导学案025平面向量的概念及线性运算

1、平面向量的概念及线性运算考纲要求1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析1.平面向量的线性运算是考查重点2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.教学过程基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度等于的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于的向量(4)平行向量：方向或的非零向量，又叫共线

2、向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且相同的向量(6)相反向量：长度相等且相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向；当0时，a与a的方向；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa； (ab)ab.4共线向量定

3、理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得双基自测1下列给出的命题正确的是 ()A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量有且仅有一个Ca与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D相等的向量必是共线向量2如右图所示，向量ab等于 ()A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e23(教材习题改编)设a，b为不共线向量，ABa2b，BC4ab，CD5a3b，则下列关系式中正确的是()AADBCBAD2BCCAD=-BCDAD=-2BC 4化简：ABDACD_.5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.典例分析考点一、平面向量的基本

4、概念例1给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为 ()A1B2C3 D4变式1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是 ()A0 B1C2 D3涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.考点二、平面向量的线性运算例

5、2(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF()A0 BBECADDCF 变式1本例条件不变，求ACAF.变式2(2012·杭州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，16，|ABAC|ABAC|，则|AM|()A8 B4C2 D11.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用运用上述法则可简化运

6、算考点三、共线向量例3(2012·南昌模拟)已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么 ()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向变式3(2012·南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB2e18e2，CBe13e2，CD2e1e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF3e1ke2，且B、D、F三点共线，求k的值1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向

7、量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线易错矫正忽略0的特殊性导致的错误考题范例(2012·临沂模拟)下列命题正确的是()A向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使ba；B在ABC中，ABBCCA0；C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立；D向量a、b不共线，则向量ab与向量ab必不共线失误展板错解一：a、b共线，必然是有且只有一个实数，使ba，故选A.错解二：首尾相连，始终如一在ABC中，AB、BC、CA围成了一个封闭图形，故ABBCCA0，故选B.错解三：当a与b同向时，式子中第一个等号不成立；当a与b反向时，式子中第二个等

8、号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.错因：错解一，忽视了a0这一条件错解二，忽视了0与0的区别，ABBCCA0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当a0或b0时，两个等号同时成立正确解答向量a与b不共线，a，b，ab与ab均不为零向量若ab与ab平行，则存在实数，使ab(ab)，即(1)a(1)b，无解，故假设不成立，即ab与ab不平行，故选D.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决

9、，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合本节检测1(2012·潍坊模拟)在四边形ABCD中，且|，那么四边形ABCD为()A平行四边形B菱形C长方形 D正方形2设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A0 B0C0 D03(2012·揭阳模拟)已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30° B60°C90° D120°4(2012·银川模拟)在ABC中，D为AB边上一点，若2，则的值为()A1 B.C.D5已知向量p，其中a、b均为非零向量，则|p