211曲线与方程

1、2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程探究点探究点1 1 曲线的方程与方程的曲线曲线的方程与方程的曲线问题问题1 1：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线和方程线和方程x x- -y=y=0 0有什么关系？有什么关系？xOyx-y=0),(00yxM(1)(1)在直线上任找一点在直线上任找一点 则则是方程是方程x-y=0 x-y=0的解；的解；00(,),M xy0000, xyxy，即即（）(2)(2)如果如果 的解，那么的解，那么00(,) .xy以以为为坐坐标标的的点点在在直直线线上上000(,)xyxy是是图象上的点图象上

2、的点M M与此方程与此方程 ，有什么关系？有什么关系？222()()xaybr问题问题2 2：方：方程程表示如图的圆，表示如图的圆，222()()xaybr（1 1）圆上任一点）圆上任一点 22200(,)()()的的坐坐标标是是方方程程M xyxaybr( , ) .为为坐坐标标的的点点在在以以为为圆圆心心，以以 为为半半径径的的圆圆上上a br22002002(,)()()(,) （ ）若若是是方方程程的的解解，则则以以xyxaybrxy的解的解. .0 xy00(,)M xy222()()xaybr.按某种规律运动按某种规律运动几何对象几何对象x,y制约关系制约关系代数表示代数表示点点曲

3、线曲线C C坐标（坐标（x,y）方程方程f(x,y)=0 通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（的点与数对（x,yx,y）建立了一一对应关系）建立了一一对应关系. .点的运动形点的运动形成曲线成曲线C C，与之对应的实数对的变化就形成了方程，与之对应的实数对的变化就形成了方程f f( (x x, ,y y)=0.)=0.曲线的方程与方程的曲线曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C C（看（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一

4、个二元方程个二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：的实数解建立了如下的关系：（1 1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. . 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线. . 由曲线的方程的定义可知，如果曲线由曲线的方程的定义可知，如果曲线C C的方程为的方程为f(x,y)=0, ,那么点那么点 在曲线在曲线C C上的等价条件是上的等价条件是000(,)P xy000(,).f xy

5、 问题问题3:3:曲线曲线C C上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程f f( (x x, ,y y)=0)=0的解，的解，能否说能否说f(x,y)=0f(x,y)=0是曲线是曲线C C的方程？的方程？ 解：解：不能，还要验证以方程不能，还要验证以方程f f( (x x, ,y y)=0)=0的解为坐标的解为坐标的点是不是都在曲线上的点是不是都在曲线上, ,如如, ,以原点为圆心，以以原点为圆心，以2 2为为半径的圆上半部分和方程半径的圆上半部分和方程. 422 yx【提升总结提升总结】问题问题4 4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线

6、是两个不同的概念，曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，“曲线的方程曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲线方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形强调的是数量关系所表示的图形. .两两者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲线的性质转化到讨论相应方程的问题上线的性质转化到讨论相应方程的问题上. . 例例1 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)k(k0)的点的轨

7、迹方程是的点的轨迹方程是xy=xy=k .k .证明：证明：（1 1）设）设 是轨迹上的任意一点是轨迹上的任意一点. .因为点因为点M M与与x x轴的距离为轴的距离为 ，与，与y y轴的距离为轴的距离为 ，所以所以00(,)M xy0 x0y00,xyk00(,).xyxyk 即即是是方方程程的的解解1112(,)Mxyxyk （）设设点点的的坐坐标标是是方方程程的的解解，则则11.xyk即即11,x yk 而而 正是点正是点M M1 1到纵轴、横轴的距离，因到纵轴、横轴的距离，因此点此点M M1 1到这两条直线的距离的积是常数到这两条直线的距离的积是常数k k，点，点M M1 1是是曲线上

8、的点曲线上的点. . 由由(1)(2)(1)(2)可知可知, , 是与两条坐标轴的距离的是与两条坐标轴的距离的积为常数积为常数k k( (kk0)0)的点的轨迹方程的点的轨迹方程. .11xy，xyk C C例例2 2 方程方程x x2 2y y2 21(xy0)1(xy0)的曲线形状是的曲线形状是 ( () )解析：解析：选选C.C.方程方程x x2 2y y2 21 1表示以原点为圆心，半径为表示以原点为圆心，半径为1 1的单位圆，而约束条件的单位圆，而约束条件xy0 xy0则表明单位圆上点的横、则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分纵坐标异号，即单位圆位于第二

9、或第四象限的部分故选故选C.C.解析：解析：选选C.C.由由x x2 2xyxyx x，得，得x(xx(xy y1)1)0 0，即即x x0 0或或x xy y1 10.0.由此知方程由此知方程x x2 2xyxyx x表示两条直线表示两条直线故选故选C.C.【变式练习变式练习】方程方程x x2 2xyxyx x表示的曲线是表示的曲线是( () )A A一个点一个点 B B一条直线一条直线C C两条直线两条直线 D D一个点和一条直线一个点和一条直线C C1.1.若命题若命题“曲线曲线C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(xf(x，y)y)0 0的解的解”是正确的，则下列命题为真命

10、题的是是正确的，则下列命题为真命题的是( () )A A不是曲线不是曲线C C上的点的坐标，一定不满足方程上的点的坐标，一定不满足方程f(xf(x，y)y)0 0B B坐标满足方程坐标满足方程f(xf(x，y)y)0 0的点均在曲线的点均在曲线C C上上C C曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x，y)y)0 0的曲线的曲线D D不是方程不是方程f(xf(x，y)y)0 0的解，一定不是曲线的解，一定不是曲线C C上的点上的点 思路探索思路探索 从定义入手，考查定义中的两个条件从定义入手，考查定义中的两个条件D D2.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是下面四组方程表示同一条曲线的一组是(

11、() )A Ay y2 2x x 与与 y yB By ylg xlg x2 2 与与 y y2lg x2lg xC. C. 1 1 与与 lg (ylg (y1)1)lg (xlg (x2)2)D Dx x2 2y y2 21 1 与与 |y|y|x12yx 21x 解析：解析：选选D.D.主要考虑主要考虑x x与与y y的范围的范围. .D D3.3.方程方程y y 所表示的曲线是所表示的曲线是_122 xx211(): yxx解解析析答案：答案：以以(1(1，0)0)为端点的两条射线为端点的两条射线4.4.已知曲线已知曲线C C的方程为的方程为x x ，说明曲线，说明曲线C C是什是什么

12、样的曲线，并求该曲线与么样的曲线，并求该曲线与y y轴围成的图形的面积轴围成的图形的面积24y 解：解：由由x x ，得，得x x2 2y y2 24 4，又，又x0 x0，所以方程所以方程x x 表示的曲线是以原点为圆心，表示的曲线是以原点为圆心，2 2为半径的右半圆为半径的右半圆, ,从而该曲线从而该曲线C C与与y y轴围成的图形是半圆，轴围成的图形是半圆，其面积其面积S S 4 42.2.所以所求图形的面积为所以所求图形的面积为2.2.1224y24y 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方就意