyaybxayyxfy)(,)(),(0-(3)(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题2002212210012111)(),()(),(yxyyyxfyyxyyyxfy-(4)另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:我们重点研究问

2、题(1)的数值解法首先介绍初值问题(1)的解存在的条件定理定理1. ( , )f x yyLipschitz如果连续函数关于 满足条件，即, , Lxa b 正数使得，均有1212|( ,)( ,)|f x yf x yL yy(1)则初值问题的解存在且唯一对于问题(1),要求它的数值解)(,)(节点上的一系列离散点在区间就是求未知函数baxybxxxxan210),2 , 1()(nkyxykk的近似值上函数值的数值解就是问题而)1(),2 , 1(nkyk0)(),(yaybxayxfy-(1)从(1)的表达式可以看出,求它的数值解的关键在于数值计算问题)(xy0( )( , ( )xay

3、 xyf t y t dt或者它的等价的积分方程 中( , ( )xaf t y t dt积分 的数值计算问题求解微分方程的数值方法求解微分方程的数值方法数值积分数值积分数值微分数值微分常微分方程数值解的基本思想常微分方程数值解的基本思想00101( , ),( ) , ( ),nnyf x yaxby aya baxxxby xyyy ：对于微分方程要在区间上的若干离散点处计算解函数的近似值基本问题 , ,0,1, ,ka bbaxakhknhn实际应用中通常取求解区间的等分点作为离散点，即其中步长1;kkyy: 只利用来计算单步法1(1,2,1),.kkkjllyyyj: 计算时不仅要利用

4、,还要用到已算出的 若干个并多称为步法步方法0110121,()nikyyyyyyyy iky求初值问题数值解的方法是, 即从已知的初值出发 通过一定的计算求然后由 （或和） 求出依次计算到即 在计算出后计算步进法。推导初值问题的数值方法的途径: Taylor展开, 利用差商离散导数, 利用数值积分方法1. 泰勒展开的求解方法思路：01( )(,),0,1,1kkkkyy ayyhf xykn,ky将近似号改等号 则得到数值解序列计算公式:1()()kky xhy x 可将按泰勒级数展开为211()()()(),2!kkkkkkkhy xy xhy xyxx21()()()()(,)kkkkk

5、khy xy xhy xy xhf xy x 略去得， () 2. 化导数为差商的求解方法思路：10()()(, (),0,1,1( )kkkky xy xf xy xknhy ay则微分方程初值问题化为1()()()kkkkxy xy xy xh 若在点处的导数用差商来近似代替， 如向前差商 ,()kky xy将近似号改等号 精确解改为近似解序列，满足：01( )(,),0,1,1kkkkyy ayyhf xykn3. 数值积分的求解方法思路：11()()( , ( ),0,1,1kkxkkxy xy xf x y x dxkn11()(),kkkkyyy xy x用和近似和右边用数值积分公

6、式，如用矩形数值积分公式,可得:01( )(,),0,1,1kkkkyy ayyhf xykn111( , )( )( , ( ),( )d( , ( ), 0,1,1kkkkkkxxxxyf x yy xf x y xxxy xxf x y x dxkn如果将微分方程写成， 然后在各小区间上对其两边进行积分， 即01( )(,),0,1,1kkkkyy ayyhf xykn以上三种方法推导出同一个数值求解公式:这个数值公式称为 欧拉欧拉(尤拉尤拉) (Euler) 公式P216: 例8.2.10( , ),(1)( ) , ,0,1, ,nkyf x yaxby aybaa bxakh hn

7、kn 等分 对于微分方程初值问题求解区间01( )(,),0,1,1kkkkyy ayyhf xykn Taylor展开、或向前差商代替导数、或数值积分法中采用矩形公式1. 欧拉(Euler)（显式欧公式拉公式）： 8.2 欧拉欧拉(Euler)(Euler)方法方法0111( )(,),0,1,1kkkkyy ayyhf xykn 向后差商代替导数微分方程初值问题(1)EulerEuler0111( )(,)(,) ,20,1,1kkkkkkyy ahyyf xyf xykn 将公式和隐式公式作算术平均或在数值积分法中采用梯形公式微分方程初值问题(1)（2后. 退欧隐式欧拉公式拉公式）：（3

8、.为隐 梯形公式式公式）隐式公式: 通常需迭代求解，需保证收敛（板书）4 4、改进的欧拉公式、改进的欧拉公式1111111(,)(,)(,)2kkkkkkkkkkkkkyyyyyhf xyhyyf xyf xy首先计算出初步的近似值，称之为预估值；然后用该预估值替代梯形公式右端中的进行计算，从而得到最后的校正值。即预估公式校正公式0-11( )(,)(,)1()2pkkkckkpkpcyy ayyhf xyyyhf xyyyy 改写预估 校正公式可避免函数值的重复计算Euler或预估称为改进的欧正式-校拉公方法P240 习题习题 8.1、8.10P212 习题习题 7. 16 4 ()O h误

9、差分析误差分析01111211( )(,),0,1,1()()( ) ()()kkkkkkkkkkkkyy ayyhf xyknyyy xy xxy xyy xyTaylorO h欧拉公式假设已知且是准确的，即，用表示这一点的解函数准确值；计算步的截断误差为展开这种误差称为局部截断误差局部截断误差.定义定义1(a). 11111()()1jjjjjjjyy xyey xyxj 称称为为计计算算的的求求解解公公式式在在处处(即(即第第步步)的)的局局部部截截断断误误差差定义定义1(b). ,一般的 单步法可以写称统一的增量形式11(, )jjjjjyyhxyyh-(*)1111( ),()()(

10、, (), (), )(*).jjjjjjjy xTy xy xhxy xy xhx 设设为为初初值值问问题题的的精精确确解解 则则称称为为单单步步法法在在处处的的局局部部截截断断误误差差上两定义本质是一样的,前者意义直观,后者用于计算推导较方便!1()jjjyy xy 时时计计算算出出的的几个公式几个公式局部截断误差局部截断误差的推导的推导2311()()2jjTy x hO h111341 (,)(,)21()()12kkkkkkjjhyyf xyf xyTyx hO h 梯形公式:的局部截断误差为Euler公式的局部截断误差为隐式Euler公式的局部截断误差为2311()()2jjTy x hO h 在一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有定义定义2. ( ),jje hyj设设为为计计算算的的求求解解公公式式第第步步的的截截断断误误差差 且且1( )( )kkjjEhe h ( )kEhk则则称称为为该该求求解解公公式式第第步步的的累累计计截截断断误误差差kx即即该该求求解解公公式式在在点点上上的的整整体体截截断断误误差差定义定义3. 1( )()pje hO h 若若求求解解公公式式的的局局部部截