5-1函数的孤立奇点及其分类[学校资料]

1、1 从上一章可以看出从上一章可以看出, ,利用将函数利用将函数f(z)在其解析的在其解析的环域环域R1|z-z0|m2时时, z0为函数为函数f1(z)/f2(z) 的的m1-m2级零点级零点.25教育类226m 级零点的判别方法级零点的判别方法零点的零点的充要条件是充要条件是证证 ( (必要性必要性) )由定义由定义: :)()()(0zzzzfm 设设0)(zz 在在 的的TaylorTaylor级数展开为级数展开为: :,)()()(202010 zzczzccz 0zm0z如果如果在在解析解析, ,那末那末为为的的级级)(zf)(zfm0z如果如果为为的的级零点级零点)(zf; )1,

2、 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn. 0)(0)( zfm.26教育类227级级数数展展开开式式为为的的在在从从而而Taylorzzf0)(10100)()()( mmzzczzczf 202)(mzzc其中其中,0)(00 zc 展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零 ,由由Taylor级数的系数级数的系数公式知公式知:);1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn并且并且. 0!)(00)( cmzfm充分性证明略充分性证明略 .27教育类228(1)由于由于123)1( zzf知知1 z是是)(zf的一级零点的一级零点 . 练习练习0 z是五级零点

3、是五级零点,iz 是二级零点是二级零点.知知是是)(zf的一级零点的一级零点.0 z解解 (2)由于由于0cos)0( zzf答案答案例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数:, 1)(3 zzf(1)(2).sin)(zzf , 03 , 01 225)1()( zzzf的零点及级数的零点及级数 .求求.28教育类229定理定理如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点, )(1zf的的 m 级零点级零点. 证明证明 如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点, 则有则有)()(1)(0zgzzzfm )0)(0 zg当当 时时 ,0zz )(1)()(10zgzzzfm

4、 )()(0zhzzm )(0zh. 0)(0 zh函数函数在在0z解析且解析且0z就是就是那末那末反过来也成立反过来也成立.三、用函数的零点判断极点的类型三、用函数的零点判断极点的类型.29教育类230由于由于, 0)(1lim0 zfzz只要令只要令, 0)(10 zf 那末那末0z)(1zf的的 m 级零点级零点. 就是就是反之如果反之如果 0z)(1zf的的 m 级零点级零点, 是是那末那末),()()(10zzzzfm 当当 时时,0zz ),()(1)(0zzzzfm )(1)(zz 解析且解析且0)(0 z 所以所以0z是是)(zf的的 m 级极点级极点.30教育类231说明说明

5、简便的方法简便的方法. .例例8 函数函数zsin1有些什么奇点有些什么奇点, 如果是极点如果是极点, 指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点,这些奇点是这些奇点是)2,1,0( kkz 孤立奇点孤立奇点. kzkzzzcos)(sin因因为为的的一一级级零零点点，是是所所以以zkzsin , 0)1( kzsin1的一级极点的一级极点.即即此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为.31教育类232),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以所以0 z不是不是二级极点二级极

6、点, 而是一级极点而是一级极点.0 z是是3sinhzz的几级极点的几级极点?思考思考例例9 问问0 z是是21zez 的二级极点吗的二级极点吗?注注: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 .32教育类23333例例1010求下列函数孤立奇点的类型，指出极点求下列函数孤立奇点的类型，指出极点级数级数(1)(1) 32211sin)(zzzzf解：解：z=1z=1和和-1-1为函数为函数f f2 2(z)(z)的奇点，取的奇点，取 和和 ， z=1z=1和和-1-1分别为分别为f f2 2(z)(z)的二级极点和二级极点。的二级极点和二级极点。 3) 1(sinzzz 3)

7、 1(sinzzz.33教育类234(2)1)(4zzezezf解：点解：点z0=0为为f(z)=z 的一级零点；函数的一级零点；函数 的零的零点为点为 ，且且 在这些点处不为零，由定理在这些点处不为零，由定理1，这，这些点为函数些点为函数 的一级零点。由的一级零点。由定理定理2的推论的推论2，z=0为函数为函数 的二级零点，又由推论的二级零点，又由推论1，它，它为为f4(z) 的二级极点，同理，的二级极点，同理， 为为f4(z) 的简单极点的简单极点1ze), 2, 1, 0(21kikLnzkzzee) 1(1ze) 1(zez)0(2kikzk.34教育类2定义定义 设函数设函数f(z)

