对称法作圆锥曲线的切线

1、对称法作圆锥曲线的切线徐叶琴 江苏张家港市乐余高级中学 许多资料文献，如近期的文1、2、3都介召了圆锥曲线的切线的尺规作法。那么，作圆锥曲线的切线是否存在规律，有没有统一的尺规作法呢？1、切线方程与切点弦方程大家知道，曲线如果在某一点处可导，那么该点处的导数的几何意义是该点处切线的斜率。以椭圆型函数为例，设为其图象上异于长轴端点的任意一点，利用复合函数求导法则，；对于，也有。如果利用隐函数求导法则，对，当为其上一点，。这样在处的切线方程为。当时，切线为，也适合上式。故椭圆曲线上任意一点处的切线方程为。处切线方程的纵、横截距分别为、，具有对称性。当在椭圆外，即时，过的切线有两条。设切点为、，则切

2、线PR、PS方程分别为和，在切线上，故有和，此两式又表明、满足，故对应于点的切点弦RS所在直线方程为，切点弦的纵、横截距也为、，切点弦的纵、横截距的对称性，为我们寻找切点的位置，统一圆锥曲线的尺规作法提供了思路。2、圆锥曲线切线的统一尺规作法21椭圆的切线设椭圆C的方程为，点为椭圆外一点，切线PR、PS分别与椭圆相切于R、S点，则切点弦RS所在的直线方程为。利用平面几何中直角三角形的比例中项定理，结合对称找点法，可以利用直尺和圆规确定两个切点的位置。作法：分别在两坐标轴上截得、和、四点；作，；oBRy图（1）NxADEMS作D、E关于原点对称点、，作直线与椭圆相交于R、S；连结PR、PS，则P

3、R、PS为椭圆过点P的切线。证明：如图所示，由作法，由比例中项定理得，必有异号，关于原点对称，xyoADM图（2），同理，故切点弦所在直线方程为，相应地，直线PR、PS与椭圆相切于R、S点。证毕。特别地，当在椭圆上时，如图所示，切点弦退化为切线。只须找到切线之横截距。作，作，DA交于D点，D关于原点的对称点为，连，即椭圆C在点P处的切线。22双曲线的切线设双曲线C的方程为，为双曲线C外（不含焦点区域），且不在渐近线上的任意一点，PR、PS是过点P的双曲线C的两条切线，则切点弦所在直线方程为。直线RS的纵横截距分别为、。作法：分别在、轴上截得、和、四点；作，；EABMxyoPDNSR图（3）仅作

4、D关于原点对称点，连结与双曲线C交于R、S两点；连结PR、PS，则PR、PS为双曲线C的过点P的两条切线。证明：如图所示，由作法，、，xyoAPDM图（4）有，异号，关于原点对称，即，同理，直线方程为，即切点弦所在直线方程，故PR、PS为双曲线C过点P的两条切线。证毕。特别地，当在双曲线上时，且异于顶点时，如图所示，作法简化。只须作，点，作，DA交于D，D关于原点的对称点为，连，则与双曲线C相切于P点。（证略）设抛物线的切线设抛物线C的方程为，为抛物线C外（不含焦点区域，且不在对称轴上）的任意一点，PR、PS为抛物线C的过P点的两条切线，R、S为切点。则切点弦方程为，利用对称法作切线步骤如下：

5、作法：作于D，作D点关于原点的对称点；作直线，与抛物线C交于Q，作P关于Q的对称点M；连，交抛物线于R、S两点；作直线PR、PS，即为抛物线的过点P的两条切线。xyoPD图（）xyoPQRMSD图（5）证明：如图所示，在抛物线上，又M、P关于Q点中心对称，故。直线的方程为，即切点弦所在直线为，PR、PS为点P处的抛物线C的两条切线。证毕。特别地，如图所示，当在抛物线上时，且异于顶点时，只须作于D，作D关于原点的对称点，连，即切线。当时，只要作P关于原点O的对称点，再作交抛物线于R、S，PR、PS即过点P的两条切线。抛物线C的顶点处的一条切线，即轴。用对称法作圆锥曲线的切线，不仅沟通了椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的切线的尺规作法，而且揭示了点在曲线外、点在曲线上作切线的一般和特殊的辩证关系；导数知识和切线作法密切联系，展示了数学科学的对称美、和谐美和自然美，是数学园地一束绚丽花絮。参考文献：