专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

1、专题二：立体几何-线面垂直、面面垂直一、知识点（1）线面垂直性质定理（2）线面垂直判定定理（3）面面垂直性质定理（2）面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD证明：连结MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 设正方体棱长为，则， 在Rt中， OMDB=O， 平面MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2如图2，是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC 证明：在平面PAC内作ADP

2、C交PC于D因为平面PAC平面PBC，且两平面交于PC，平面PAC，且ADPC， 由面面垂直的性质，得AD平面PBC 又平面PBC，ADBC PA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判

3、定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明3如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：，证明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可证评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面

4、BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC若AEPC ，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，平面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, 

5、08;ABC = 90°, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM分析: 要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM例2如图940，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC图940

6、（1）求证：ABBC；（1）【证明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影为SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB例3如图941，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点求证：平面MND平面PCD【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，四边形ENMA是平行四边形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，从而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN平面P

7、CD较困难，转化为证明AE平面PCD就较简单了另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围例4如图942，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点图942求证：平面MNF平面ENF【证明】M、N、E是中点，即MNEN，又NF平面A1C1，MNNF，从而MN平面ENFMN 平面MNF，平面MNF平面ENF4如图945，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB图945（1）求证：平面PCE平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离（1）【证明】PA平面ABCD，AD是PD

8、在底面上的射影，又四边形ABCD为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA为二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45°，取RtPAD斜边PD的中点F，则AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF CD又AE CD，GF AE四边形AGEF为平行四边形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD（2）【解】由（1）知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，过F作FHPC于H，则FH平面PECFH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离在PFH与 PCD中，

9、P为公共角，而FHP=CDP=90°，PFHPCD，设AD=2，PF=，PC=，FH=A到平面PEC的距离为 【拓展练习】一、备选题1如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面（1）【证明】C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC（2）【解】平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD2ABCABC是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB，CC上的一点，BDa，ECa（1）求证：平面ADE平面ACCA；（2）求截面ADE的面积（1）【证明】分别取AC、AC的中点M、N，连结MN，则MNAABB，B、M、N、B共面，M为AC中点，BC=BA，BMAC，又BMAA且AAAC=ABM平面AACC设MN交A