8、在无穷远点去心邻域在无穷远点去心邻域内解析内解析, ,则称点则称点为为f(z)的一个的一个孤立奇点孤立奇点. .设点设点为为f(z)的孤立奇点的孤立奇点, ,利用变换利用变换 t=1/z, ,于是于是1( )( )( )tff zt在去心邻域在去心邻域: :110 | |(0)trrr 如规定内解析0).:( 就为之一我们点出孤立还看tt Rz四四* *、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态.35教育类2 (1)对于扩充对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域平面上无穷远点的去心邻域 N-,有扩充有扩充z平面上的原点的去心邻域平面上的原点的去心邻域; (2)在对应点在对应点z与与z上上,函数函

9、数( )( )f zz(3),(lim)(limzzfzz0或两个极限都不存在或两个极限都不存在.定义定义 若若z=0为为) (z的的可去可去奇点奇点(解析点解析点),m级极点级极点或或本性奇点本性奇点,则我们相应地称则我们相应地称z=为为f(z)的的可去可去奇点奇点(解析点解析点),m级极点级极点或或本性本性奇点奇点.设在去心邻域设在去心邻域K-0:0|z|1/r内将内将) (z展成展成洛朗级数洛朗级数:nnnzcz) (.36教育类2则有则有nnnzbzf)(其中其中)., 1, 0( ncbnn上式为上式为f(z)在无穷远点去心邻域在无穷远点去心邻域N-: :0r|z|+内的内的洛朗展式

10、洛朗展式. .对应对应在在z=0的的主要部分主要部分.nnnzb为为f(z)在在z= 的的主要部分主要部分.)()1() (zfzfznnnzcz )() (z我们称我们称.37教育类2定理定理 f(z)的孤立奇点的孤立奇点z=为为可去奇点的充要条件可去奇点的充要条件是是下列三条中的任何一条成立下列三条中的任何一条成立: (1)f(z)在在 的主要部分为零的主要部分为零; (2) (3)f(z)在在 的某去心邻域的某去心邻域N-内有界内有界.z);()(limbzfzz.38教育类2定理定理 f(z)的孤立奇点的孤立奇点z=为为m级极点的充要条件级极点的充要条件是是下列下列三条中的任何一条三条

11、中的任何一条成立成立: 212(0);mmmb zb zb zb (1) f(z)在在 z=的主要部分为的主要部分为),()(zzzfm(2) f(z)在在z=的某去心邻域的某去心邻域N-内能表成内能表成);0(其中其中 在在z=的邻域的邻域N内解析内解析,且且)(z(3) g(z)=1/f(z)以以z=为为m级零点级零点(只要令只要令g(z)=0).39教育类2定理定理 f(z)的孤立奇点的孤立奇点为为极点的充要条件极点的充要条件是是定理定理 f(z)的孤立奇点的孤立奇点为为本性奇点本性奇点的充要条件是的充要条件是下列任下列任何一条何一条成立成立:(1) f(z)在在z=的主要部分有的主要部

12、分有无穷多项正幂不等于零无穷多项正幂不等于零;.)(limzfz)(limzfz广义不存在广义不存在(即当即当z趋向于趋向于时时,f(z)不趋向于任何不趋向于任何(有限或无穷有限或无穷)极限极限).(2).40教育类2例例1)()(211zzzfzzzzzzg2111212)()(例例2 将多值函数将多值函数Lnzazb在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗级数在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗级数.例例3 3 求出函数求出函数tan(1)( )1zf zz的全部奇点的全部奇点, ,并判断其类型并判断其类型.(.(含含点点) ).41教育类2例例4 4 问函数问函数1sec1z 在在z z1 1的去心邻域内能否展开为洛朗级数？的去心邻域内能否展开为洛朗级数？例例5 设设f(z)在在0|z-a|R内解析内解析, 且不恒为零且不恒为零; 又若又若f(z)有一列异于有一列异于a但却以但却以a为聚点的零点为聚点的零点. 试证试证a必为必为f(z)的的本性