导数在研究函数中的应用81440

1、利用导数研究函数的单调性教学目标知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的 单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用.教学过程一、自学导航1情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？ （2）如何用定义判断一些函数的单调性？一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个

2、区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数2 问题：能否用定义法讨论函数的单调性？学生活动1 讨论函数的单调性.解：取x1x2，x1、x2R， 取值f(x1)f(x2)(x124x1+3)(x224x2+3) 作差(x1x2)(x1x24) 变形当x1x22时，x1x240，f(x1)f(x2)， 定号yf(x)在(¥, 2)单调递减 判断当2x1x2时， x1x240，f(x1)f(x2)，yf(x)在(2, )单调递增综上所述yf(

3、x)在(¥, 2)单调递减，yf(x)在(2, )单调递增.2.研究函数的导函数值的符号与单调性之间的关系.3 探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数. 如果在这个区间内>0

4、，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数； 如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.说明：（1）如果某个区间内恒有=0，则f(x)等于常数； （2）>0（或<0）是函数在(a，b）上单调增（或减）的充分不必要条件.2.利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f¢(x)0，得函数的单调递增区间；解不等式f ¢(x)0，得函数的单调递减区间2 例题精讲：例1求函数的单调区间.解：=3x2x2=0，得x=1，.在（，）和1，+)上>0，f（x）为增函数；在，

5、1上（x）<0，f（x）为减函数.所以所求f（x）的单调增区间为（，和1，+)，单调减区间为，1.变式题1：求函数的单调区间答案：增区间为，减区间为变式题2：设函数求函数的单调区间；解：由，得， 若，则当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 若，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减.点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响； （2）同一函数的两个单调区间不能并起来； （3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法， 但它是一种一般性的方法.例2若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是. 答案：变式题1:若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是. 答案

6、：变式题2:若函数在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，则实数的值是. 答案：-5变式题3：若函数在上既不是单调递增函数也不是单调递减函 数，则整数的值是. 答案：-1变式题4：若函数的单调递减区间是，则则实数的值是. 答案：-8xyO图1xyOxyOxyOyOx例3 设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为答案：变式题1：如果函数的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：函数在区间内单调递增；函数在区间内单调递减；函数在区间内单调递增；函数的单调递增区间是则上述判断中正确的是_答案：-22O1-1-11变式题2：已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图

7、象中的图象大致是答案：O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124备选例题：已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；(3)求证：解：(1)当时，的单调增区间为，减区间为；当时，的单调增区间为，减区间为；当时，不是单调函数(2)得，在区间上总不是单调函数，且由题意知：对于任意的，恒成立，所以，(3)令此时，所以，由()知在上单调递增，当时，即，对一切成立，则有，四、课堂精练1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是.答案：(0,2.已知函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为.3. 若函数在（0